初中數(shù)學人教八年級上冊第十一章三角形三角形的高、中線與角平分線

學習目標1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點）2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點）復習回顧

定義

圖示垂線線段中點角平分線OBAAB當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.思考：過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎?復習導入三角形的高一三角形的高的定義A從三角形的一個頂點，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足D之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖,線段AD是BC邊上的高.和垂足的字母.注意!標明垂直的記號012345678910012345012345思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點，應該有三條高.(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)

這三條高之間有怎樣的位置關系？O(3)

銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.銳角三角形的三條高如圖所示；直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;直角三角形的三條高ABC(1)畫出直角三角形的三條高,ABBC它們有怎樣的位置關系？D直角三角形的三條高交于直角頂點.BD鈍角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEADABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(4)它們所在的直線交于一點嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點；鈍角三角形的三條高所在直線交于一點.例1

作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)典例精析方法總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．D例2

如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，則BP的最小值為____．方法總結(jié)：可利用面積相等作橋梁(但不求面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“面積法”．(1)在紙上畫出一個銳角三角形，確定它的中線.

你有什么方法？它有多少條中線？它們有怎樣的位置關系?議一議三條中線，交于一點在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個三角形的中線(median).AE是BC邊上的中線.三角形的“中線”BACABE=ECE三角形的中線二(2)鈍角三角形和直角三角形的中線又是怎樣的？折一折，畫一畫，并與同伴交流.

三角形的三條中線交于一點，這個交點就是三角形的重心.要點歸納典例精析例4

在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝________.提示：將△ABD與△ADC的周長之差轉(zhuǎn)化為邊長的差.7cm三角形的角平分線三思考在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設法畫出它的一個內(nèi)角的平分線嗎?你能通過折紙的方法得到它嗎?BAC用量角器畫最簡便，用圓規(guī)也能.

在一張紙上畫出一個三角形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.ABCAD三角形的角平分線的定義:

在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD注意：“三角形的角平分線”是一條線段.∠1=∠2每人準備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個.

(1)你能分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎?

(2)你能用折紙的辦法得到它們嗎?(3)在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關系?做一做三角形的三條角平分線交于同一點.三角形角平分線的性質(zhì)解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.

例

如圖,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABDC三角形的重要線段概念圖形表示法三角形的高線從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線,頂點和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°.三角形的中線三角形中,連結(jié)一個頂點和它對邊中的線段∵AD是△ABC的BC上的中線.∴BD=CD=?BC.三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個角頂點與交點之間的線段∵.AD是△ABC的∠BAC的平分線∴∠1=∠2=?∠BAC知識歸納當堂練習1．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線B2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④

D．②③D3.如圖，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有（）A．2條B．3條C．4條D．5條4.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高