第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分

（優(yōu)選）第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分目前一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)2數(shù)值積分微積分基本公式：(3)

f(x)

表達(dá)式未知，只有通過測量或?qū)嶒?yàn)得來的數(shù)據(jù)表但是在許多實(shí)際計(jì)算問題中(2)

F(x)

難求！甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。如(1)

F(x)

表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算較困難。如目前二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)3幾個(gè)簡單公式矩形公式梯形公式基本思想：目前三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)4一般形式數(shù)值積分公式的一般形式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)求積公式將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算無需求原函數(shù)易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一般地，用f(x)在[a,b]上的一些離散點(diǎn)

a

x0

<x1

<···

<xn

b

上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為f()的近似值，可得目前四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)5代數(shù)精度定義：如果對(duì)于所有次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式f(x)，公式精確成立，但對(duì)某個(gè)次數(shù)為m+1

的多項(xiàng)式不精確成立，則稱該求積公式具有

m次代數(shù)精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精確成立;但對(duì)f(x)=xm+1不精確成立。即：(k=0,1,…,m)代數(shù)精度的驗(yàn)證方法目前五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)6舉例例：試確定Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度解：將f(x)＝1,x,x2,…,xn

代入求積公式，使其精確成立，得……存在唯一解：所以求積公式為：具有至少n

階代數(shù)精度目前六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)7舉例例：試確定系數(shù)Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求積公式為易驗(yàn)證該公式對(duì)f(x)＝x3也精確成立，但對(duì)f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。目前七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)8舉例例：試確定下面求積公式中的系數(shù)，使其具有盡可能高的代數(shù)精度。將f(x)＝x3代入，等號(hào)不成立，故公式具有2次代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=2/3,A1=1/3,B0=1/6。所以求積公式為目前八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)9代數(shù)精度容易驗(yàn)證：

左矩形公式和右矩形公式具有零次代數(shù)精度

中矩形公式和梯形公式具有一次代數(shù)精度特別地，任意具有m(0)

次代數(shù)精度的求積公式一定滿足：目前九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)10插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a

x0

<x1

<···

<xn

b

若f(xi)

已知，則可做n

次多項(xiàng)式插值：其中插值型求積公式目前十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)n

n=1:梯形公式代數(shù)精度=1目前十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)n=2:Simpon公式Simpon公式的代數(shù)精度為3目前十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)13誤差：其中插值型求積公式當(dāng)f(x)＝1,x,x2,…,xn

時(shí)，有即公式精確成立目前十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)14插值型求積公式性質(zhì)：插值型求積公式具有至少n

次代數(shù)精度定理：下面的求積公式具有至少n

次代數(shù)精度的充要條件是該公式是插值型的目前十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)15求積公式余項(xiàng)性質(zhì)：若求積公式的代數(shù)精度為m，則余項(xiàng)為其中K

為待定系數(shù)，但與f(x)無關(guān)如何確定K

的值？將f(x)=xm+1

代入可得目前十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)16舉例例：試確定梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式解：梯形公式代數(shù)精度為1，故所以梯形公式的余項(xiàng)為目前十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)17舉例例：試確定下面的求積公式的余項(xiàng)表達(dá)式解：由前面的計(jì)算可知，該公式的代數(shù)精度為2，故所以該公式的余項(xiàng)為目前十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)18收斂性定義：如果求積公式滿足則稱該求積公式是收斂的。設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為：a

x0

<x1

<···

<xn

b

，令xi=xi–xi-1目前十八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)19穩(wěn)定性定義：對(duì)

>0，若存在>0，使得當(dāng)(i=0,1,…,n)

時(shí)，有則稱該求積公式是穩(wěn)定的。定理：若Ai>0,i=0,1,…,n，則下面的求積公式是穩(wěn)定的目前十九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)20第七章

數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值分析——Newton-Cotes公式復(fù)合求積公式目前二十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)21本講內(nèi)容公式介紹代數(shù)精度余項(xiàng)表達(dá)式

Newton-Cotes公式復(fù)合求積公式復(fù)合梯形公式復(fù)合Simpson公式目前二十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)22Newton-Cotes公式基于等分點(diǎn)的插值型求積公式積分區(qū)間：[a,b]求積節(jié)點(diǎn)：

xi=a

+

ih

求積公式：Cotes系數(shù)Newton-Cotes求積公式目前二十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)23Newton-Cotes公式n=1:代數(shù)精度=1梯形公式n=2:代數(shù)精度=3拋物線公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代數(shù)精度=5目前二十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)24Cotes系數(shù)表Cotes系數(shù)與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]無關(guān)可通過查表獲得目前二十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)25N-C公式

Cotes系數(shù)具有以下特點(diǎn)：(1)(2)(3)當(dāng)n8時(shí)，出現(xiàn)負(fù)數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。而且當(dāng)n較大時(shí)，由于Runge現(xiàn)象，收斂性也無法保證。當(dāng)n7時(shí)，Newton-Cotes公式是穩(wěn)定的一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式目前二十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)26N-C公式代數(shù)精度定理：當(dāng)n

為偶數(shù)時(shí)，Newton-Cotes公式至少有n+1階代數(shù)精度定理：n

階Newton-Cotes公式至少有n

階代數(shù)精度證：只要證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，公式對(duì)f(x)＝xn+1精確成立。x

=a

+tht

=n

-s即目前二十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)27N-C公式余項(xiàng)梯形公式(n=1)

的余項(xiàng)

Simpson公式(n=2)

的余項(xiàng)

Cotes公式(n=4)

的余項(xiàng)目前二十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)28復(fù)合求積公式提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法用復(fù)合公式

用非等距節(jié)點(diǎn)將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓－科特斯求積公式復(fù)合求積公式目前二十八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)29復(fù)合梯形公式將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，其中(i=0,1,…,n)復(fù)合梯形公式余項(xiàng)目前二十九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)30復(fù)合Simpson公式余項(xiàng)性質(zhì)：復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。44444目前三十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)31舉例解：例：設(shè)，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合simpson公式計(jì)算定積分，并估計(jì)誤差。

xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841目前三十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)32舉例誤差估計(jì)目前三十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)

收斂速度與誤差估計(jì)：定義若一個(gè)積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例：計(jì)算解：其中=3.138988494其中=3.141592502目前三十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)34舉例解：例：計(jì)算定積分用復(fù)合梯形公式和復(fù)合simpson公式時(shí)，n

分別取多大時(shí)才能使得誤差不超過0.510-5要使誤差不超過0.510-5，需要故取n=213213等分復(fù)合梯形公式目前三十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)35舉例復(fù)合simpson公式要使誤差不超過0.510-5，需要故取n=48等分目前三十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)第七章

數(shù)值積分

與數(shù)值微分第四節(jié)變步長算法目前三十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)太大利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合simpson公式、復(fù)合Cotes公式等計(jì)算定積分時(shí)，如何選取步長h？計(jì)算精度難以保證太小增加額外的計(jì)算量解決辦法：采用變步長算法變步長算法通常采取將區(qū)間不斷對(duì)分的方法，即取n=2k

，反復(fù)使用復(fù)合求積公式，直到相鄰兩次計(jì)算結(jié)果之差的絕對(duì)值小于指定的精度為止。目前三十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)變步長梯形法步長折半：[xi,xi+1/2]

，[xi+1/2,xi+1]將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，n=20,21,22,…xixi+1xi+1/2目前三十八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)舉例（一）解：例：用變步長梯形公式計(jì)算積分，要求計(jì)算精度滿足kTn

(

n=2k)00.92073549210.93979328520.94451352230.94569086440.94598503050.94605856160.94607694370.94608153980.94608268790.946082975100.946083046目前三十九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)梯形法的加速變步長梯形法算法簡單，編程方便梯形法的加速－－龍貝格(Romberg)算法變步長梯形法中止依據(jù)但收斂速度較慢。目前四十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)梯形法的加速（續(xù)）由來計(jì)算

效果是否會(huì)更好些？=(4*0.945690864-0.944513522)/3=

0.94608331精確值：0.946083070367…事實(shí)上目前四十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)龍貝格公式同理可得一般地，有龍貝格公式注：(1)上述加速技巧稱為龍貝格求積算法；(2)每加速一次，計(jì)算精度提高二階；(3)該技巧可以不斷繼續(xù)下去，但通常最多用到龍貝格公式。目前四十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)Romberg算法<

?①

T1=T0(0)②

T2=T0(1)③

S1=T1(0)④

T4=T0(2)⑤

S2=T1(1)⑥

C1=T2(0)<

?⑦

T8=T0(3)⑧

S4=T1(2)⑨

C2=T2(1)<

?⑩

R1=T3(0)記:目前四十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)舉例（二）例：用龍貝格算法計(jì)算，要求精度k00.9207354910.939793280.9461458820.944513520.946086930.9460830030.945690860.946083310.946083070.94608307解：逐步計(jì)算(k)T02k(S)(k)T1(k)T2(k)T32k(R)2k(T)2k(C)目前四十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)45第七章

數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值分析——Gauss求積公式目前四十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)46Gauss型求積公式考慮求積公式含2n+2個(gè)參數(shù)(節(jié)點(diǎn)與系數(shù)),為了使該公式具有盡可能高的代數(shù)精度,可將f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入公式,使其精確成立,則可構(gòu)造出代數(shù)精度至少為2n+1

的求積公式!目前四十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)47舉例例：試確定節(jié)點(diǎn)xi和系數(shù)Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2,x3代入求積公式，使其精確成立，可得易驗(yàn)證該公式對(duì)f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。非線性方程組求解較困難目前四十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點(diǎn)48第七章

數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值分析——數(shù)值