高中數(shù)學(xué)人教A版函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性李宣偉定稿（省一等獎）

德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：測試時間t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8-9小時后1天后2天后6天后一個月后記憶保留量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶保留量y是時間t的函數(shù).艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”,如圖.123tyo20406080100思考1:觀察“艾賓浩斯遺忘曲線”，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？tyo20406080100123函數(shù)的單調(diào)性

我們發(fā)現(xiàn)隨著時間t的增加，記憶保留量y在不斷減少；從圖象上來看，從左至右圖象是在逐漸下降的。xyo-1xOy1124-1-21

從左至右圖象————

2.(0,+∞)上從左至右圖象上升，

1上升下降1.(-∞,0]上從左至右圖象思考2：畫出下列函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象思考當自變量x的值增大時,相應(yīng)函數(shù)值是如何變化的？0x1

x2f(x1)f(x2)yxyo-111通過上面的觀察，如何用數(shù)學(xué)語言來描述圖象上動點P（x，y）的橫、縱坐標的變化來說明上升或下降趨勢？在某一區(qū)間內(nèi)，當x的值增大時,函數(shù)值y也增大——圖象在該區(qū)間內(nèi)逐漸上升；函數(shù)在該區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性思考4：如何用數(shù)學(xué)符號語言定義函數(shù)所具有的這種性質(zhì)？對區(qū)間D內(nèi)x1，x2

，當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)都設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,區(qū)間DI.定義

任意如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，<D稱為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

那么就說f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間D內(nèi)隨著x的增大，y也增大圖象在區(qū)間D逐漸上升0x1f(x1)f(x2)121y

那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，D稱為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù).xOyx1x2f(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,區(qū)間DI.

如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,區(qū)間DI.

如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，

那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)增

函數(shù)，D稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.增當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，<當x1<x2時，都有f(x1)f(x2)，>單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性。（1）函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì);注意：判斷1：函數(shù)f(x)=x2在是不是單調(diào)增函數(shù)；xyo（2）

x1,x2取值的任意性判斷2：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)>f(1)，則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；yxO12f(1)f(2)注意3：畫出函數(shù)圖象，寫出定義域并寫出單調(diào)區(qū)間：xy_____________拓展探究_____________,錯和解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].例1.

如圖是定義在閉區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

其中y=f(x)在區(qū)間[－2，1)，[3，5]上是增函數(shù)；說明:1.區(qū)間端點處若有定義寫開寫閉均可.2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：從左向右看圖象的升降情況在區(qū)間[－5，－2），[1，3)上是減函數(shù).-432154312-1-2-1-5-3-2xyO練一練根據(jù)下圖說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).

2544xyO-1321解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－1,0）,[0,2)，[2，4),[4，5].其中y=f(x)在區(qū)間[0，2)，[4，5]上是增函數(shù)；在區(qū)間[－1，0），[2，4)上是減函數(shù).例2

證明函數(shù)f(x)=3x＋2在區(qū)間R上是增函數(shù)．例2

證明函數(shù)f(x)=3x＋2在區(qū)間R上是增函數(shù)．設(shè)x1，x2

是R上任意兩個實數(shù)，且x1﹤x2證明：則f(x1)-

f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3（x1-x2）由x1﹤x2，得x1-x2﹤0于是f(x1)-

f(x2)﹤0即f(x1)﹤

f(x2)所以f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)作差變形設(shè)值判斷符合下結(jié)論用定義證明函數(shù)單調(diào)性的四步驟：（1）設(shè)值:在所給區(qū)間上任意設(shè)兩個實數(shù)

（2）作差變形

：

作差常通過“因式分解”、“通分”、“配方”等手段將差式變形為因式乘積或平方和形式

（4）結(jié)論