高中數(shù)學(xué)人教A版高中選擇性必修第二冊第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用幾何概型 公開課獎

回顧1.基本事件的特點：（1）任何兩個基本事件是互斥的2.古典概型定義及特點：(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個3.古典概率公式：關(guān)于古典概型，你學(xué)了什么？

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（有限性）（等可能性）注1.如何判斷是否為古典概型？需抓住幾點？(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個（有限性）(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性）注2.使用古典概率公式需抓住幾點？(1)先判斷是否為古典概型(2)

A包含的基本事件個數(shù)m及總的事件個數(shù)n時間長度轉(zhuǎn)盤游戲情景1：（研究指針位置）扇形面積(角度）情景2：一個路口的紅綠燈，紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時，遇到紅燈和綠燈的概率那個大？為什么？提出問題古典概型的兩個基本特點:（1）所有的基本事件只有有限個;（2）每個基本事件發(fā)生都是等可能的。思考：上述問題的概率是古典概型問題嗎？為什么？

那么對于有無限多個試驗結(jié)果（不可數(shù)）的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢?基本事件：在幾何區(qū)域D內(nèi)任取一點，隨機事件A：在幾何區(qū)域d內(nèi)任取一點,隨機事件A發(fā)生的概率與d的測度成正比，我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型.幾何概型的定義：取在每一點都是等可能的，即每個事件發(fā)生的概率P(A)只與構(gòu)成該事件的區(qū)域d的測度成比例，與區(qū)域d的形狀和位置無關(guān).對幾何概型的理解

1、幾何概型是怎樣定義的？

事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積、體積）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān).滿足以上條件的試驗稱為幾何概型.2、在幾何概型中，事件A的概率是3、幾何概型與古典概型有什么區(qū)別和聯(lián)系.A常見的幾何度量有：長度、面積、體積、角度等（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有有限個；幾何概型的特征古典概型的特征（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.異同兩種概型、概率公式的聯(lián)系

1.古典概型的概率公式:2.幾何概型的概率公式:幾何概型可以看作是古典概型的推廣求幾何概型的概率時考慮試驗的結(jié)果個數(shù)就失去意義辨一辨先判斷是何種概率模型,再求相應(yīng)概率.(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一個元素a,則P(a≥3)=

.(2)

ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，取到的點P到O的距離大于1的概率P(|PO|>1)=

.(2)幾何概率模型,(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10P(|PO|>1)=

1－(3)在1000mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中任取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.

0.002(2)在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,如果在海域中任意點鉆探,鉆到油層面的概率.0.004與面積成比例練一練(1)在區(qū)間（0，10）內(nèi)的所有實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)a>7的概率為

.0.3與長度成比例與體積成比例若滿足2≤a≤5呢？若將條件“實數(shù)”改成“整數(shù)”呢？（4）.如右下圖,假設(shè)在每個圖形上隨機撒一粒芝麻,分別計算它落到陰影部分的概率.（5）.取一根長度為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段長都不小于1米的概率有多大？（6）.在腰長為2的等腰直角三角形內(nèi)任取一點,求該點到此三角形的直角頂點的距離小于1的概率.練一練

（1）

某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時刻是任意的，求一個乘客到達(dá)車站后候車時間大于10分鐘的概率？典例分析1例某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時刻是任意的，求一個乘客到達(dá)車站后候車時間大于10分鐘的概率？分析：把時刻抽象為點，時間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。解：設(shè)上輛車于時刻T1到達(dá)，而下一輛車于時刻T2到達(dá)，線段T1T2的長度為15，設(shè)T是T1T2上的點，且T1T=5，T2T=10，如圖所示:·答：侯車時間大于10分鐘的概率是1/3.T1T2T記候車時間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時刻落在線段T1T上時，事件發(fā)生，區(qū)域D的測度為15，區(qū)域d的測度為5。所以變式：假設(shè)題設(shè)條件不變，求候車時間不超過10分鐘的概率.T1T2T分析：典例分析1（2）在△ABC內(nèi)任取一點P，則△ABP與△ABC的面積比大于0.5的概率是多少？ABCP典例分析1（3）在1升高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？典例分析1典例分析2

平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這一平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率.

則

，且只有當(dāng)

時硬幣不與平行線相碰，如圖。所以，硬幣不與任一條平行線相碰的概率為

。思路一A2aMOOOar解：設(shè)事件A=“硬幣不與任一條平行線相碰”，為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線垂線OM，Cnm這是一個幾何概型問題。由幾何概型的定義知：解：記“硬幣不與任一條平行線相碰”為事件A。為了確定硬幣的位置，過硬幣中心O作兩平行線間的垂線段，其長度2a即是幾何概型定義中Ω的幾何度量。當(dāng)硬幣不與平行線相碰時，硬幣中心O可移動長度2a-2r即是子區(qū)域A的幾何度量。所以，硬幣不與任一條平行線相碰的概率為

。思路二A2a解：設(shè)事件A=“硬幣不與任一條平行線相碰”，為了求事件A的概率，只需研究硬幣不與兩條平行線中任何一條相碰即可，由于硬幣的位置由硬幣中心決定，如圖，則事件A可用圖中的陰影來表示，可用寬度來表示幾何度量，

rMOrrO思路三rMOrMOrr所以，硬幣不與任一條平行線相碰的概率為

。如圖，平面是由若干個邊長為2a的小正方形組成.參加者把半徑為r（r＜a）的“金幣”，任意拋擲在平面上，拋出的“金幣”若恰好落在任何一個正方形之內(nèi)（不與正方形的邊相碰），便可獲獎，求參加者獲獎的概率.不妨先考慮金幣與一個小正方形的關(guān)系.S2a2aA試驗的基本事件是:金幣的中心投在由若干個小正方形組成的平面里.設(shè)事件A為“金幣不與小正方形邊相碰”,如圖，Ａ即為“金幣的中心要投在綠色正方形內(nèi)”參加者獲獎的概率為:解：由幾何概型的定義知：變式引申若r>a,你愿意玩這個游戲嗎？

在Rt△ABC中，∠A＝30°，在斜邊AB上任取點M，求使|AM|>|AC|的概率.典例分析3解

設(shè)事件D為“在斜邊AB上取點M，求使|AM|>|AC|”.在AB上取點C′使|AC′|＝|AC|，

變式

在Rt△ABC中，∠A＝30°，過直角頂點C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|>|AC|的概率.典例分析3解

設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|>|AC|”.在AB上取點C′使|AC′|＝|AC|，1.教室后面墻壁上的時鐘掉下來,面板摔壞了,刻度5至7的部分沒了,如圖:但指針運行正常,若指針都指向有刻度的地方視為能看到準(zhǔn)確時間,求不能看到準(zhǔn)確時間的概率.1/6鞏固練習(xí)2.某人一覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺整點報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解:設(shè)事件A={等待的時間不多于10分鐘}

事件A發(fā)生的區(qū)域為時間段[50,60]

鞏固練習(xí)3.在直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在60o角的終邊上,任作一條射線OA,求射線OA落在∠XOT內(nèi)的概率。鞏固練習(xí)等可能性有限性無限性等可能性延伸了一個概念：從有限到無限實踐了三種測度模式：類比、轉(zhuǎn)化滲透了兩種思想：長度、面積、體積

甲、乙二人約定在上午12點到下午5點之間在某地會面,先到者等一個小時后即離去設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達(dá)是等可能的,且二人互不影響.

求二人能會面的概率.想一想解:以X,Y分別表示甲乙二人到達(dá)的時刻,于是

即點M落在圖中的陰影部分.所有的點構(gòu)成一個正方形,即有無窮多個結(jié)果.由于每人在任一時刻到達(dá)都是等可能的,所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的.012345yx54321.M(X,Y)二人會面的條件是：012345yx54321y-x=1y-x=-1解題步驟記事件構(gòu)造幾何圖形計算幾何度量求概率下結(jié)論思考與討論

假設(shè)小明家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30至7：30之間把報紙送到家，小明離開家去上學(xué)的時間在早上7：00至8：00之間，問小明在離開家之前能得到報紙（稱為事件A）的概