邏輯函數(shù)及其簡化

關(guān)于邏輯函數(shù)及其簡化第1頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月本章第一次課邏輯代數(shù)及運(yùn)算小問題什么是與？寫出表達(dá)式，符號，真值表。什么是或？寫出表達(dá)式，符號，真值表。什么是非？寫出表達(dá)式，符號，真值表。什么是異或？寫出表達(dá)式，符號，真值表。什么是同或？寫出表達(dá)式，符號，真值表什么是真值表？什么時(shí)候邏輯函數(shù)相等？如何檢驗(yàn)一個(gè)邏輯公式是否正確？掌握邏輯運(yùn)算的優(yōu)先級。根據(jù)基本概念理解并記憶常用公式。理解原函數(shù)、對偶函數(shù)、反函數(shù)概念。何為對偶規(guī)則？何為反演規(guī)則？第2頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1邏輯代數(shù)英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)：1849年布爾代數(shù)（BooleanAlgebra）研究邏輯變量間的相互關(guān)系，分析和設(shè)計(jì)邏輯電路邏輯變量：兩種取值，真或假、高或低、1或0

邏輯代數(shù)（LogicAlgebra）第3頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.1基本邏輯S1S2F000110110001與邏輯的真值表F=S1·Ｓ2或F=S1S2函數(shù)表達(dá)式：

最基本的邏輯關(guān)系有：與、或、非

1.邏輯與

全部條件同時(shí)具備時(shí)，該事件才發(fā)生：邏輯乘

第4頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.邏輯或F=S1+S2

一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，該事件都會發(fā)生：邏輯加。S1S2F000110110111或邏輯的真值表函數(shù)表達(dá)式：F=A+1＝1F=A+0＝AF＝A+A＝A第5頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3.邏輯非 條件具備時(shí)，該事件不發(fā)生；不具備時(shí)，事件發(fā)生，邏輯反。SF0110非邏輯的真值表第6頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯符號圖形國家標(biāo)準(zhǔn)第7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.2基本邏輯運(yùn)算

1、邏輯加（或）

P=A+B（A、B中只要有1個(gè)為1，則P為1）

A+0=0 A+1=1 A+A=A第8頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、邏輯乘（與）P＝AB（A、B均為1，則P才為1）A?1=AA?0=0A?A=A第9頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、邏輯非（非）第10頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4、復(fù)合邏輯運(yùn)算ABP（同或）P（異或）0001101110010110同或/異或邏輯的真值表第11頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月同或、異或的性質(zhì)第12頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月門電路輸出和輸入之間具有一定邏輯關(guān)系的電路稱為邏輯門電路，簡稱門電路。第13頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)基本邏輯：與或非復(fù)合邏輯與非或非異或同或含義符號簡單公式真值表第14頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.3真值表與邏輯函數(shù)真值表：左邊：所有輸入信號的全部組合。右邊：相應(yīng)的輸出由真值表獲得邏輯函數(shù)。 與或表達(dá)式 或與表達(dá)式第15頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月A B C P0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1真值表與或式或與式P=1的對應(yīng)組合：1為原變量，0為反變量P=0的對應(yīng)組合：0為原變量，1為反變量輸入輸出第16頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.4邏輯函數(shù)相等邏輯函數(shù)相等：所有輸入變量的全部組合情況下，若兩個(gè)函數(shù)是所有輸出都相同，則認(rèn)為這兩個(gè)函數(shù)相同。例2-2F(A,B,C)=A(B+C)G(A,B,C)=AB+ACA B C F G0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1第17頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1、變量和常量第18頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2、交換率、結(jié)合律、分配率交換率結(jié)合律分配率第19頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、邏輯代數(shù)的特殊規(guī)律重疊率反演率調(diào)換率由調(diào)換率可得第20頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.5三個(gè)規(guī)則

1.代入規(guī)則

在一個(gè)邏輯等式兩邊出現(xiàn)某個(gè)變量（或表示式）的所有位置都代入另一個(gè)變量（或表達(dá)式），則等式仍然成立。

例如:已知，在等式兩邊出現(xiàn)B的所有位置都代入BC，則等式仍然成立，即

第21頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯運(yùn)算優(yōu)先級規(guī)則非與或異或、同或高低優(yōu)先級第22頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.反演規(guī)則例如:則將所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，

“0”換成“1”，“1”換成“0”，

原變量換成反變量，反變量換成原變量

得到函數(shù)F的反函數(shù)F

要注意:保持原函數(shù)中邏輯運(yùn)算的優(yōu)先順序；不是單個(gè)變量上的反號保持不變。

第23頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3.對偶規(guī)則將所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”

“0”換成“1”，“1”換成“0”，

函數(shù)F的對偶函數(shù)F′。

例如:

F1=A·(B+C)，F(xiàn)1*=A+B·C

F2=A·B+A·C，F(xiàn)2*=(A+B)·(A+C)

如果兩個(gè)函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)亦相等。這就是對偶規(guī)則。例如:已知

A·(B+C)=A·B+A·C

則A+B·C=(A+B)·(A+C)第24頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月課后作業(yè)P47(P51)1、（2）（3）2、（1）（3）3、（2）（4）5、（1）（3）（5）第25頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月本章第2次課（公式法化簡）基本要求掌握3個(gè)常用公式?？衫贸Ｓ霉綄唵蔚暮瘮?shù)進(jìn)行化簡。何為最小項(xiàng)表達(dá)式？如何根據(jù)原函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式來求其對偶函數(shù)、反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式？何為最大項(xiàng)表達(dá)式？如何根據(jù)原函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式來求其對偶函數(shù)、反函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式？從最?。ù螅╉?xiàng)理解原函數(shù)、對偶函數(shù)、反函數(shù)概念。第26頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.6常用公式（本章第2次課開始）下面列出一些常用的邏輯代數(shù)公式，利用前面介紹的基本公式可以對它們加以證明。

（1）第27頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）A+A·B=A

證明:A+A·B=A·1+A·B=A·(1+B)=A·1=A在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則另一個(gè)與項(xiàng)可以不要。這一公式稱為吸收律。例如:吸收律第28頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）證明:在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)的反是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則這個(gè)因子可以不要。例如:第29頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）證明:公式的含義是:在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)與項(xiàng)中的一個(gè)因子的反是另一個(gè)與項(xiàng)的一個(gè)因子，則由這兩個(gè)與項(xiàng)其余的因子組成的與項(xiàng)是可要可不要的。第30頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）證明:第31頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1.7邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式最小項(xiàng)表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式）標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式是一種特殊的與或表達(dá)式，其中的每個(gè)與項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，這樣的與項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)，又稱最小項(xiàng)。例如：第32頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月最小項(xiàng)的主要性質(zhì)(1)每個(gè)最小項(xiàng)都與變量的惟一的一個(gè)取值組合相對應(yīng)，只有該組合使這個(gè)最小項(xiàng)取值為1，其余任何組合均使該最小項(xiàng)為0。

(2)所有不同的最小項(xiàng)相或，結(jié)果一定為1。

(3)任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)相與，結(jié)果一定為0。求最小項(xiàng)對應(yīng)的變量取值組合時(shí)，如果變量為原變量，則對應(yīng)組合中變量取值為1；如果變量為反變量，則對應(yīng)組合中變量取值為0。第33頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月或或法2第34頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCF00000101001110010111011101101001當(dāng)變量A、B、C取001、010、100、111時(shí)，函數(shù)F的值為1。對應(yīng)于：所以：第35頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月原函數(shù)、反函數(shù)、對偶函數(shù)關(guān)系總結(jié)：反函數(shù)＝原函數(shù)中沒有的最小項(xiàng)之和對偶函數(shù)＝（2n－1－原函數(shù)中沒有的最小項(xiàng)編號）的最小項(xiàng)之和從最小項(xiàng)的形式看變量取反第36頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2)最大項(xiàng)表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式）每個(gè)或項(xiàng)都包含了所有相關(guān)的邏輯變量，每個(gè)變量以原變量或反變量出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次。這樣的或項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)，又稱最大項(xiàng)。第37頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月最大項(xiàng)的主要性質(zhì)(1)每個(gè)最大項(xiàng)都與變量的惟一的一個(gè)取值組合相對應(yīng)，只有該組合使這個(gè)最大項(xiàng)取值為0，其余任何組合均使該最大項(xiàng)為1。(2)所有不同的最大項(xiàng)相與，結(jié)果一定為0。(3)任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)相或，結(jié)果一定為1。求最大項(xiàng)對應(yīng)的變量取值組合時(shí)，如果變量為原變量，則對應(yīng)組合中變量取值為0；如果變量為反變量，則對應(yīng)組合中變量取值為1。第38頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月寫出函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式解：第39頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCF00000101001110010111011110010110解：根據(jù)真值表寫出函數(shù)的最小項(xiàng)、最大項(xiàng)表達(dá)式。第40頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3)標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換同一函數(shù),其最小項(xiàng)表達(dá)式中最小項(xiàng)的編號和其最大項(xiàng)表達(dá)式中最大項(xiàng)的編號是互為補(bǔ)充的。最大項(xiàng)表達(dá)式與最小項(xiàng)表達(dá)式之間的關(guān)系：第41頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4)標(biāo)準(zhǔn)異或表達(dá)式由數(shù)學(xué)歸納法：同理：第42頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例2-7將轉(zhuǎn)化為異或標(biāo)準(zhǔn)形式解：可將其化為只包含原變量的形式：第43頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2邏輯函數(shù)的化簡同一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫成不同的表達(dá)式。表達(dá)式越簡單，需用門電路的個(gè)數(shù)就越少，就越經(jīng)濟(jì)可靠。最簡表達(dá)式有很多種：最簡與或表達(dá)式最簡或與表達(dá)式不同類型的邏輯函數(shù)表達(dá)式，最簡的定義也不同。第44頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月用公式法化簡下式解：第45頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月公式法化簡解：第46頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月公式法化簡解：第47頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月公式法化簡解：利用前2項(xiàng)生成AD第48頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月公式法化簡解：第49頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例2-12化簡函數(shù)解：第50頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例2-13化簡函數(shù)解：第51頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月課后作業(yè)（本章第2次）P514、（1）（3）（5）6、（2）7、（1）（3）8、（1）（3）（5）第52頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月本章第3次課要求何為卡諾圖？如何根據(jù)最?。ù螅╉?xiàng)表達(dá)式畫卡諾圖？如何由卡諾圖得到最?。ù螅╉?xiàng)表達(dá)式？如何由與或表達(dá)式畫卡諾圖？如何由卡諾圖得（最簡）與或表達(dá)式？什么是任意項(xiàng)？什么是約束項(xiàng)？什么是無關(guān)項(xiàng)？與卡諾圖化簡有什么關(guān)系？第53頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2圖解法（卡諾圖圖法）

已知邏輯函數(shù)的真值表，要畫出函數(shù)的卡諾圖，只需找出真值表中函數(shù)值為1的變量組合，確定其大小編號，并在卡諾圖中具有相應(yīng)編號的方格中標(biāo)上1，即得到該函數(shù)的卡諾圖。

卡諾圖：行、列變量按單位間距碼排列

第54頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3變量卡諾圖的一般形式4變量卡諾圖的一般形式第55頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例：從上面例子可以看出：一個(gè)與項(xiàng)如果缺少一個(gè)變量，對應(yīng)卡諾圖中兩個(gè)方格一個(gè)與項(xiàng)如果缺少兩個(gè)變量，對應(yīng)卡諾圖中四個(gè)方格一個(gè)與項(xiàng)如果缺少n個(gè)變量，則對應(yīng)卡諾圖中2n個(gè)方格0123456701232315第56頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1)卡諾圖化簡法的步驟畫出函數(shù)的卡諾圖，將卡諾圖中的1方格按邏輯相鄰特性進(jìn)行分組劃圈。每個(gè)圈得到一個(gè)簡化的與項(xiàng)，與項(xiàng)中只包含在圈中取值沒有變化過的變量，值為1的以原變量出現(xiàn)，值為0的以反變量出現(xiàn)。將所得各個(gè)與項(xiàng)相或，得到該函數(shù)的最簡與或表達(dá)式。第57頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月2）用卡諾圖化簡法的原則每個(gè)值為1的方格至少被圈一次。當(dāng)某個(gè)方格被圈多于一次時(shí)，相當(dāng)于對這個(gè)最小項(xiàng)使用同一律A+A=A，并不改變函數(shù)的值。每個(gè)圈中至少有一個(gè)1方格是其余所有圈中不包含的。如果一個(gè)圈中的任何一個(gè)1方格都出現(xiàn)在別的圈中，則這個(gè)圈就是多余的。任一圈中都不能包含取值為0的方格。圈的個(gè)數(shù)越少越好。圈的個(gè)數(shù)越少，得到的與項(xiàng)就越少。圈越大越好。圈越大，消去的變量越多，所得與項(xiàng)包含的因子就越少。每個(gè)圈中包含的1方格的個(gè)數(shù)必須是2的整數(shù)次方。第58頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月寫出函數(shù)的最簡與或表達(dá)式：解:首先將函數(shù)F轉(zhuǎn)換為一般與或表達(dá)式:第59頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)化簡F（A,B,C,D）＝m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)解：第60頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3）帶無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡1.邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng)

在實(shí)際的邏輯關(guān)系中，有時(shí)會遇到這樣一種情況，即變量的某些取值組合是不會發(fā)生的，這種加給變量的限制稱為變量的約束，而這些不會發(fā)生的組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。

對變量約束的具體描述叫做約束條件