指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快慢

課題引入

國際象棋大師起源于古代印度.相傳國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他要什么，發(fā)明者說：

“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第一個(gè)格子里放上1顆麥粒，第二個(gè)格子里放上2顆麥粒，第三個(gè)格子里放上4顆麥粒，以此類推，每個(gè)格子里的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.

假定千顆麥粒的質(zhì)量為40g，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量為6億噸，但不能滿足發(fā)明者要求，這就是指數(shù)增長(zhǎng).指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較一、提出問題1.在區(qū)間（0，+∞）上判斷y=log2x,y=2x,y=x2的單調(diào)性.在區(qū)間（0，+∞）上函數(shù)y=log2

x,y=2x,y=x2均為單調(diào)增函數(shù)2.列表并在同一坐標(biāo)系中畫出上面這三個(gè)函數(shù)的圖像.x0.20.61.01.4y=2x1.1491.51622.639y=x20.040.3611.96y=log2

x-2.322-0.73700.4851.82.22.63.03.4…3.4824.9596.063810.556…3.244.846.67911.56…0.8481.1381.3791.5851.766…xyo1122345y=2xy=x2y=log2

x3.結(jié)合函數(shù)的圖像找出其交點(diǎn)坐標(biāo).

從圖像看出y=log2

x的圖像與另外兩函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)，且總在另外兩函數(shù)圖像的下方，y=x2的圖像與y=2x的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)(2，4)和（4，16）.4.根據(jù)圖像,分別寫出使不等式

log2

x<2x<x2和log2

x<x2<2x成立的自變量x的取值范圍.使不等式log2

x<2x<x2的x取值范圍是(2，4);使不等式log2

x<x2<

2x的x取值范圍是(0，2)∪(4,+∞);5.由以上問題你能得出怎樣的結(jié)論？ABy=2xxyo112191623434y=x2y=log2

xx012345678…y=2x1248163264128256…y=x201491625364964…xo50100y1.10×10121.13×1015y=2xy=x2一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間（0，+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會(huì)小于xn,但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，必有ax>xn.對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2

x（a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間（0，+∞）上,隨著x的增大，logax增長(zhǎng)的越來越慢，圖像就像是漸漸地與x軸平行一樣.盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，必有l(wèi)ogax<xn.…640049003600…1.21×10241.18×10211.15×1018…807060250016009004001000y=x21.13×10151.10×10121.07×1091.05×10610241y=2x50403020100x抽象概括

盡管對(duì)數(shù)函數(shù)logax(a>1),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間（0，+∞）上都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的增大，y=ax（a>1）的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn（n>0）的增長(zhǎng)速度，而y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢.因此總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，必有l(wèi)ogax<xn<ax.雖然冪函數(shù)y=xn(n>0)增長(zhǎng)快于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)增長(zhǎng)，但它們與指數(shù)增長(zhǎng)比起來相差甚遠(yuǎn)，因此指數(shù)增長(zhǎng)又稱“指數(shù)爆炸”.二、應(yīng)用示例例1.試用計(jì)算器來計(jì)算2500的近似值.解：第一步，利用科學(xué)計(jì)算器算出210=1024=1.024×103；第二步，再計(jì)算2100，因?yàn)?100=(210)10=（1.024×103)10=1.02410×1030,所以，我們只需用科學(xué)計(jì)算器算出1.02410≈1.2677，則2100≈1.2677×1030；第三步，再計(jì)算2500，因?yàn)?500=(2100)5=（1.2677×1030)5=1.26775×10150,所以，我們只需用科學(xué)計(jì)算器算出1.26775≈3.2740，從而算出2500≈3.27×10150.例2.在自然界中，有些種群的世代是隔離的，即每一代的生活周期是分離的，例如很多一年生草本植物，在當(dāng)年結(jié)實(shí)后死亡，第二年種子萌發(fā)產(chǎn)生下一代.假設(shè)一個(gè)理想種群，其每個(gè)個(gè)體產(chǎn)生2個(gè)后代，又假定種群開始有10個(gè)個(gè)體，到第二代時(shí)，種群個(gè)體將上升為20個(gè)，以后每代增加1倍，依次為40，80，160，…，試寫出計(jì)算過程，歸納種群增長(zhǎng)模型，說明何種情況種群上升，種群穩(wěn)定，種群滅亡.解：設(shè)Nt表示t世代種群的大小，Nt+1表示t+1世代種群的大小，由上述過程歸納成最簡(jiǎn)單的種群增長(zhǎng)模型，由下式表示：Nt+1=R0·Nt,其中R0為時(shí)代凈繁殖率.如果種群的R0速率年復(fù)一年地增長(zhǎng)，則當(dāng)R0>1時(shí)，種群上升；R0=1，種群穩(wěn)定；0<R0<1，種群下降；當(dāng)R0=0，雌體沒有繁殖，種群在這一代中死亡.三、練習(xí)

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖（2）的拋物線段表示.（1）寫出圖（1）表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=f(t);寫出圖（2）表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t);（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本