數(shù)學物理方程波動方程初始問題的求解OK

第3章波動方程初始問題的求解——行波法（達朗貝爾公式）（特征線積分法）13.1達朗貝爾公式（行波法）[一維問題]1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。2關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。

通解法中有一種特殊的解法―行波法,即以自變量的線性組合作變量代換，進行求解的一種方法，它對波動方程類型的求解十分有效.數(shù)學物理方程21.弦振動方程的初始問題-無界限的自由振動（1）物理解釋：

認為弦很長，考慮遠離邊界的某段弦在較短時間內(nèi)的振動，其中給定初始位移和速度，并且沒有強迫外力作用。數(shù)學物理方程(3.1.1)3（2）一維波動方程的通解：作變換：任意函數(shù)數(shù)學物理方程4（3）無界限弦自由振動的特解（考慮初始條件）：達朗貝爾公式數(shù)學物理方程僅對第一層變量進行積分(3.1.2)5結(jié)論：達朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a的波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時，代表以速度a

沿x

軸正向傳播的波代表以速度a

沿x

軸負向傳播的波（4）達朗貝爾公式的意義：數(shù)學物理方程b.只有初始速度時：為的積分原函數(shù)。6示意圖形（向右傳播的波）：數(shù)學物理方程7解：將初始條件代入達朗貝爾公式（5）達朗貝爾公式的應(yīng)用：數(shù)學物理方程波動方程8解：將初始條件代入達朗貝爾公式數(shù)學物理方程波動方程9解：該問題不能直接運用達朗貝爾公式，但可按該思路進行。特征方程為：令：方程可化為：數(shù)學物理方程非波動方程10所以，方程的通解為：帶入初始條件：數(shù)學物理方程11所以：因此：數(shù)學物理方程12解：該問題不能直接運用達朗貝爾原理，但可按該思路進行。特征方程為：令：方程可化為：數(shù)學物理方程非波動方程13所以，方程的通解為：帶入初始條件：又因為：為有限值，所以：即：數(shù)學物理方程14所以：因此：數(shù)學物理方程152弦振說動方奶程的密初始登問題-半無遷界弦路的自麥由振長動物理喚解釋險：認為屈弦很兵長，斬考慮脈弦線短某端影附近著而遠玩離另龍一端趕在較探短時白間內(nèi)適的振震動，堪其中絞給定梁初始著位移儉和速其度，閃沒有泥強迫定外力真作用姓，弦魚線一樓端被酒固定把。數(shù)學肆物理郵方程(3遵.1愁.3碧)16

為了解決這個問題，可以將半無界弦延拓成無限長的弦，由于邊界條件，所以無限長弦的必須為奇函數(shù)，其初始條件也必須為奇函數(shù)，即：數(shù)學雙物理捕方程(3名.1荒.4麥)(3刻.1帽.5芳)17將上棉述初污始條鋪件代地入達就朗貝問爾公木式，招即可梢得到晌：數(shù)學書物理煙方程(3斧.1宋.6倍)18若將捆上述哪的邊茶界條覽件輕改圓為嘩，即只半無股限長挽桿的論自由邁振動誕，桿棍的端獨點自桑由。

為了解決這個問題，可以將半無界弦延拓成無限長的弦，由于邊界條件，所以無限長弦的必須為偶函數(shù)，其初始條件也必須為偶函數(shù)。數(shù)學價物理峽方程(3鉤.1私.7餃)19所以狗：將上物述初總始條鼓件代勞入達宇朗貝輝爾公培式，瓣即可宣得到?。簲?shù)學郊物理甲方程20例子廳：數(shù)學啟物理菌方程21應(yīng)用有達朗隔貝爾伏公式啟得到催解的惹形式養(yǎng)為：數(shù)學傅物理藥方程22當0<t<1/4a當1/功4a<t<1/2a數(shù)學案物理絨方程23當1/忙2a<t<3/4a當3/奏4a<t<1/a數(shù)學上物理達方程24當1/a<t數(shù)學嬸物理娃方程253弦振殲動方返程的蒙初始偵問題--兩端崗固定支的有宋界弦澆的自隸由振焦動

為了應(yīng)用達朗貝爾公式，必須把按以為周期的奇函數(shù)延拓到整個x軸。數(shù)學稅物理瓦方程這個轉(zhuǎn)結(jié)論城完全互是可啦以證褲明的仍。(3垮.1鐮.8預)264弦振徒動方暈程的希初始融問題--一端谷擾動紀引起福的半江無界滾弦的違自由穗振動數(shù)學營物理隊方程無初逢始速持度和戚初始丑位移由于找該問芝題沒除有初跑始速吐度和匪初始挺位移劑，只翻有端扒部的敬位移錦擾動婚（邊巖界條液件）謎，因踩此，眨不能遷直接店運用樓達朗犁貝爾肅公式有。(3詳.1派.9惱)27設(shè)通隔解為菠：代入峰初始腳條件船，可際得：即：所以哄：由于其：恒為常數(shù)，不妨設(shè)為0.數(shù)學田物理民方程28于是恩有：代入姜邊界擴條件片：即：所以既：最終布方程絮的解病為：(3師.1茄.1析0)數(shù)學站物理華方程29例子炕：其中：數(shù)學番物理稻方程305弦振螞動方怕程的溉初始普問題--半無很限長卷桿端鋸點受給垂直仇方向癥力作沙用時貢的振吳動數(shù)學恰物理壩方程

對照本章內(nèi)容4，對于，端點影響尚未到達，對于這部分桿，可以用達朗貝爾公式，即：(3襖.1年.1頂1)31對于，端點作用不可忽略，此外，在處，初始條件均沒有意義，需要延拓，設(shè)：其中桌，液和于為待遭定函所數(shù)。針當臉時，銹有：代入熟邊界排條件樂，有雀：數(shù)學泰物理選方程32此時起的任逢務(wù)是寫如何熄確定宇和設(shè)：代入常邊界溉條件換，發(fā)算現(xiàn)正失好滿聯(lián)足。當挖時，儉方程安的解司為：數(shù)學輝物理惜方程(3腎.1節(jié).1貓2)336弦振仙動方鵲程的咸初始堤問題--無限換長弦湖的強咸迫振快動數(shù)學雖物理鍬方程利用齊次化原理，若滿足：則：此時的可以看作是定時間。(3棍.1錘.1勤3)34令：所以淺：即：數(shù)學益物理蠟方程(3玩.1猾.1籮4)35上述燭方法過也稱嘩作沖量草原理輔法數(shù)學角物理災(zāi)方程

根據(jù)其物理意義，該定解問題可以等效于求解一系列前后相繼的瞬時沖量所引起的振動的解的疊加。代替愛持續(xù)強作用鞏力來斥解決答定解滿問題秤的方未法稱考為沖量種原理中法.(3蝴.1網(wǎng).1括5)36這樣登純強棵迫振長動定名解問洋題的毯解為:數(shù)學狹物理索方程37數(shù)學損物理脾方程代入患上述棄公式振，可局得:例子:387弦振雙動方稻程的第初始話問題--無限牙長弦耍的強員迫振授動（岸初始脫條件釋不為念零）按照疊加原理可令其解為使?jié)M足自由振動定解問題數(shù)學揮物理攪方程(3眠.1贏.1轎6)39數(shù)學竿物理摘方程使?jié)M足純強迫振動定解問題所以騎：對于輕其它攏任何奔的線廢性定框解問崇題，源均可床采用現(xiàn)類似辰于上錫面的教方法內(nèi)，將者之分塑解為片若干幼個易同于求士解的椒定解云問題乞，然轟后疊多加求悶得它求的解慌。(3文.1急.1淋7)40例：淡求解午細圓非錐形關(guān)勻質(zhì)訂桿的帆縱振才動解：技首先疾推導照細圓促錐形膨均質(zhì)肌桿的杰縱振窯動方梨程B受合院力運動截方程ABCxx+dx數(shù)學泥物理喪方程41可設(shè)趁：數(shù)學捆物理絞方程423.魚2球平桐均法[三維麻問題]三維忙波動雞方程副的初榜始問箭題數(shù)學紡物理關(guān)方程(3餡.2閑.1悶)43球平擾均函霞數(shù)特別降地，樣當r=0時，帶有pr數(shù)學和物理糟方程44數(shù)學經(jīng)物理攀方程此時，必須尋找滿足的定解方程。將式（3.2.1）左右兩端分別進行體積分，并應(yīng)用高斯積分公式，可得到：(3呢.2拒.2搖)所以故：(3模.2煉.3差)45數(shù)學以物理薯方程(3掘.2腳.4木)作進套一步騰的簡感化，蓮可得剝：特別肅地，飄當r=0時，亦有(3鐮.2增.5巡壽)46代入眼初始卻條件蔥，可聞得：(3塞.2炎.6字)數(shù)學殖物理縣方程47例子陣：數(shù)學親物理稻方程48r2=x2+y2+z2<1當at<1-r當1-r<at<1+r當at>1+r0數(shù)學陵物理停方程49r2=x2+y2+z2>1當at>r+1當at<r-1當r-1<at<r+1數(shù)學貿(mào)物理紛方程50再例對不顏同的n初始霜位移島的分塌布圖數(shù)學牙物理東方程51引入變換U(r,t)=ru(r,t)，數(shù)學爽物理翻方程此例還比較遇特殊漫，因鋒為初鼠始條魂件也徒正好短是r的函鳥數(shù)，棚否則廚就沒理有這傻樣好適做了類。所以選：52n=1n=2n=5n=4n=3對于競不同涂的n，三昂維波劍的演躬化圖數(shù)學淋物理抗方程53當n=4時在y-戚z平面呼上不惹同時墨刻的盲剖面扣圖t=2彩,歐2.略5,笨3t=蹄3/蔥4,晝1,煎1.珠5t=片0,魔1/憤4,熔2/衡4n=4數(shù)學誕物理搞方程54當n=5時在y-嘩z平面漿上不構(gòu)同時并刻的并剖面雷圖t=2棵,句2.伸5,蘿3t=卡3/垂4,綁1,會1.把5t=觀0,焰1/艷4,繁2/字4n=5數(shù)學荒物理艘方程553.告3降維甩法（二窩維問符題）二維樹波動埋方程損的初通始問講題數(shù)學其物理古方程(3斬.3彈.1腿)56求解董思路：如果篩解u1(x,架y,惑z,防t)是一屬個與z無關(guān)逆的函睡數(shù)，吉則由u1(x,速y,廳z,否t)給出祖的函羽數(shù)u(x,碌y,絹t)就是礙膜振低動方索程初議始問按題的互解。數(shù)學鏟物理搬方程57按照林三維紛振動柴公式賤可得瞞：上述裳三維六空間貸的積裁分可食以轉(zhuǎn)羞化成z=常數(shù)得