由微分方程求狀態(tài)空間表達式

2.3.3由微分方程求狀態(tài)空間表達式

1．系統(tǒng)的實現(xiàn)問題系統(tǒng)的實現(xiàn):根據(jù)系統(tǒng)的外部描述構造一個內(nèi)部結構，要求既保持外部描述的輸入輸出關系，又要將系統(tǒng)的內(nèi)部結構確定下來。這是一個復雜的問題，但也是一個非常重要的問題。一方面，描述系統(tǒng)輸入輸出關系的微分方程或傳遞函數(shù)可以用實驗的方法得到，我們可以從輸入輸出關系描述建立狀態(tài)空間描述，這是建立狀態(tài)空間描述的一條途徑（前面介紹的是通過機理分析建立狀態(tài)空間描述）。這時，一般描述為(2.42)

狀態(tài)變量選為

則

由微分方程有所以

因此，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(2.43a)因此，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為輸出方程為(2.43b)由微分方程

所以(2.44b)

表達為矩陣形式(2.44a)

例2.10已知系統(tǒng)的微分方程為,求狀態(tài)空間表達式。解選取狀態(tài)變量為，，，則由式(2.44)得狀態(tài)空間描述為

3．微分方程含有輸入的導數(shù)項

這時，一般描述為(2.45)狀態(tài)變量的選?。簩τ谶@種情況不能選輸出及其各階導數(shù)作為狀態(tài)變量。因為如果把，…，作為狀態(tài)變量，則狀態(tài)方程為

這時，狀態(tài)變量中包含了輸入信號的導數(shù)項，使得當輸入信號出現(xiàn)階躍時，狀態(tài)變量將是不確定的，不滿足選擇狀態(tài)變量的要求，因此，在這種情況下，不能選擇，，…作為狀態(tài)變量。（1）方法一選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為

(2.46)

其中，，…，是個待定系數(shù)。整理上式可得(2.47)

對式(2.46)中最后一式求導，得(2.48)由微分方程(2.45)得

(2.49)

將式(2.49)代入式(2.48)得

(2.50)

選擇待定系數(shù)，，使中輸入信號的各階導數(shù)項的系數(shù)均為零，即

(2.51)且令中輸入項的系數(shù)為，即(2.52)

則(2.53)聯(lián)立式(2.47)，(2.53)即為狀態(tài)方程(2.54)矩陣形式為(2.55a)

輸出方程為(2.55b)其中,，，由式(2.51)和式(2.52)確定，寫成如下便于記憶的矩陣形式

（2.56a）

（2.56a）

另一方面，而且是更重要的一個原因，通過實現(xiàn)可以構造一個與原系統(tǒng)輸入輸出等價的系統(tǒng)以便進行狀態(tài)估計等，從而實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制，改善系統(tǒng)控制特性。2．微分方程不含有輸入的導數(shù)項則

（2.56b）

因此碗有（2雁.5袍7）從式劈燕（2兄.5獸6）陷可見飯，當餓，吉時可亂得舌，脖，釀代入細式(吊2.松55剪)可毯得式堤(2剖.4理4)占，就登是前路面討服論的懼微分振方程包不含套有輸摔入導欠數(shù)項販的情鍋況的勺結果臭。例2花.1瘦1悉以毀知系銳統(tǒng)的棉微分嗽方程混為求系嗎統(tǒng)的莫狀態(tài)報空間款表達勻式。解更由鵝式（該2.罵57顯）得取狀智態(tài)變脫量為由式婚(2柜.5射5a)得系規(guī)統(tǒng)的惰狀態(tài)峰空間助表達擊式描籍述為（2歲）方中法二這種輔方法范的思仁路是國基于者方框令圖變旋換，是與微正分方洗程(沉2.蝦45么)等惹效的賭方框左圖如姐圖（芒2.礎8a）所示鴿，等增效變歷換為牲圖（腸2.球8b）。引入討中間工變量z，則微朗分方柏程(譽2.妖45鹿)可放以化倚成下崇面兩達個方符程表眉示（2征.5津8a）（2策.5戚8b擁）取狀歲態(tài)變研量，角，記，則所以后，狀典態(tài)方筍程為或(2喊.5陳9a)由式弄(2跑.5秤8)秒得輸剪出方愿程為(2稀.5慈9b)一般墓，則(2暢.5固9c)這種胞方案蹈選擇安的狀誤態(tài)變步量已剩不具婦有明撐顯的權物理趕意義乳，但澤便于顫記憶扁。例2妄.1尸2算以右知系慈統(tǒng)的才微分炸方程但為求系笨統(tǒng)的島狀態(tài)葵空間對描述寬。解匯由掃式（鵲2.嶺59紹）得啦狀態(tài)拆空間昨描述趕為由輸云入輸累出描衫述構置造狀齊態(tài)空活間描傅述，低即系歌統(tǒng)實遭現(xiàn)問休題的渾方法望還很飾多，杯例如自由傳馬遞函渾數(shù)構折造狀黎態(tài)空綁間表壇達式皂。2.稠4傳遞轟函數(shù)2.紅4.帽1丙傳本遞函禁數(shù)與遣脈沖么響應蛋函數(shù)廉的定和義設描季述線樓性定哈常系趙統(tǒng)的扛微分此方程控為(2罩.6緣瑞0)因為膀控制才理論穗著重禾分析庭系統(tǒng)竭的結量構、莊參數(shù)象與系研統(tǒng)的使動態(tài)餅性能攝之間刻的關喂系，遙所以勸，為鼓簡化貢分析危，設辜系統(tǒng)暈的初辱始條屈件為盯零?；I在零祥初始把條件惠下，跨對式辰（2浮.6皂0）拳取拉午氏變升換記（2灶.6浮1）反映陽了系詢統(tǒng)輸畢出與慢輸入鼻之間未的關兼系，撥描述軋了系然統(tǒng)的怖特性話，通牲常稱抄為線備性定認常系腸統(tǒng)（擦環(huán)節(jié)敲）的笛傳遞敞函數(shù)柏。定義攪：在籮零初率始條厭件下值，線診性定起常系舉統(tǒng)（懲環(huán)節(jié)教）輸株出的樂拉氏更變換拾與輸坊入的籠拉氏塞變換屈之比僻，稱監(jiān)為該琴系統(tǒng)?。ōh(huán)敬節(jié)）串的傳要遞函噴數(shù)，劍記為曉。顯然智，在書零初搞始條短件下初，若序線性干定常蓋系統(tǒng)煌的輸盡入的妥拉氏推變換導為，均則系屬統(tǒng)的隸輸出輕的拉鬧氏變掙換為（2章.6辣2）系統(tǒng)加的輸貢出為恨（燒2.促63盲)由于細單位緩脈沖骨輸入讀信號羞的拉菜氏變屈換為所以獨，單案位脈劑沖輸域入信購號作火用下戴系統(tǒng)摸的輸野出的攏拉氏百變換稱為單位病脈沖堅輸入齒信號結下系君統(tǒng)的迫輸出濤為g(污t)鳥,則（2云.6看4）可見蕉，系薪統(tǒng)傳仇遞函威數(shù)的疲拉氏乒反變雪換即殿為單瓦位脈鄰沖輸殘入信初號下糖系統(tǒng)晌的輸恐出。借因此廣，系腦統(tǒng)的吸單位鬧脈沖扔輸入辰信號圾下系蔑統(tǒng)的稼輸出內(nèi)完全教描述油了系徹統(tǒng)動敘態(tài)特桐性，康所以浙也是遠系統(tǒng)請的數(shù)遷學模踐型，思通常駐稱為賊脈沖凳響應紛函數(shù)臂。定義在零嫂初始爐條件點下，播線性狀定常殘系統(tǒng)澇在單燃位脈挺沖輸?shù)稳胄徘刑栕髂Ｓ孟略频妮斣~出響悉應，蹈稱為糾該系吐統(tǒng)的姥脈沖佳響應淚函數(shù)賠，記仗為g(曉t)裳。2.跑4.由2傳遞呢函數(shù)齒的表混達式傳遞攪函數(shù)臟一般晶是復眾變函炎數(shù)，罰可以深變換詳為各鼓種形狠式。1．木有理登分式奶形式傳遞孔函數(shù)惰最常抗用的秩形式砍是下芒列有敘理分耀式形嫂式（2盛.6與5）傳遞埋函數(shù)猾的分構母多調項式D(賭s)稱為堵系統(tǒng)步的特塊征多粗項式據(jù)，D(交s)么=0稱為拋系統(tǒng)緒的特蝦征方倦程，D(致s)糕=0的根咬稱為寬系統(tǒng)娘的特筐征根鉤或極蠻點。分母執(zhí)多項摟式的偉階次象定義家為系療統(tǒng)的傅階次撕。對代于實屢際的鄭物理屆系統(tǒng)銅，多棒項式D(順s)介、N習(s頁)的所詢有系陶數(shù)為遵實數(shù)寇，且墳分母礦多項脊式的供階次n高于找或等沾于分堅子多勁項式船的階跡次m，即n≥m。2．零極核點形久式將傳眠遞函含數(shù)的轉分子丈、分犯母多摟項式腿變?yōu)檎勈滓粡U多項保式，帆然后淺在復的數(shù)范認圍內(nèi)蠢因式月分解叼，得n≥m抬（2.衣66）式中枕，稱醫(yī)為系即統(tǒng)的長零點縣；圈為系摧統(tǒng)的希極點分；k為系瞎統(tǒng)的駝根軌目跡放吼大系贈數(shù)。系統(tǒng)井零點止、極天點的貸分布愉決定茫了系幫統(tǒng)的繞特性共，因址此，洗可以毛畫出辟傳遞哈函數(shù)岡的零縱極點秧圖，園直接屢分析紅系統(tǒng)灑特性漏。在劇零極棵點圖同上，咐用“寸”表嗽示極安點位綿置，懷用“為”表抖示零銷點狀態(tài)景變量守選為旅則位置摘。例如苗，傳貍遞函指數(shù)的零疼極點礙圖如爆圖2乏.9族所示樣。3．禿時間普常數(shù)雪形式將傳作遞函撫數(shù)的搜分子襯、分鏟母多姑項式鍵變?yōu)閰⑽惨荒囗椔勈?，刑然后第在復承?shù)范酷圍內(nèi)障因式謝分解剪，得（2倡.6真7）（2盈.6終8）式中綿，K為傳象遞系幻玉數(shù)，纖通常斤也為首系統(tǒng)誰的放視大系覺數(shù)；資為怒系統(tǒng)仰的時微間常墨數(shù)。2.劈燕4.姻3咱線賽性系菊統(tǒng)的赴基本砍環(huán)節(jié)1．泛問題號的提征出不同旱性質取的物菠理系薦統(tǒng)常校常有腳相同易的數(shù)誕學模逆型。謊任何叉線性肯連續(xù)拌系統(tǒng)文的數(shù)聯(lián)學模售型可宇以看虛作一番些基盡本環(huán)蓬節(jié)組表合而頌成。2．傳集遞函徹數(shù)的陰一般牽形式純滯禿后現(xiàn)焰象：實際杠系統(tǒng)汁大多貝數(shù)都尊有延蝦時效或應，筋即在咸輸入?yún)捵饔糜嘁欢窝陼r間τ后，鑒系統(tǒng)貸才有袖輸出析響應凍，在稱時間τ內(nèi)輸蹲入雖仇然作孤了變雹化，唐但系摔統(tǒng)輸辟出量癢并不傭作相傷應變延化。輸出希量的顛變化情落后追于輸艦入量碧