初中數(shù)學競賽指導分式競賽專題訓練含答案

《分式》競賽專題訓練1分式概念分母中含有字母有理式叫做分式.分式分母不能為零;只有當分式分母不為零，而分式分子為零時，分式值為零.經(jīng)典例題(1)當為何值時，分式有意義?(2)當為何值時，分式值為零?解題策略要使分式有意義，應有分母不為零這個分式有兩個分母和，它們都不為零，即且，于是當且時，分式有意義，要使分式值為零，應有且，即且，于是當初，分式值為零畫龍點睛要使分式有意義，分式分母不能為零.要使分式值為零，應有分式分母不為零，而分式分子等于零，以上兩條，缺一不可.舉一反三(1)要使分式有意義取值范圍是()(A)(B)(C)(D)(2)若分式值為零，則值為()(A)(B)或(C)(D)(1)當時，分式值為零;(2)當時，分式已知當初，分式無意義;當初，分式值為零，求.融會貫通若，求值范圍.2分式基本性質(zhì)分式基本性質(zhì)是:分式分子和分母都乘以或除以同一個不等于0整式，分式值不變.分式基本運算，比如改變分子、分母或分式符號以及通分、約分等，都要用到這個性質(zhì).本節(jié)主要講解它在解答一些分式計算綜合題時應用.經(jīng)典例題若，求值解題策略因為，所以將等式左邊分子、分母同時除以，得，所以有所以畫龍點睛對于含有形式分式，要注意以下恒等變形:舉一反三(1)不改變分式值，使分式分子和分母系數(shù)都化為整數(shù);(2)不改變分式值，使分式分子和分母最高次項系數(shù)是正數(shù):已知，求值.已知，求值.融會貫通已知，求值.3分式四則運算分式四則運算和分數(shù)四則運算是一致，加減法關(guān)鍵是通分和約分.綜合運算時要遵照先乘除后加減，以及先做括號內(nèi)，再做括號以外次序.經(jīng)典例題計算：解題策略原式畫龍點睛在進行分式四則運算時，要注意運算次序.在化簡時，因式分解是主要恒等變形方法;在解答求值問題時，通常應該先化簡分式，再將字母對應值代入計算.舉一反三先化簡，再求值：，其中.計算：(1)已知實數(shù)滿足，求值(2)已知、為實數(shù)，且，設，，試比較、大小關(guān)系.融會貫通甲、乙兩位采購員同去一家肥料企業(yè)購置兩次肥料，兩次肥料價格有改變，兩位采購員購貨方式也不一樣:甲每次購置800千克;乙每次用去600元，而不論購置多少肥料.請問誰購貨方式更合算?4分式運算技巧——裂項法我們知道，多個分式代數(shù)和能夠合并成一個分式，如反過來，由右邊到左邊計算往往能夠使一些復雜分式計算變得簡捷常見裂項有:，經(jīng)典例題已知，求、值解題策略由，可得，解得畫龍點睛已知等式右邊通分并利用同分母分式減法法則計算，利用分式相等條件求出、值即可.舉一反三若在關(guān)于恒等式中，為最簡分式，且有，，求，.化簡：計算：融會貫通已知，當初永遠成立，求以、、為三邊長四邊形第四邊取值范圍.5含有幾個相等分式問題解法有一類化簡求值問題，已知條件中含有若干個相等分式，其本質(zhì)是幾個比比值相等問題.處理這類問題常將這個相等比用一個字母表示，從而將其轉(zhuǎn)化為一個整式問題來處理.經(jīng)典例題已知，且，求值解題策略由得從而設，則，，三式相加得，即，所以，或若，則，符合條件；若，則與題設矛盾，所以不成立所以畫龍點睛將相等比用一個字母表示，是處理含有連等分式問題?？捶ǚ?在得到等式后.不要直接將等式兩邊除以，因為此式可能等于0.在求出值后.要注意驗證，看是否與已知條件矛盾.舉一反三(1)已知，求值①；②；③(2)已知，求值若，求值已知實數(shù)、、滿足，而且，則直線一定經(jīng)過()(A)第一、二、三象限(B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限(D)第一、三、四象限融會貫通已知，且，求值6整數(shù)指數(shù)冪通常地，當是正整數(shù)時，，這就是說是倒數(shù).引入了負整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)取值范圍就推廣到全體整數(shù).經(jīng)典例題已知，，求值解題策略畫龍點睛將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以、為底乘方，進而代入對應值進行計算.舉一反三計算(1)(2)(3)水與我們?nèi)粘Ｉ蠲懿豢煞?，科學家研究發(fā)覺，一個水分子質(zhì)量大約是kg，8g水中大約有多少個水分子?經(jīng)過深入研究科學家又發(fā)覺，一個水分子是由2個氫原子和一個氧原子組成.已知一個氧原子質(zhì)量約為kg，求一個氫原子質(zhì)量.已知，求(1)；(2)；(3)融會貫通如圖，點、在數(shù)軸上表示數(shù)分別是0、0.1.將線段(分成100等份，其分點由左向右依次為、，…，;再將線分成100等份，其分點由左向右依次為、，…，;繼續(xù)將線段分成100等份，其分點由左向右依次為、…，.則點所表示數(shù)用科學記數(shù)法表示為7分式方程解法分母中含有未知數(shù)方程是分式方程.通常我們采取去分母方法，將其變形為整式方程來解答.經(jīng)典例題解方程解題策略解法一去分母，得所以驗根知為原方程解.解法二方程兩邊加1，得即所以解得驗根知為原方程解.解法三原式可化為所以以下同解法二畫龍點睛通常我們采取去分母方法來解分式方程，先將其變形為整式方程，再用解整式方程方法來解答.除了用去分母方法來解分式方程外，采取部分分式方法，即將分式分解為一個整式和一個分式之和，這么能夠使解方程過程變得簡單.解完分式方程后，要進行檢驗，這是一個必不可少步驟.因為在去分母時輕易產(chǎn)生增根.舉一反三(1)解方程(2)解方程(1)解方程(2)解方程若解方程是會有增根，求它增根融會貫通已知方程(是常數(shù)，)解是或，求方程(是常數(shù)，且)解.8列分式方程解應用題和整式中一元一次方程一樣，列分式方程所解應用題也包含工程問題、行程問題、經(jīng)濟問題等，本節(jié)介紹列分式方程解應用問題方法.經(jīng)典例題某市今年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲25%，小明家去年12月份水費是18元，而今年5月份水費是36元，已知小明家今年5月份用水量比去年12月多6立方米，求該市今年居民用水價格.解題策略設該市去年居民用水價格為元/m3，則今年用水價格為元/m3.依照題意得:，解得：經(jīng)檢驗：是原方程解.所以所以該市今年居民用水價格為2.25元/m3.畫龍點睛列分式方程解應用題步驟與列一元一次方程解應用題步驟基本上是一致:審查題意，設未知數(shù);找出等量關(guān)系，列出方程;解分式方程并驗根;寫出答案.舉一反三某服裝廠準備加工300套演出服，加工60套后，采取了新技術(shù)，使天天工作效率是原來2倍，結(jié)果共用了9天完成任務，請問:該廠原來天天加工多少套演出服?便民服裝店老板在株洲看到一個夏季衫，就用8000元購進若干件，以每件58元價格出售，很快售完.又用17600元購進同種襯衫，數(shù)量是第一次2倍，每件進價比第一次貴了4元，服裝店仍按每件58元出售，全部售完.問該服裝店這筆生意共盈利多少元?從甲地到乙地共50km，其中開始10km是平路，中間20km是上坡路，余下20km又是平路，小明騎自行車從甲地出發(fā)，經(jīng)過2小時10分鐘抵達甲、乙兩地中點，再經(jīng)過1小時50分鐘抵達乙地，求小明在平路上速度(假設小明在平路上和上坡路上保持勻速).融會貫通某工程隊(有甲、乙兩組)承包一項工程，要求若干天內(nèi)完成.(1)已知甲組單獨完成這項工程所需時間比要求時間多30天，乙組單獨完成這項工程所需時間比要求時間多12天，假如甲乙兩組先合做20天，剩下由甲組單獨做，恰好按要求時間完成，那么要求時間是多少天?(2)實際工作中，甲乙兩組合做完成這項工程后，工程隊又承包了新工程，需要抽調(diào)一組過去，從按時完成任務考慮，你認為留下哪一組愈加好?說明理由.參考答案1分式概念1.(1)B(2)C2.(1)(2)或3.64.2分式基本性質(zhì)(1)(2)由已知，得，所以原式將分子和分母同時除以，得3分式四則運算當初，原式(1)由知所以原式(2)所以設兩次購置肥料單價分別為元/千克和元/千克(、為正數(shù)，且)，則甲兩次購置肥料平均單價為：(元/千克).乙兩次購置肥料平均單價為：(元/千克).因為，又，，，所以所以甲平均單價比乙高，所以乙購貨方式更合算一些4分式運算技巧——裂項法且，所以，，從而可得，原式原式因為所以所以，，解得，，所以四邊形第四邊取值范圍應滿足，，，，解得5含有幾個相等分式問題解法(1)設，則(2)設則解得設則所以，得當初，，原式當初，，原式于是因為所以直線圖象經(jīng)過第一、三、四象限故選擇D設，故所以又所以6整數(shù)指數(shù)冪1.(1)(2)(3)2.個kg3.(1)因為，且所以所以(2)(3)4.表示數(shù)為表示數(shù)為表示數(shù)為7分式方程解法(1)原方程分母因式分解為去分母得解得檢驗知為原方程根(2)原方程式變形為整理得解得檢驗知為原方程根(1)原方程分母因式分解為去分母得解得檢驗知為原方程根(2)原方程化為解得檢驗把代入最簡公分母，所以是原方程根去分母，得假如增根為，則，假如增根為，則，無解，所以將方程整理得所以，或故或8列分式方程解應用題設服裝廠原來天天加工套演出服.依照題意，得解得經(jīng)檢驗是原方程根.設原進價為元一件，則第二次進價為元一件，依題意得解得經(jīng)檢驗是原方程根服裝店這筆生意第一次購進件，第二次購進件，服