人教A版選擇性必修第三冊第八章82一元線性回歸模型及其應用學案

8．2一元線性回歸模型及其應用必備學問·自主學習導思1.什么是一元線性回歸模型?如何求閱歷回歸方程?2.如何進行回歸分析?一元線性回歸模型的完整表達式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e,E〔e〕＝0，D〔e〕＝σ2))，其中Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量，a，b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)，e是Y與bx＋a之間的隨機誤差.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，其樣本點散布在某一條直線y＝bx＋a的四周，可以用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述兩個變量之間的關(guān)系嗎？提示：不能．2．閱歷回歸方程(1)最小二乘法我們將＝x＋稱為Y關(guān)于x的閱歷回歸方程，也稱閱歷回歸函數(shù)或閱歷回歸公式，其圖形稱為閱歷回歸直線．這種求閱歷回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估量．(2)閱歷回歸方程的系數(shù)計算公式(3)閱歷回歸方程的性質(zhì)①閱歷回歸方程肯定過點；②一次函數(shù)＝x＋的單調(diào)性由的符號打算，函數(shù)遞增的充要條件是__＞0__；③的實際意義：當x增大一個單位時，增大個單位．正相關(guān)、負相關(guān)與的符號有何關(guān)系？提示：Y與x正相關(guān)的充要條件是＞0，Y與x負相關(guān)的充要條件是＜0.3．殘差(1)殘差：對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過閱歷回歸方程得到的稱為猜測值，觀測值減去猜測值稱為殘差．(2)打算系數(shù)：R2＝1－越接近1，表示回歸的效果越好．1．辨析記憶(對的打“√〞，錯的打“×〞).(1)閱歷回歸方程肯定過樣本中的某一個點．(×)提示：閱歷回歸方程肯定過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，可能過樣本中的某個或某些點，也可能不過樣本中的任何一個點．(2)選取一組數(shù)據(jù)中的局部點得到的閱歷回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的閱歷回歸方程是同一個方程．(×)提示：選取一組數(shù)據(jù)中的局部點得到的閱歷回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的閱歷回歸方程不肯定是同一個方程．(3)在閱歷回歸模型中，R2越接近于1，表示解釋變量和響應變量的線性相關(guān)性越強．(√)(4)在畫兩個變量的散點圖時，響應變量在x軸上，解釋變量在y軸上．(×)提示：在畫兩個變量的散點圖時，解釋變量在x軸上，響應變量在y軸上．2．假如記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0，1)，(1，3)，(2，5)，(3，7)，那么y關(guān)于x的閱歷回歸直線必過點()A．(2，2)B．(1.5，2)C．(1，2)D．(1.5，4)【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，所以閱歷回歸直線必過點(1.5，4).3．假設(shè)一個樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，那么R2為________.【解析】R2＝1－eq\f(60,80)＝0.25.答案：關(guān)鍵力量·合作學習類型一閱歷回歸方程及其應用(數(shù)學建模、數(shù)學運算)1．四名同學依據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)討論變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得閱歷回歸方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負相關(guān)且x－6.423；②y與x負相關(guān)且x＋5.648；③y與x正相關(guān)且x＋8.493；④y與x正相關(guān)且x－4.578.其中肯定不正確的結(jié)論的序號是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】＞0，負相關(guān)時＜0，故①④肯定不正確．2.某產(chǎn)品的廣告費用x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x4235銷售額y49263954依據(jù)上表可得閱歷回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型猜測廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬 【解析】選B.eq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝3.5，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42.由于回歸直線過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以42＝9.4×3.5＋，解得＝9.1，故回歸方程為xx＝6時＝6×9.4＋9.1＝65.5.3．某商店統(tǒng)計了最近6個月商品的進價x與售價y(單位：元)的對應數(shù)據(jù)如下：x3528912y46391214那么閱歷回歸方程為________.【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(3＋5＋2＋8＋9＋12,6)＝6.5，eq\x\to(y)＝eq\f(4＋6＋3＋9＋12＋14,6)＝8，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝32＋52＋22＋82＋92＋122＝327，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝3×4＋5×6＋2×3＋8×9＋9×12＋12×14＝396，＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－6\x\to(x)2)≈1.143，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≈0.571.故閱歷回歸方程為x＋0.571.答案：x1．求閱歷回歸方程的方法(1)公式法：求出b，a的最小二乘估量，．(2)待定系數(shù)法：利用閱歷回歸直線過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))求，．2．閱歷回歸方程的應用(1)進行猜測：把閱歷回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(2)推斷正、負相關(guān)：打算正相關(guān)還是負相關(guān)的是參數(shù)．【加練·固】依據(jù)?中國統(tǒng)計年鑒?計算整理某城市最近十年蔬菜需求量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，截取局部統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：年份20092011201320152017需求量(萬噸)336346357376386(1)畫出散點圖；(2)依據(jù)(1)畫出的散點圖推斷需求量與年份是否線性相關(guān)，假設(shè)相關(guān)，求出閱歷回歸方程，假設(shè)不相關(guān)，說明理由；(3)利用(2)中所求的閱歷回歸方程猜測該市2020年的蔬菜需求量．附：參考公式＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)〔ti－\x\to(t)〕〔mi－\x\to(m)〕,\i\su(i＝1,n,)〔ti－\x\to(t)〕2)＝eq\x\to(m)－eq\x\to(t)【解析】(1)畫出散點圖如圖．(2)由散點圖可知，需求量與年份線性相關(guān)．將所給表格中的數(shù)據(jù)進行處理如下表：t(年份－2013)－4－2024m(需求量－357)－21－1101929由表可知eq\x\to(t)＝eq\f(1,5)(－4－2＋0＋2＋4)＝0，eq\x\to(m)＝eq\f(1,5)(－21－11＋0＋19＋29)＝3.2.所以＝[(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2]÷(42＋22＋22＋42－5×02)＝6.5，所以＝3.2－0×6.5＝3.2，所以t＋3.2，所以線性回歸方程是－357＝6.5(x－2013)＋3.2，即x－12724.3.(3)當x＝2020時，＝6.5×2020－12724.3＝405.7，即猜測該市2020年蔬菜需求量是405.7萬噸．類型二線性回歸分析(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)【典例】某運發(fā)動訓練次數(shù)與訓練成果之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如表：次數(shù)(x)3033353739444650成果(Y)3034373942464851(1)作出散點圖；(2)求出閱歷回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計算R2，并說明運發(fā)動的訓練次數(shù)對成果的影響占百分之幾．【解析】(1)作出該運發(fā)動訓練次數(shù)x與成果Y的散點圖，如下圖．由散點圖可知，它們之間具有相關(guān)關(guān)系．(2)eq\x\to(x)＝39.25，eq\x\to(y)＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝12656，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，所以≈1.0415，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝－0.003875，所以閱歷回歸方程為＝1.0415x－0.003875.(3)殘差分析：下面的表格列出了運發(fā)動訓練次數(shù)和成果的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)．xY3030－1.24113334－0.365635370.551437390.468439421.385444460.177946480.09495051－1.0711作殘差圖如下圖．由圖可知，殘差點比擬勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選擇的模型比擬適宜．(4)計算R2≈0.9855，說明白該運發(fā)動的訓練次數(shù)對成果的影響占98.55%.“R2、殘差圖〞在回歸分析中的作用(1)R2是用來刻畫回歸效果的，由R2＝1－可知R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果就越好．(2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的，推斷依據(jù)是：殘差點比擬勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程預報精度越高．為討論質(zhì)量x(單位：g)對彈簧長度Y(單位：cm)的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如表所示：x51015202530Y(1)作出散點圖并求閱歷回歸方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進行殘差分析．【解析】(1)散點圖如圖．eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，計算得≈0.183，≈6.285.故所求閱歷回歸方程為x.(2)列出殘差表為yi－iyi－eq\x\to(y)yi－iyi－eq\x\to(y)所以i)2≈0.01318，eq\x\to(y))2＝14.6783.所以，R2＝1－eq\f(0.01318,14.6783)≈0.9991，回歸模型的擬合效果較好．(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比擬大，需要確認在采集這個樣本點的時候是否有人為的錯誤，假如有的話，需要訂正，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比擬勻稱地落在狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與所掛物體的質(zhì)量成線性關(guān)系．類型三求非線性閱歷回歸方程(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)【典例】在一化學反響過程中，某化學物質(zhì)的反響速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了如表所示的8組數(shù)據(jù)，求y與x的閱歷回歸方程．催化劑量x(g)1518212427303336化學物質(zhì)反響速度y(g/min)6830277020565350【解析】依據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點圖，如下圖．依據(jù)樣本點的分布狀況，可選用指數(shù)型函數(shù)模型y＝c1ec2x(c1，c2為待定的參數(shù))，令z＝lny，那么z＝c2x＋lnc1，即變換后樣本點應當分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的四周，由y與x的數(shù)據(jù)表得z與x的數(shù)據(jù)表如下：x1518212427303336z作出z與x的散點圖，如下圖，由圖可以看出變換后的樣本點分布在一條直線四周，所以可用線性回歸方程來擬合．由表中數(shù)據(jù)可得≈0.1812，≈－0.8492，故＝0.1812x－0.8492，所以＝e0.1812x－0.8492，因此該化學物質(zhì)的反響速度與催化劑的量的非線性回歸方程為＝e0.1812x－0.8492.求非線性閱歷回歸方程常見轉(zhuǎn)化類型：(1)反比例函數(shù)y＝a＋eq\f(b,x)可作變換t＝eq\f(1,x)，得y＝a＋bt.(2)冪函數(shù)型y＝axb(a＞0)可作變換Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，那么有Y＝m＋bt.(3)指數(shù)型函數(shù)y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0)可作變換Y＝lny，m＝lnk，那么有：Y＝m＋(blna)x生物學家認為，睡眠中的恒溫動物依舊會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫．脈搏率f是單位時間心跳的次數(shù)，醫(yī)學討論發(fā)覺，動物的體重W(單位：g)與脈搏率f存在著肯定的關(guān)系．如表給出一些動物體重與脈搏率對應的數(shù)據(jù)，圖1畫出了體重W與脈搏率f的散點圖，圖2畫出了lgW與lgf的散點圖．動物名體重脈搏率鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔2000200小狗5000120大狗3000085羊5000070為了較好地描述體重和脈搏率的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種模型供選擇：①f＝kW＋b②lgf＝klgW＋b(1)選出你認為最符合實際的函數(shù)模型，并說明理由；(2)不妨取表中豚鼠和兔的體重脈搏率數(shù)據(jù)代入所選函數(shù)模型，求出f關(guān)于W的函數(shù)解析式；(3)假設(shè)馬的體重是兔的256倍，依據(jù)(2)的結(jié)論，估計馬的脈搏率．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.5.)【解析】(1)模型②lgf＝klgW＋b最符合實際．依據(jù)散點圖的特征，圖2根本上呈直線形式，所以可選擇一次函數(shù)來刻畫lgW和lgf的關(guān)系．(2)lg200＝2＋lg2≈2.3，lg2000＝3＋lg2≈3.3，lg300＝2＋lg3≈2.5，由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg300＝klg300＋b,lg200＝klg2000＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4),b＝\f(25,8)))，所以lgf＝－eq\f(1,4)lgW＋eq\f(25,8)，所以f關(guān)于W的函數(shù)解析式為f＝·.(3)設(shè)馬的體重和脈搏率分別為W1，f1，兔的體重和脈搏率分別為W2，f2，由題意知，eq\f(W1,W2)＝256，所以eq\f(f1,f2)＝＝＝＝＝eq\f(1,4).由于f2＝200，所以f1＝50，即馬的脈搏率為50.課堂檢測·素養(yǎng)達標1．關(guān)于回歸分析，以下說法錯誤的選項是()A．回歸分析是討論兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法B．散點圖中，解釋變量在x軸，響應變量在y軸C．回歸模型中肯定存在隨機誤差D．散點圖能明確反映變量間的關(guān)系【解析】選D.用散點