第四章+相似三角形+單元測(cè)試卷-浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第四章相似三角形一、單選題1．如圖，白熾燈正下方有一個(gè)乒乓球，當(dāng)乒乓球沿豎直方向越來越遠(yuǎn)離白熾燈時(shí)，它在地面上的影子（）A．越來越大 B．越來越小C．先變大后變小 D．先變小后變大2．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC等于（）A．5 B．6 C．7 D．83．已知，點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E、F，，那么等于（）A． B． C． D．4．如圖，在中，，于點(diǎn)D，，，則AD的長(zhǎng)是（）A．1. B． C．2 D．45．已知線段a、b、c，求作線段x，使，以下做法正確的是…（）A． B．C． D．6．如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是O，＝，則S四邊形EFGH÷S四邊形ABCD＝（）A． B． C． D．7．如圖，△ABC和△A?B?C?位似，位似中心為點(diǎn)O，點(diǎn)A（-1，2）、點(diǎn)A?（2，-4），若△ABC的面積為4，則△A?B?C?的面積是（）A．2 B．4 C．8 D．168．如圖，在等腰中，為射線上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作，垂足為F，下列說法正確的是()A． B． C． D．9．如圖，在中，點(diǎn)D在BC上一點(diǎn)，下列條件中，能使與相似的是（）A．∠BAD＝∠C B．∠BAC＝∠BDAC．AB2＝BD?BC D．AC2＝CD?CB10．如圖，直線a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別相交于點(diǎn)A，C，E和點(diǎn)B，D，F(xiàn)，若AC=4，AE=10，BF=，則DF的長(zhǎng)為（）A． B．10 C．3 D．二、填空題11．已知線段a=4，b=9，線段c是a，b的比例中項(xiàng)，則線段c=。12．已知△ABC∽△DEF，且相似比為3：4，S△ABC=2cm2，則S△DEF=13．如圖，在中，點(diǎn)D在上，連接．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得，然后再加以證明．14．如圖，，，相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．15．在比例尺為1：5000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為25cm，則甲、乙兩地間的實(shí)際距離是km.三、解答題16．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE．求證：△ADB∽△AEC．17．如圖，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求證：△ABC∽△EAD.18．如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的BC邊上，并且使條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，另一條直角邊與AB交于點(diǎn)Q．請(qǐng)寫出一對(duì)相似三角形，并加以證明．（圖中不添加字母和線段）19．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度1cm/s；（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等腰三角形？20．在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根，比如對(duì)于方程，操作步驟是：第一步：根據(jù)方程系數(shù)特征，確定一對(duì)固定點(diǎn)A（0，1），B（5，2）；第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板，使一條直角邊恒過點(diǎn)A，另一條直角邊恒過點(diǎn)B；第三步：在移動(dòng)過程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在x軸上點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根（如圖1）第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為n即為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）在圖2中，按照“第四步“的操作方法作出點(diǎn)D（請(qǐng)保留作出點(diǎn)D時(shí)直角三角板兩條直角邊的痕跡）（2）結(jié)合圖1，請(qǐng)證明“第三步”操作得到的m就是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根；（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置，若要以此方法找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）實(shí)際上，（3）中的固定點(diǎn)有無數(shù)對(duì)，一般地，當(dāng)，，，與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，點(diǎn)P（，），Q（，）就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn)？四、綜合題21．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．（1）求證：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求DE的長(zhǎng)．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)中心投影的特點(diǎn)，當(dāng)乒乓球沿豎直方向越來越遠(yuǎn)離白熾燈時(shí)，它在地面上的影子越來越小，故答案為：B.【分析】根據(jù)中心投影的特點(diǎn)：等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短，判斷即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BC＝6。故答案為：B。【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截的三角形原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出＝，根據(jù)比例式即可算出BC的長(zhǎng)。3．【答案】B【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，，∴S△ABC：S△DEF＝．故答案為：B．【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答．4．【答案】D【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4.故答案為：D.【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根據(jù)同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可證得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故，故此選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故，故此選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故，故此選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故，故此選項(xiàng)不符合題意．故答案為：B．

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等?？膳袛鄡蓚€(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，列出關(guān)系式，即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷。6．【答案】B【解析】【解答】∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是點(diǎn)O，＝∴＝＝則＝＝故答案為：B【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)相似多邊形的相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)解答.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC和△A?B?C?位似，位似中心為點(diǎn)O，點(diǎn)A（-1，2）、點(diǎn)A′（2，-4），∴△ABC∽△A′B′C′，∵OA==，OA′==2，，∴，∵△ABC的面積為4，∴△A?B?C?的面積=16，故答案為：D．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)、點(diǎn)A和點(diǎn)A′的坐標(biāo)，得到△ABC∽△A′B′C′，且相似比為1：2，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．8．【答案】D【解析】【解答】解：∵，∴∴∴，A不符合題意；∵∴∴，C不符合題意；∵∴，∵∴∵∴∴∴，B不符合題意；∵，∴∴∵∴∴∴，D符合題意．故答案為：D【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可得解9．【答案】D【解析】【解答】與有一個(gè)公共角，即，要使與相似，則還需一組角對(duì)應(yīng)相等，或這組相等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，選項(xiàng)D中的，即，正好是與的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，符合相似三角形的判定，故答案為：D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定即可．10．【答案】A【解析】【解答】解：∵AC=4，AE=10，∴CE=6，∵直線a∥b∥c，∴AE：CE=BF：DF，即10：6=7.5：DF，∴DF=4.5，故答案為：A．

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得AE：CE=BF：DF，再將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可。11．【答案】6【解析】【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得c2＝4×9，解得c＝±6（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），

∴c＝6cm，

故答案為：6．

【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出c.12．【答案】【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方建立方程，求解即可。13．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），證明見解析【解析】【解答】解：添加，又∵，∴，故答案為：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。14．【答案】5【解析】【解答】解：∵，∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，∴△EAB∽△EDC，∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，又∵AB＝2.5，∴CD＝5．故答案為：5．

【分析】先證明△EAB∽△EDC，可得AB：CD＝AE：DE＝1：2，再將數(shù)據(jù)代入求出CD的長(zhǎng)即可。15．【答案】1.25【解析】【解答】解：設(shè)甲、乙兩地間的實(shí)際距離為xcm，則：，解得：x=125000.125000cm=1.25km.故答案為：1.25.【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，列比例式直接求得甲、乙兩地間的實(shí)際距離.16．【答案】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，∴，∴△ADB∽△AEC．【解析】【分析】先求出AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，再求出，最后證明三角形相似即可。17．【答案】解:∵AD=DB,∴∠B=∠BAD,∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE,∴∠C=∠ADE,∴△ABC∽△EAD.【解析】【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角可得:∠B=∠BAD,繼而可得:∠C=∠ADE,利用兩角相等可判定兩三角形相似.18．【答案】解：△BPQ∽△CDP，證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠QPD＝90°，∴∠QPB+∠BQP＝90°，∠QPB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．【解析】【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得到角的關(guān)系，從而根據(jù)判定兩三角形相似的方法證明△BPQ∽△CDP.19．【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC==5，∵∠A=∠A，∴當(dāng)=時(shí)，△AQP∽△ACB，即=，解得t=（s）；當(dāng)=，△AQP∽△ABC，即=，解得t=（s）；∴當(dāng)t為s或s時(shí)，△APQ與△ABC相似（2）解：當(dāng)AQ=AP時(shí)，2t=3﹣t，解得t=1（s）；當(dāng)PA=PQ時(shí)，作PM⊥AQ于M，如圖1，則AM=MQ=t，∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴=，即=，解得t=（s）；當(dāng)QA=QP時(shí)，作QN⊥AP于N，如圖2，則AN=PN=（3﹣t），QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴=，即=，解得t=（s），∴當(dāng)t為1s或s或s，△APQ為等腰三角形．【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，△APQ與△ABC有一個(gè)公共角∠A，由于對(duì)應(yīng)邊不確定進(jìn)行分類討論：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三種情況分類討論，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列方程求解。20．【答案】（1）解：如圖2所示：（2）證明：在圖1中，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D.根據(jù)題意可證△AOC∽△CDB.∴.∴.∴m（5-m）=2.∴m2-5m+2=0.∴m是方程x2-5x+2=0的實(shí)數(shù)根.（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+x+=0.模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.（4）解：以圖3為例：P（m1，n1）Q（m2，n2），設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得.=.上式可化為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又ax2+bx+c=0，即x2+x+=0.比較系數(shù)可得：m1+m2=-.m1m2+n1n2=.【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中給的操作步驟操作即可得出圖2中的圖.（2）在圖1中，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D.依題意可證△AOC∽△CDB.然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出式子，化簡(jiǎn)后為m2-5m+2=0，從而得證。（3）將方程ax2+