高三數(shù)學(xué)理創(chuàng)新設(shè)計(jì)資料包9

最新考綱

1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．第2講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第___項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于___________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的_____，公差通常用字母d表示．

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))．知識(shí)梳理2同一個(gè)常數(shù)公差2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 (1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝____________．

通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋________(m，n∈N*)． (2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

a1＋(n－1)d(n－m)d3．等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì) (1)若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)，且

A＝______． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m， …(k，m∈N*)是公差為_(kāi)___的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.

若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．md4．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值

在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最___值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最___值．大小1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)

精彩PPT展示 (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列． () (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. () (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的． () (4)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋1－an＝n，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.()診斷自測(cè)×√×√2．(2014·福建卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于 (

) A．8 B．10

C．12 D．14答案C3．(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝ (

) A．3 B．4 C．5 D．6答案C4．(2014·北京卷)若等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．

解析因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.∴當(dāng)n＝8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大．

答案

85．(人教A必修5P68A8改編)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.

答案

180考點(diǎn)一等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的求解【例1】(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝

－2，則a9＝ (

) A．－6 B．－4 C．－2 D．2

解析法一

(常規(guī)解法)：設(shè)公差為d，則8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.

法二

(結(jié)合性質(zhì)求解)：根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，

所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.

答案A(2)(2014·浙江卷)已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36.①求d及Sn；②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解

①由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因?yàn)閐＞0，所以d＝2.從而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．②由①得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.規(guī)律方法

(1)一般地，運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過(guò)程．但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有當(dāng)序號(hào)之和相等、項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立．(2)在求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題中主要使用的是方程思想，要注意公式使用時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意整體代換思想的運(yùn)用，使運(yùn)算更加便捷．【訓(xùn)練1】(1)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于 (

) A．0 B．37

C．100 D．－37 (2)若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 (

) A．13 B．12

C．11 D．10 (3)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________．解析

(1)設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}為等差數(shù)列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}為常數(shù)列，∴a37＋b37＝100.(2)因?yàn)閍1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因?yàn)閍1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，從而a1＋an＝60，答案(1脖)C(2速)A(3靠)6怪0規(guī)律頁(yè)方法證明輕一個(gè)僅數(shù)列劈燕是否井為等謙差數(shù)您列的撤基本真方法張有兩抵種：毯一是通定義低法，籌證明an－an－1＝d(n≥2，d為常干數(shù))；二舍是等發(fā)差中縣項(xiàng)法慮，證絨明2an＋1＝an＋an＋2.若證斷明一工個(gè)數(shù)龜列不蒼是等李差數(shù)孫列，暈則只柿需舉攔出反步例即俗可，推也可窮以用旗反證掌法．【訓(xùn)練2】辜(美20業(yè)15珠·西安痰模擬)已知施公差有大于帝零的么等差階數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和浙為Sn，且越滿(mǎn)足a3·a4＝11酷7，a2＋a5＝22膀.(1辮)求數(shù)瞇列{an}的通妙項(xiàng)公眨式；解(1佛)設(shè)等千差數(shù)清列{an}的公唯差為d，且d＞0，由等彩差數(shù)嘉列的仰性質(zhì)撈，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是關(guān)為于x的方痕程x2－22x＋11斜7＝0的解哄，所感以a3＝9，a4＝13，易旗知a1＝1，d＝4，故通自項(xiàng)為an＝1＋(n－1)龜×4＝4n－3.考點(diǎn)恰三截等差栗數(shù)列奇前n項(xiàng)和機(jī)的最志值問(wèn)搞題【例3】等差厘數(shù)列{an}的首拆項(xiàng)a1＞0，設(shè)襖其前n項(xiàng)和距為Sn，且S5＝S12，則濤當(dāng)n為何鞏值時(shí)莊，Sn有最棵大值??？深度天思考解決儉此類(lèi)尚問(wèn)題呢你首哨先想芒到的及是哪株種方鹽法？厭在這蜂里提搞醒大繞家：羞本題奇可用橡四種洋方法木，請(qǐng)紀(jì)大家丘先思動(dòng)考．規(guī)律全方法求等秩差數(shù)柿列前n項(xiàng)和蜓的最爛值，固常用陰的方精法：(1億)利用房誠(chéng)等差肢數(shù)列向的單曠調(diào)性削，求遷出其晌正負(fù)木轉(zhuǎn)折杯項(xiàng)；(2談)利用濟(jì)性質(zhì)光求出虛其正送負(fù)轉(zhuǎn)召折項(xiàng)融，便少可求菊得和榮的最性值；(3稍)將等挪差數(shù)濱列的儉前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常套數(shù))看作敏二次政函數(shù)寫(xiě)，根纖據(jù)二搬次函晌數(shù)的眼性質(zhì)賄求最麻值．【訓(xùn)練3】啞(舟1)等差買(mǎi)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和士為Sn，已練知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，則憑當(dāng)Sn取最怕大值住時(shí)，n的值縱是()A．5淺B．6C．7臭D．8(2弦)(互20溪14戚·望江爭(zhēng)中學(xué)書(shū)模擬)設(shè)數(shù)論列{an}是公夏差d＜0的等透差數(shù)稼列，Sn為前n項(xiàng)和螞，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最白大值菊時(shí)，n的值載為()A．5貨B．6C．5或6父D．11(3芹)已知謊等差堡數(shù)列{an}的首日項(xiàng)a1＝20，公膏差d＝－2，則誦前n項(xiàng)和Sn的最聲大值排為_(kāi)_塘__漸__表__．解析(1型)依題寇意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又悠數(shù)列{an}是等蠟差數(shù)障列，店因此扔在該梨數(shù)列承中，政前6項(xiàng)均劃為正晴數(shù)，厚自第7項(xiàng)起閘以后折各項(xiàng)久均為罷負(fù)數(shù)蠟，于枝是當(dāng)Sn取最撲大值惹時(shí)，n＝6，選B.(2臨)由題廉意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所孤以a6＝0，故串當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大旺，選C.(3妻)因?yàn)楹械炔钅箶?shù)列{an}的首叼項(xiàng)a1＝20，公休差d＝－2，代慮入求或和公奪式得樹(shù)，又因率為n∈N*，所秒以n＝10或n＝11時(shí)，Sn取得粱最大姐值，壟最大貌值為11鑼0.答案(1遠(yuǎn))B(2奔)C(3那)1桐10[思想般方法]1．判遣斷數(shù)打列為蘭等差藍(lán)數(shù)列犁的方炮法(1戰(zhàn))定義棵法：an＋1－an＝d(d是常夾數(shù))?杜{an}是等拳差數(shù)誼列．(2藝)等差授中項(xiàng)帖法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?迷{an}是等杰差數(shù)疤列.(3皆)通項(xiàng)某公式匠：an＝pn＋q(p，q為常撞數(shù))?討{an}是等喘差數(shù)括列．(4福)前n項(xiàng)和五公式爐：Sn＝An2＋Bn(A，B為常檔數(shù))?順{an}是等附差數(shù)蘋(píng)列．2．方吳程思寸想和級(jí)化歸軋思想響：在藍(lán)解有串關(guān)等決差