第02講根式、分式的化簡精講（解析版）2022年初三升高中數學完美升級銜接精講精練

第02講根式、分式的化簡(精講）目錄一、知識銜接二、典型例題題型一：二次根式有意義的條件題型二：求二次根式中的參數題型三：二次根式的乘法與除法及其混合運算題型四：最簡二次根式題型五：二次根式的加法與減法及其混合運算題型六：分母有理化題型七：二次根式化簡求值題型八：雙重二次根式題型九：分式的意義題型十：分式的化簡求值題型十一：分式的基本性質一、知識銜接1、初中知識再現（1）二次根式的定義一般地，形如的式子叫做二次根式.（2）二次根式性質：① ②③ ④（3）分式形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式.（4）分式的基本性質：分式的分子與分母同時乘以（或除以）同一個不為的整式，分式的值不變.用式子表示為：2、高中相關知識2.1無理式：根號下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式.例如：，是無理式，而不是無理式2.2分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同時乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：兩個含有根式的代數式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個代數式叫做互為有理化因式.常用的有理化因式有：①與②與2.4繁分式：當一個分式的分子或分母中仍含有分式時，該分式就稱為繁分式.如：或等.繁分式的化簡，通常將其化成分式的除法進行運算.二、典型例題題型一：二次根式有意義的條件1．（2022·浙江寧波·模擬預測）若代數式在實數范圍內有意義，則取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】A【詳解】根據題意，得，解得:，故答案為：A．2．（2022·內蒙古鄂爾多斯·一模）函數y＝中自變量x的取值范圍是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2【答案】D解：根據題意得，x+2≥0且x﹣2≠0，解得x≥﹣2且x≠2.故選：D．3．（2022·河北·石家莊市第四十一中學一模）若式子不論取任何數總有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】D【詳解】解：若對任意總有意義，則恒成立，的最小值為，，即．故選：D．4．（2022·山東·東平縣實驗中學八年級階段練習）使有意義的的取值范圍是（

）A．且 B． C． D．【答案】D解：∵有意義，∴x+1>0，解得：x＞-1．故選：D．5．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）若代數式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是______．【答案】且x≠0解：根據二次根式有意義的條件可得，解得，根據分式有意義的條件可得x≠0，綜上可得且x≠0，故答案為：且x≠0．題型二：求二次根式中的參數1．（2022·廣東·江門市新會東方紅中學模擬預測）若最簡二次根式和能合并，則a、b的值分別是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D解：∵最簡二次根式和能合并，∴，∴，解得，故選D．2．（2022·江蘇·靖江市靖城中學八年級階段練習）已知與最簡二次根式是同類二次根式，則a的值是_____．【答案】2解：＝2，∵與最簡二次根式是同類二次根式，∴2a﹣1＝3，解得：a＝2，故答案為：2．3．（2022·廣東·模擬預測）已知a，b都是實數，，則ab的值為_____．【答案】-1根據二次根式的定義：，解得：，∴，代入原式得：，∴，故答案為：-1．4．（2022·福建·九年級專題練習）若，則______________．【答案】1，5．（2022·北京八中八年級期中）已知n是正整數，是整數，則滿足條件的所有n的值為__________．【答案】或或【詳解】解：由題意得，解得，∵n是正整數，∴∴，∴，∴，∵是整數，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整數，∴或或，故答案為：或或6．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知實數x、y滿足x2﹣12x++36＝0，求的值．【答案】3解：∵x2﹣12x++36＝0，∴x2﹣12x+36+＝0，∴（x﹣6）2+＝0，∴x﹣6＝0，y+4＝0，解得：x＝6，y＝﹣4，∴．題型三：二次根式的乘法與除法及其混合運算1．（2022·重慶八中九年級階段練習）與最接近的整數是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C解：原式=，∵49<63<64，∴，∵，∴，∴最接近8，∴最接近8-3即5，故選：C．2．（2022·甘肅·平涼市第十中學九年級期中）計算：＝____．【答案】解：原式=．故答案為：．3．（2022·湖北隨州·八年級期中）計算．(1)；(2)．【答案】(1)-2(2)【解析】(1)原式(2)原式4．（2022·福建南平·八年級期中）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)4(1)解：原式==(2)解：原式===45．（2022·河北秦皇島·八年級期末）計算：【答案】解：原式6．（2022·湖南邵陽·八年級期末）計算：(1)(2)【答案】(1)5(2)1(1)原式．(2)原式．7．（2022·河北唐山·八年級期末）計算：(1)；(2)【答案】(1)6(2)3(1)解：原式=6；(2)解：原式=3．8．（2022·湖南長沙·八年級期末）計算：．【答案】解：===．題型四：最簡二次根式1．（2022·江蘇·八年級專題練習）下列各式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D解：A、被開方數里含有分母，故本選項錯誤；B、，被開方數里含有能開得盡方的因式，故本選項錯誤；C、被開方數里含有能開得盡方的因數9，故本選項錯誤；D、符合最簡二次根式的條件，故本選項正確．故選：D．2．（2022·安徽·馬鞍山中加雙語學校八年級階段練習）在中，最簡二次根式的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A解：不是最簡二次根式，是最簡二次根式.故選A.3．（2022·河南·南陽市宛城區(qū)金華中學八年級期中）二次根式、、、、中，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B解：二次根式、、、、中，最簡二次根式有、，共2個故選：B．4．（2022·上海市文來中學七年級期中）下列各組二次根式中是同類二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D解：A、，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；B、，，不是同類二次根式，故本選項不符合題意；C、和，不是同類二次根式，故本選項不符合題意；D、，，是同類二次根式，故本選項符合題意；故選：D5．（2022·北京市第五十七中學八年級期中）如果兩個最簡二次根式與能合并，那么________．【答案】4解：∵最簡二次根式與能合并，∴，∴a=4．故答案為：46．（2022·河南南陽·九年級期末）最簡二次根式與是同類二次根式，則__________．【答案】7解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴2m-1=34-3m，解得m=7，故答案為：7．題型五：二次根式的加法與減法及其混合運算1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校模擬預測）化簡：________．【答案】解：===．故答案為：．2．（2022·山西大同·二模）計算：________．【答案】解：===故答案為：3．（2022·山東淄博·九年級期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)解：；(2)．4．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）計算：＋＋（＋1）0【答案】3解：原式＝﹣4+10﹣4+1＝3．5．（2022·山東淄博·九年級期中）在進行二次根式化簡時，我們有時會遇到如，這樣的式子，可以將其進一步化簡：；，以上這種化簡的方法叫做分母有理化．請化簡下列各題（寫出化簡過程）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)(1)；(2)；(3)＋……＋．．6．（2022·廣西·河池市宜州區(qū)教育局教學研究室八年級期中）計算：【答案】解：原式＝＝7．（2022·北京市第十三中學分校七年級期中）計算:(1)(2)【答案】(1)(2)(1)解：原式=．(2)解：原式．8．（2022·河南商丘·八年級期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)解：原式(2)解：原式題型六：分母有理化1．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知a＝，b＝2+，則a，b的關系是（）A．相等 B．互為相反數C．互為倒數 D．互為有理化因式【答案】A解：∵a＝＝+2，b＝2+，∴a＝b，故選：A．2．（2022·湖南衡陽·九年級）滿足不等式的整數m的個數是______．【答案】7解：∵，，∴，，∵<m<，∴3.312<m<10.472，∵3.3121與10.472之間的整數有4、5、6、7、8、9、10，共7個，∴整數m的個數是7，故答案為：7．3．（2022·廣西貴港·八年級期末）計算：______．【答案】解：故答案為：．4．（2022·江蘇·八年級專題練習）觀察下列二次根式化簡：﹣1，，?從中找出規(guī)律并計算＝___．【答案】解：原式，故答案是：2021．5．（2022·河南信陽·八年級期中）閱讀并完成下面問題：①；②；③．試求：(1)下列各數中，與的積是有理數的是______．A.；B．2；C．；D．(2)的倒數為______．(3)若，求的值．【答案】(1)A(2)(3)1(1)解：閱讀題干可以發(fā)現：與的積為有理數，，故選A；(2)解：的倒數，故答案為：；(3)解：∵，．題型七：二次根式化簡求值1．（2022·上海·七年級專題練習）已知：，求的值．【答案】解：∵，∴，∴．2．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期中）先化簡，再求值：，其中．【答案】，解：．將代入得．3．（2022·四川資陽·九年級期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】；當時，原式．4．（2022·江蘇鹽城·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，解：把代入得：原式5．（2022·河南安陽·一模）先化簡．再求值：，其中，．【答案】，．解：，，，當，時，原式．6．（2022·浙江·義烏市繡湖中學教育集團八年級階段練習）小芳在解決問題：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與解的：a＝＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1請你根據小芳的分析過程，解決如下問題：(1)計算：．(2)若．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．【答案】(1)(2)①3；②﹣18(1)解：=（-1）+（-）+（-）+…+（-）=-1；(2)解：①∵a=+1，∴a?1=，∴(a?1)2=2，∴a2?2a=1，∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3；②∵a2?2a=1，∴3a3﹣12a2+9a﹣12=3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12=3a-6a2+9a-12=-6（a2﹣2a）-12=﹣18．題型八：雙重二次根式1．（2021·全國·八年級期中）數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點為點的“橫負縱變點”．例如：點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點的“橫負縱變點”為_________，點的“橫負縱變點”為________；(2)化簡：；(3)已知為常數，點，且，點是點的“橫負縱變點”，則點的坐標是_________．【答案】(1)；(2)(3)(1)解：∵，∴點的“橫負縱變點”為；∵，∴點的“橫負縱變點”為；故答案為：；．(2)(3)∵，∴，∴，∴∴∴∵，∴故答案為：2．（2021·全國·九年級專題練習）數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡．我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系xOy中，對于點P(x，y)和Q(x，y′)給出如下定義：若則稱點Q為點P的“橫負縱變點”．例如：點(3，2)的“橫負縱變點”為(3，2)，點(﹣2，5)的“橫負縱變點”為(﹣2，﹣5)．問題：（1）點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為；（2）化簡：【答案】（1），；（2）；解：（1）根據題目意思，∵和,點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為，故答案為：，；（2）∵2+5=7,2×5=10,∴；3．（2020·重慶·模擬預測）數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡．我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系xOy中，對于點P(x，y)和Q(x，y’)給出如下定義：若則稱點Q為點P的“橫負縱變點”．例如：點(3，2)的“橫負縱變點”為(3，2)，點(﹣2，5)的“橫負縱變點”為(﹣2，﹣5)．問題：（1）點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為；（2）化簡：；（3）已知a為常數（1≤a≤2），點M(，m)是關于x的函數圖像上的一點，點M’是點M的“橫負縱變點”，求點M’的坐標．【答案】（1），；（2）；（3）(﹣，﹣)【解析】解：（1）根據題目意思，∵和，點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為，故答案為：，；（2）∵∴；（3）∵，∵點M(，m)是關于x的函數圖像上的一點，∴，即：M（，），又∵點M’是點M的“橫負縱變點∴M′的坐標為（，）．4．（2019·重慶市一中寄宿學校九年級階段練習）著名數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則．”閱讀下列兩則材料，回答問題材料一：平方運算和開方運算是互逆運算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何將雙重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化簡呢？如能找到兩個數m，n（m＞0，n＞0），使得（2+（）2＝a即m+n＝a，且使即m?n＝b，那么a±2＝（）2+（）2±2＝（2∴＝＝|，雙重二次根式得以化簡．例如化簡：．∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2，∴＝＝1+．材料二：在直角坐標系xoy中，對于點P（x，y）和點Q（x，y′）出如下定義：若y′＝，則稱點Q為點P的“橫負縱變點”例如，點（3，2）的“橫負縱變點”為（3，2），點（﹣2，5）的“橫負縱變點”為（﹣2，﹣5）問題：（1）請直接寫出點（﹣3，﹣2）的“橫負縱變點”為；化簡＝；（2）點M為一次函數y＝﹣x+1圖象上的點，M′為點M的橫負縱變點，已知N（1，1），若M′N＝，求點M的坐標；（3）已知b為常數且1≤b≤2，點P在函數y＝﹣x2+16（+）（﹣7≤x≤a）的圖象上，其“橫負縱變點”的縱坐標y′的取值范圍是﹣32＜y′≤32，若a為偶數，求a的值．【答案】（1）（﹣3，2）；﹣；（2）當a≥0時，M'（3，﹣2）；當a＜0時，M'（﹣1，﹣2）；（3）a＝4或a＝6解：（1）∵﹣3＜0，根據“橫負縱變點”的定義，∴（﹣3，﹣2）的“橫負縱變點”為（﹣3，2）；＝＝﹣；故答案為：（﹣3，2）；﹣；（2）設點M（a，1﹣a），當a≥0時，M'（a，1﹣a），∵N（1，1），M′N＝，∴（1﹣a）2+a2＝13，∴a＝3或a＝﹣2（舍），∴M'（3，﹣2）；當a＜0時，M'（a，a﹣1），∵N（1，1），M′N＝，∴（1﹣a）2+（2﹣a）2＝13，∴a＝﹣1或a＝4（舍），∴M'（﹣1，﹣2）；（3）∵1≤b≤2，∴0≤b﹣1≤1，∵＝+1+1﹣＝2，∴y＝﹣x2+32，∴y'＝，當﹣7≤x＜0時，﹣32＜y'≤17；當x≥0時，y'≤32；令﹣x2+32＝17，解得x1＝或x2＝﹣（舍）；令﹣x2+32＝﹣32，解得x1＝8或x2＝﹣8（舍）；∴≤a＜8，∵a是偶數，∴a＝4或a＝6．5．（2019·河南·商水縣希望初級中學九年級階段練習）我們知道平方運算和開方運算是互逆運算，如：，那么，那么如何將雙重二次根式化簡呢？如能找到兩個數，使得即，且使即，那么，雙重二次根式得以化簡；例如化簡：；且，由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到使得，且，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：_________________；__________________；（2）化簡：①②（3）計算：【答案】（1）；（2）；；（3）．【解析】試題解析：（1）；；（2）①；②=；（3）===．題型九：分式的意義1．（2022·湖南邵陽·八年級期末）下列各式中，無論x為何實數，分式都有意義的是：（

）A． B． C． D．【答案】B∵2x+1=0，∴x=，故x=時，分式無意義，A不符合題意；∵恒大于0，故分式恒意義，B符合題意；∵x=0時，分式無意義，故C不符合題意；∵x=1時，分式無意義，故D不符合題意；故選B．2．（2022·湖北襄陽·一模）函數自變量x的取值范圍是_______．【答案】解：由題意得：由①得：由②得：所以不等式組的解集為：所以函數自變量x的取值范圍是故答案為：3．（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)教學研究室一模）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是______．【答案】且解：根據題意得：2-x≥0，且x+1≠0，∴x≤2且x≠1，故答案為：x≤2且x≠1．4．（2022·山東·一模）在函數中，自變量x的取值范圍是__________．【答案】x≥2解：∵有意義，∴x?2≥0且x+1≠0，∴自變量x的取值范圍是x≥2，故答案為：x≥2．題型十：分式的化簡求值1．（2022·北京西城·二模）已知，求代數式的值．【答案】，解：==，∵x2+x-5=0，∴x2+x=5，∴3x2+3x=15，當3x2+3x=15時，原式=，2．（2022·廣西百色·二模）先化簡，再求值：，從－1，1，2這三個數中選擇一個你認為適合的x代入求值．【答案】，當時，1解：原式，∵，∴，-1，∴，當時，原式．3．（2022·江蘇揚州·二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，1＋解：原式，代入得．4．（2022·湖南邵陽·三模）先化簡，再求值：，其中．【答案】；解：原式===當時，原式==．5．（2022·安徽合肥·二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】；2．解：原式，當時，原式．題型十一：分式的基本性質1．（2022·河北唐山·一模）以下是甲、乙、丙、丁四位同學做的題，甲：計算時，去分母，同乘于，得．乙：對于分式，利用分式基本性質，可得，．丙：由，解得．?。褐衋、b的值都擴大到原來的2倍，所得分式的值擴大到原來的4倍．則針對以上解法，下列說法正確的是（

）A．只有丙正確 B．只有丁正確 C．甲、乙都正確 D．丙、丁都正確【答案】A解：甲：分式不能直接去分母，只能通分，所以甲錯誤；乙：分式的基本性質是：分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變，不是加減，所以乙錯誤；丙：，，，經檢驗，是原方程的根，所以丙正確；?。簩⒅衋、b的值都擴大到原來的2倍，可得：，即所得分式的值擴大到原來的2倍，故丁錯誤；所以只有丙正確．故選A．2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如果把分式中的和都擴大2倍，那么分式的值