第一章空間向量與立體幾何綜合測試（解析版）

第一章空間向量與立體幾何綜合測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））兩個不同平面，的法向量分別為非零向量，，兩條不同直線，的方向向量分別為非零向量，，則下列敘述不正確的是（

）A．的充要條件為B．的充要條件為C．的充要條件為存在實數(shù)使得D．的充要條件為【答案】D【解析】【分析】依據(jù)面面垂直的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項A；依據(jù)線線垂直的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項B；依據(jù)面面平行的定義及數(shù)乘向量的幾何意義判斷選項C；依據(jù)線面平行的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項D.【詳解】選項A：.判斷正確；選項B：.判斷正確；選項C：存在實數(shù)使得.判斷正確；選項D：若，則有；若，則有或，則是的充分不必要條件.判斷錯誤.故選：D2．（2022·福建省福州第一中學三模）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】B【解析】【分析】利用共面向量的基本定理逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，設(shè)，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設(shè)，所以，，無解；對于D選項，設(shè)，所以，，矛盾.故選：B.3．（2022·重慶八中高一階段練習）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共面定理即可求解．【詳解】解：對A：，故A選項中向量共面；對B：，故B選項中向量共面；對D：，故D選項中向量共面；假設(shè)，，共面，則存在實數(shù)使得，則共面，與已知矛盾，故C選項中向量不共面；故選：C.4．（2022·河南·模擬預測（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點，則異面直線EF與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用坐標法即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則，∴，∴，即異面直線EF與所成角的余弦值為.故選：A.5．（2022·四川省綿陽南山中學高二期中（理））如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：D6．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對其平方化簡后，再開方可求得結(jié)果【詳解】由題意得，，因為,所以，所以，故選：C7．（2022·江蘇宿遷·高二階段練習）正方體棱長為2，是棱的中點，是四邊形內(nèi)一點（包含邊界），且，當三棱錐的體積最大時，與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設(shè)出，利用向量的數(shù)量積及體積最大值求得，從而得到與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖，以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)，，則，由于為定值，要想三棱錐的體積最大，則F到底面ADE的距離最大，其中，所以當時，取得最大值，因為，所以的最大值為，所以，，平面的法向量，所以與平面所成角的正弦值為故選：A8．（2022·江蘇揚州·高二期中）如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，點為棱上一點，滿足，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．平面平面；B．點到直線的距離；C．若二面角的平面角的余弦值為，則；D．點A到平面的距離為．【答案】D【解析】【分析】A選項，作出輔助線，證明出AC⊥BC，結(jié)合平面可得線線垂直，從而證明線面垂直，最后證明出面面垂直；B選項，求出點P到直線CD的距離即為PC的長度，利用勾股定理求出答案；C選項，建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解；D選項，過點A作AH⊥PC于點H，證明AH的長即為點A到平面的距離，求出AH的長.【詳解】A選項，因為平面，平面，所以CD，故∠PBA即為與底面所成的角，，因為，所以PA=AB=1，因為，取AD中點F，連接CF，則AF=DF=AB=CF=BC，則四邊形ABCF為正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因為，所以CD⊥平面PAC，因為CD平面PCD，所以平面平面PCD，A正確；由A選項的證明過程可知：CD⊥平面PAC，因為平面PAC所以CD⊥PC，故點P到直線CD的距離即為PC的長度，其中由勾股定理得：，B正確；以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，其中平面ACD的法向量為，設(shè)平面ACE的法向量為，則，令得：，所以，設(shè)二面角的平面角為，顯然，其中，解得：或，因為，所以，C正確；過點A作AH⊥PC于點H，由于CD⊥平面APC，平面APC，所以AH⊥CD，因為，所以AH⊥平面PCD，故AH即為點A到平面PCD的距離，因為PA⊥AC，所以，D選項錯誤故選：D二、多選題9．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處高二期中）給出下列四個命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實數(shù)，，使；C．若存在實數(shù)，，使則點，，A，共面；D．若點，，A，共面，則存在實數(shù)，，使．【答案】AC【解析】【分析】由向量共面定理可判斷AC；取，為零向量可判斷B；取，A，三點共線，點P與，A，不共線可判斷D.【詳解】由向量共面定理可知A正確；當，為零向量可知B錯誤；由向量共面定理可知共面，又因為共始點，所以點，，A，共面，故C正確；當，A，三點共線，點P與，A，不共線時可知D錯誤.故選：AC10．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學高二期中）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長為 D．【答案】BD【解析】【分析】AB選項，利用空間向量基本定理進行推導即可；C選項，在B選項的基礎(chǔ)上，平方后計算出，從而求出；D選項，利用向量夾角的余弦公式進行計算.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A選項，，A錯誤，對于B選項，，B正確：對于C選項，，則，則，C錯誤：對于，則，D正確.故選：BD.11．（2022·江蘇宿遷·高二期中）已知正方體的棱長為1，分別在上，并滿足，設(shè)，設(shè)的重心為G，下列說法正確的是（

）A．向量可以構(gòu)成一組基底B．當時，C．當時，在平面上的投影向量的模長為D．對任意實數(shù)，總有【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基底向量的要求不共體可以判斷A正確，B、C、D通過建立空間直角坐標系結(jié)合空間向量的坐標運算進行運算判斷正誤．【詳解】，顯然不共面，∴向量可以構(gòu)成一組基底，A正確；如圖建立空間直角坐標系，則，當時，，則,∴，Ｂ不正確；,當時，,在平面上的投影向量為，，Ｃ不正確；對任意實數(shù)，，則，，,，D正確．故選：AD．12．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）已知正方體的邊長為2，M為的中點，P為側(cè)面上的動點，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．動點P的軌跡長為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間夾角公式、空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，則，所以，由平面，得，即，化簡可得：，所以動點P在直線上，對于選項A：，所以與不垂直，所以A選項錯誤；對于選項B：平面平面，所以平面，B選項正確；對于選項C：，C選項正確；對于選項D：動點P在直線上，且P為側(cè)面上的動點，則P在線段上，，所以，D選項正確；故選：BCD.三、填空題13．（2022·江蘇宿遷·高二階段練習）已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標為_________.【答案】【解析】【分析】對兩邊平方后得到，代入投影向量的公式進行求解即可.【詳解】兩邊平方化簡得：，①因為，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐標為.故答案為：14．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二期中）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于1，點，分別是，的中點，則的值為_________.【答案】##【解析】【分析】如圖，在正三棱錐中，以為基底，，，利用向量數(shù)量積性質(zhì)進行計算即可得解.【詳解】根據(jù)題意為正四面體，兩兩成角，所以，，所以.故答案為：15．（2022·全國·高二課時練習）在棱長為1的正方體中，若點E是線段AB的中點，點M是底面ABCD內(nèi)的動點，且滿足，則線段AM的長的最小值為______．【答案】【解析】【分析】以點為原點建立空間直角坐標系，再由可得的軌跡方程，從而由平面知識得到長的最小值.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)，則，，，，即點的軌跡方程為，線段AM的長的最小值為.故答案為：.16．（2022·江西南昌·高二期中（理））如圖，在棱長為4的正方體中，E為BC的中點，點P在線段上，點Р到直線的距離的最小值為_______.【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標系，借助空間向量求出點Р到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，因點P在線段上，則，，，向量在向量上投影長為，而，則點Р到直線的距離，當且僅當時取“=”，所以點Р到直線的距離的最小值為.故答案為：四、解答題17．（2022·天津南開·高二期末）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)若E為的中點，求與所成的角．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）連接，交于O，連接OD，根據(jù)中位線的性質(zhì)，可證，根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可求得平面與平面的法向量，根據(jù)二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標，根據(jù)線線角的向量求法，即可得答案.(1)連接，交于O，連接OD，則O為的中點，在中，因為O、D分別為、BC中點，所以，又因為平面，平面，所以平面(2)由題意得，兩兩垂直，以B為原點，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：設(shè)，則，所以，則，，因為平面在平面ABC內(nèi)，且平面ABC，所以即為平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，令，則，所以法向量，所以，由圖象可得平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為(3)由（2）可得，設(shè)與所成的角為，則，解得，所以與所成的角為18．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，∥，，，，．(1)求證：；(2)求直線CA與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可證，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理理解證明；（2）利用空間向量，根據(jù)處理運算．(1)如圖所示，設(shè)AC與BD的交點為O．因為四邊形ABCD為等腰梯形，∥，，，所以．在中，，即．又因為，所以，．同理可得，．因為，所以．又因為平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD．所以平面PBD，又因為平面PBD，所以．(2)取OB，AB的中點E，F(xiàn)，連接PE，EF．由（1）知平面PBD，又平面PBD，所以，所以．因為，所以，平面平面ABD，平面平面，平面PBD，所以平面ADB，．又因為E，F(xiàn)為OB，AB的中點，所以．以E為坐標原點，EF，EB，EP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示：所以，，，，，所以，，．設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，取，所以．設(shè)直線CA與平面PBC所成的角為θ，則．所以直線CA與平面PBC所成角的正弦值是．19．（2022·四川·成都七中模擬預測（理））如圖1，在等邊中，點D，E分別為邊AB，AC上的動點且滿足，記.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點N為MC的中點．(1)當EN∥平面MBD時，求λ的值；(2)試探究：隨著λ值的變化，二面角B-MD-E的大小是否改變？如果改變，請說明理由；如果不改變，請求出二面角的正弦值大小．【答案】(1)(2)不改變，【解析】【分析】（1）首先取的中點為，連接，，再結(jié)合線面平行的性質(zhì)即可得到（2）利用空間向量法求解即可.(1)取的中點為，連接，，因為，，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四點共面，又EN∥平面BMD，EN?平面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP為平行四邊形，所以NP＝DE，則DE＝BC，即λ＝.(2)取的中點，連接MO，則MO⊥DE，因為平面MDE⊥平面DECB，平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如圖建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，即.又平面的法向量，所以，即隨著值的變化，二面角的大小不變．且.所以二面角的正弦值為.20．（2022·天津·耀華中學二模）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點，且.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點E到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2)；(3).【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進行計算證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可；（3）利用空間向量夾角公式，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.(1)因為平面，平面，所以，而，因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標系，則有，，，，因為，所以，而平面，所以平面；(2)設(shè)平面的法向量為，，則有，由（1）可知平面的法向量為，所以有，由圖知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為；(3)由（2）可知：平面的法向量為，，所以可得：，所以點E到平面的距離為.21．（2022·江蘇無錫·模擬預測）某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學探究題，如圖1，分別是正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”(如圖2)．(1)若是四邊形對角線的交點，求證：∥平面(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形可證四邊形是平行四邊形，可得，可得∥平面；（2）根據(jù)題意結(jié)合二面角的定義可得，利用空間向量求線面夾角．(1)取線段中點，連