3.1.1 兩角和與差的余弦

3.1.1

張喜林制兩角和與差的余弦考點知識清單1.cos(

.

.(2k

.

2

)

,

2

)

.要點核心解讀1．兩角差與和公式的推導(dǎo)推導(dǎo)

把

看成是兩個向量夾角的余弦以考慮利用兩個向量的數(shù)量積來研究圖-1-1-1，設(shè)αβ的邊分別與單位圓交于點

P

(cos

由于余弦函數(shù)是周期為2π的函數(shù)，所以，我們只需考慮

的情況．設(shè)向量

OP1

21/8

23則23

|cos(另一方面，由向量數(shù)量積的坐標表示，有

cos

sin

cos

cos

sin

于是，對于任意的角αβ，述式子都成立．．理和用式注的個題(1)兩角和與差的余弦公式，適于任意的角αβ．(2)兩角和與差的余弦公式不能分配律展開．一般地，

cos(

cos

cos

例如當

3

,

6

時，

3

6

)

2

3362cos(

3

6

)

3

cos

6

（）公使用時不僅要會正用還要會.如：由

50

cos20sin50

能迅速地想到5020sin50cos(50cos

32

(4)第一章中所學(xué)的部誘導(dǎo)公式可通過本節(jié)公式驗證，如誘導(dǎo)公式

2

)

2

)sin

驗證：

cos(

2

)cos

cos

2

sin

sin

2

0

cos(

2

)cos(

2

2

sin

2

典例分類剖析考點1

c

的直接運用[例1]

23,),cos(325

的值．[解析由式

可知，欲求

的值，應(yīng)先計算

cos

的值．由

2

,K

23

,

得

1

2

21)3又由

)cos25

得2/8

55sin55

1cos

2

341)255cos(

cos

sin

55)))31．(1)已

45,cos5

是第三象限角，求

的值，(2)cos

4,,0),求cos(52

的值.考點2

的逆向運用[例2]不查表求下列各式的值：(1)cos80ocos20;(2)

2

o

sin

2

;1cos152

3sin152

.[解析注分析結(jié)構(gòu)，先將其變形為兩角和與差的余弦形式，再套用公式．cos80

cos

o

sin

sin

cos(80

20

)

12

;cos

2

2

ocos15osin15

)30

32

;1(3)cos152

3sin152

60

sin15

cos

)cos45

22

2．求值：(1)20

)cos(x

)x70

)sin(x

);(2)sin3.47cos148sin77cos58;(3)

)cos(x

)x

)sin(x

).考點3變變換3/8

[例3]已知

2

3123,cos(,sin求2與cos4135

[解析從題條件及要求的問題中發(fā)現(xiàn)角與角之間的關(guān)系：23240

4

,

2cos

2

121),1313cos(1sin31)5

(45())51313

sin(cos2

412cos(cos(sin(sin(()5133563()5653．已知

12),sin(且求cos21322

的值，考點4

的靈活運用．[例4]已知

34,cos求（55

)

的值．[解析欲

cos(

的值，只需求出

cos

sin

故將條件兩式平方相加便可得，,①因為cos,②①的平方得：

22sinsin

925

,4/8

102102②的平方得：

cos

1625

以上兩式相加得：

cos

sin

即（

)

12

[點撥如將條件與結(jié)論有機地聯(lián)系起來是解決本例的關(guān)鍵，對公式的熟練掌握顯得特別重要4．(1)化

cos20

(2)已知三點

、B

,sin

C(cos,sinN

).

若向量

OA(2OC（為數(shù)，且

2),

求

)

的最大、最小值及相應(yīng)的k值．考點5求角問題[例5]已、都銳，且

510,sin510

求

[解析],22

510,510cossin

5)2,55cos

2

10310)1010cos

cos

255

30

4

5．已知α，β為角，

cos

1714

求口的大小，5/8

sin(sin

化簡結(jié)果為)．AB.cos(

D.cos

coscosBsinAsinB2．在△ABC中，若則△ABC是)．A．銳角三角形B．直角三角．鈍角三角形．等腰三角形

)的值是)．A.

662662.C..244．已知

)

12

且

o

則

5.cos76

6．已知α為銳，

求sin.4能（測試時間45分鐘試滿分100分）一、選擇題（5分×8=40分）

的值等于)．A

6...2222．在eq\o\ac(△,BC)A中若()．

AA

則△ABC的形狀為6/8

21A．直角三角形B．鈍角三形．銳角三角形．以上情況都不對213．若

sin

sin

3,2

1,2

則

的值為)．A.

1.C.24

D4.erN

sincos

y

的值是)．1.1BC.25年慶高考題）

sin163223o

等于)．A.

11.2

C.

33D.26年國新課標）若

45

,

是第三象限的角，則

tan

()．A.

11.22

.2D7．已知

1010

,

是第一象限角，

tan

1,2

是第三象限角，則

等()．A.

77222.D.1010228年蘇高考題）函數(shù)

x)sinx

,0])

的單調(diào)遞增區(qū)間是()．A.[

]B].[D.[666

二、填空題（5分x4=20分）9．(2006年蘇高考)

20

3sin10tan70

o

o

10.（2007年江高考題）若

cos(

13,cos(則tan55o)

)12．在△ABC中，

.

35且513

,

則

cosC三、解答題（分4=40分）13．已知

350,cos(,sin(44413

求

的值．14．已知

12cos(,2,且,,2求2及1315年川理）已知函數(shù)

fxsin(

7cos(x44

),R.7/8

(1)求

f(x

的最小正周期和最大值；(2)