一元二次方程專題復(fù)習(xí)

《一元次程》專復(fù)一考分一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容歷年中考中均占有比較重要的地位接間接考查本章內(nèi)容的考題約占14分，分值比例在左右，近幾年還有上升趨勢．考查題型有填空題、選擇題、解答題，基礎(chǔ)題、中等題、難題均有涉及，對解一元二次方程、分式方程的考查在基礎(chǔ)題和中等題中屢見不鮮現(xiàn)生產(chǎn)和生活為背景的實際型應(yīng)用題又成了近幾年中考查的熱點并且與二次函數(shù)解直角三角形圓知識綜合命題作為中考壓軸題．另外還?？疾殡[含條件（如二次項系數(shù)不為0應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系解題時，根的判別式要大于或等于0等的掌握情況．二明復(fù)目根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本章學(xué)習(xí)結(jié)束，應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：、了解一元二次方程的概念，會判斷一個方程是否是一元二次方程．、掌握一元二次方程的四種解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法根據(jù)方程的特征，靈活選擇方程的解法．、通過解方程，體會化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，即把需要解決或較難解決問題通適當(dāng)?shù)姆椒ò阉瘹w和轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或較容易解決的問題而使問題得以解決．三畫知網(wǎng)實際問題

設(shè)未知數(shù)，列方程

數(shù)學(xué)問題

）

配方法解方程數(shù)學(xué)問題的解

公式法分解因式法

降次實際問題的答案

檢驗

x

ba

四清重、點關(guān)重點：一元二次方程的解法；難點：一元二次方程的應(yīng)用；關(guān)鍵：通過分析題意，從中提煉有用信息，確定問題中各量之間的數(shù)量關(guān)系，建立一元二次方

2222模型．五理知要（）元次程有概．對于一元二次方程的定義理解應(yīng)抓住其本質(zhì)，也就是它必須同時滿足這樣的三個件）是整方程）只含一個未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是2。要注意一元二次方程中的元和次是整化簡之后而言的，因此一個方程是否為一元二次方程形、“神備。如：

3x(x2

是整式方程，化簡后為

2

2

應(yīng)是一元二次方程，而不是三次方程。．元二次方程的一般式：我們把

2

bxa

叫做一元二次方程的一般式，其中、bx、分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項a分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)。需要注意的是1“a”是一般式的重要組成部分，不可遺漏方的右邊必須為）一項及其系數(shù)都包括它本身的符號。（）元次程解直開平方法用法可解形如、ax

2

或可化為這種形式的一類方程解的優(yōu)點是能速準(zhǔn)確地求出方程的解是只適用于一些特殊的方程。．配方法：配方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛，解方程只是它一個具體應(yīng)用。任何一個形如

x

的二次式，都可以通過加一次項系數(shù)一半的平方的方法配成一個二項式的完全平方方程歸結(jié)為能用直接開平方法來求解的方程際我們解一元二次方程時，一般是不用此法的，主要是要掌握這種配方的思想方法。．式法：我們可以通過配方法推出求一元二次方程

bxa

的解的公式

22

(b

，稱為求根公式。用公式的一般步驟）方程化成一般式求出

b

2的，

≥0，將a、b、c的代入求根公式，求出方程的根；若

b

2

＜0則原方程沒有實數(shù)根。．因式分解法：當(dāng)把一元二次方程的一邊化為0而另一邊可以分解成兩個一次因式的積時，就可以用因式分解法來解這個方程。要清楚使乘積ab=0的條件是a=0或。使方程（的件是x=0或x-3=0x的兩個值都可以使方程成立以方程（）

=0有個根。（）的別及應(yīng)．一元二次方程

axbxa

根的情況可以由

b2ac

的值來確定，因此我們把

b2ac

叫做一元二次方程根的判別式，用符號eq\o\ac(△,“)表。（1△＞（2eq\o\ac(△,=0)（3△＜

方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根。．判別式的應(yīng)用（1不解方程判定方程根的情況）據(jù)方程根的情況確定字母系數(shù)中字母的取值范圍）與根有關(guān)的證明題。（）方解用列方程解應(yīng)用題實質(zhì)是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題通數(shù)學(xué)問題的解決獲得對實際問題的解決列程解應(yīng)用題關(guān)鍵是在理解題意析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上正找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系。常見的類型有1生活類）決策市場營銷類方案設(shè)計類開與探索類等。解決問題的過程是從實際問題中獲取必要的信息，通過分析、處理、加工有關(guān)信息，再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（即建模后解決這個問題，最后進(jìn)行檢驗，回答原來的問題。六復(fù)引．配方法、公式法、分解因式法分別適用于解不同特點的方程，具體求解時，應(yīng)在察方程特點和綜合考慮各種方法適用范圍的基礎(chǔ)上合理選擇解方程的方法．．在用一元二次方程解決實際問題的過程中，要抓住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，盡量避免實情境的干擾；同時要明確：數(shù)學(xué)問題與實際問題的區(qū)別．在用方程知識解決完實際問題后，一定要檢驗所求結(jié)果是否符合實際情況不合實際情況的解一定要舍去時適合實際情況的解絕對不能丟掉．七把中熱、查元次程念題這類問題主要考查一元二次方程的定義及其一般形式．例、判斷題：方程

的二次項系數(shù)為３，一次項系５．（）

分析：要確定一元二次方程的各項及其系數(shù)，首先必須把方程化為一般化形式

2

＋ｂｘ＋ｃ＝０然再進(jìn)行確定因為

化為一般化形式后是

3

2

－５ｘ－２＝０，故二次項系數(shù)是３沒錯，但一次項系數(shù)是－５而不是５，故判斷結(jié)果為錯．、查元次程解解一元二次方程有直接開平方法方法公法和因式分解法在體運用中要注意根據(jù)方程特征靈活選用．一元二次方程有四種解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法．具體解方程時，要根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓话沩樞驗椋合忍厥夂笠话?，即直接開平方法

因式分解法

公式法，沒有特別說明一般不采用配方法．例、解方程：

x

3x22x0分析本不是二元一次方程但經(jīng)過提公因式變形后可利用一元二次方程的知識求解．解：原方程變形得：

(

x2)

，

x

．∴方的根為：x01

、x

2

、

2

．、元次程的別

2

主要內(nèi)容：（1（2

22

0(a0)0(a0)

有兩個不相等的實數(shù)根；有兩個相等的實數(shù)根；（3

bx0(0)

沒有實數(shù)根．主要應(yīng)用：（1不解方程，判別一元二次方程根的情況）知一元二次方程根的情況，確定方程中某些字母的去值（范圍行關(guān)的證明．例．不解方程，判別方（A）有兩個相等的數(shù)根（C）只有一個實數(shù)根

－＋5=0的的情況是（）（B有兩個不相等的實數(shù)根（D）沒有實數(shù)根分析：本題可用根的判別式直接求解．

12a22112a221解：因為

2ac

；所以該方程沒有實數(shù)根．故選D、元次程與數(shù)關(guān)如果一元二次方程

2

bx

有兩個根為

x，x12

，那么

b，1

a

，反過來也成立．它的成立條件：①二次項系數(shù)不能為；②方程根的判別式大于或等于．主要應(yīng)用：①驗根；②知方程中的一個根，求出另一根和方程中字母已知數(shù)；③不解方程，求兩根的對稱式的值；④已知方程兩根，求作這個一元二次方程；⑤已知兩數(shù)的和與積，求兩數(shù)；⑥確定根的符號．例．已知關(guān)于x的程kx

有個不相等的實數(shù)根，求k的值范圍；是存在實數(shù)，使此方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于？存在，求出k的；若不存在，說明理由．解(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根Δ=[-2(k＋1)]－4k(k-1)>0k得k>-1且≠0．即取值范圍是k>-1，且k≠0．（2假設(shè)存在實數(shù)k，得方程的兩個實數(shù)根x的倒數(shù)和為012則x，x不0，且12

，即x2

kk

，且

kkk

0，得．而k=-1與程有兩個不相等實根的條件k>-1，且k≠0矛，故使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和為的實數(shù)k不在．說明：解題時）注意二次項系數(shù)k≠0的件，這也是同學(xué)們最容易忽略的地方；（2要注意求出的k要足k>-1且k≠0的前提．、化一二方的式程解分式方程的基本思想是將分式方程化為整式方程分母法是一般方法一地當(dāng)分式方程中有含未知數(shù)的相代數(shù)或倒代數(shù)式時應(yīng)運用換元法．但要注意：不論用何種方法，都要進(jìn)行驗根．例．用換元法解方程：

xx

x

2

6

解：設(shè)

x

x

，那么

x

6xy

，于是原方程變形為

y

6y

，

解這個方程，得

1

，

2當(dāng)

y

時，

x

2

3

，即

x

2

0

，解這個方程，得

xx當(dāng)

y

時，

xx

，即

x2x0因為

，所以，這個方程沒有實數(shù)根經(jīng)檢驗，

xx

都是原方程的根原程的根是

xx、查元次程主要考查二元二次方程組的解法及由解的情況確定參數(shù)的取值．例、方程組

xyx2y

的實數(shù)解個數(shù)為（）Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．

Ｄ．4分析元次方程組的基本想是消元或降次元二次方程組化為一元一二次）方程或二元一次方程組．由第二個方程，得

y2

，把第一個方程代入，得

x2y

，故ｘ＝０且ｙ＝０，但

xy

并不是原方程組的解，故原方程組無實數(shù)解，選Ａ．如果采用一般的解法，消去ｘ，則可得

62y

，此時eq\o\ac(△,＝)eq\o\ac(△,)１－２４＜０，該方程沒有實數(shù)根，從而原方程組無實數(shù)解．注確定二元二次方程組解的個不能只看方程的表面特征就妄下結(jié)論為二元二次方程組解的情況有無解、唯一解、兩個解、三個解和四個解等四種情況．、元次程實中應(yīng)一元二次方程的應(yīng)用常常以當(dāng)今社會所關(guān)注的熱點問題和焦點問題為素材問題雖然貼近生活，卻不拘一格．因此，平時熱心關(guān)注社會、積累生活經(jīng)驗是學(xué)好本部分內(nèi)容的一個前提，在較復(fù)雜的社會背景中，運用方程的思想，尋找等量關(guān)系式，列出方程，是解題的一個關(guān)鍵．例7黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)寶樂牌童裝平均每天售出20件，每件贏利40元，為了迎接六一國際兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加贏利，減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降，那么，平均每天就可多售出，要想平均每天在銷售這種童裝上贏元那，每件童裝應(yīng)降價多少元？

2221122222222211222222誤解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價元，依題意，得

(40x)1200

，整理，得

x

．解得

x，12

．答：每件童狀應(yīng)降價10元20元剖析：從表面上看，本題的解答天衣無縫，但本題要求在贏利相同的情況下，盡快減少庫存，就是使童裝盡快地銷售．因為每件童裝每降價4元那么平均每天就可多售出件，則降價20元降價10元賣的多，可盡快減少庫存，故正確答案應(yīng)為每件童裝降價20元說明隨市場經(jīng)濟的發(fā)展經(jīng)決策型應(yīng)用題逐漸成為各地中考題的新寵類用題與實際生活密切相關(guān)解時定要全面考慮題設(shè)條件對題意進(jìn)行檢驗使求解出來的根不僅適合方程，也得符合題意．、新問例、先閱讀，再填空解題：(1)方程：x-x-2=0的是x，x，則x+x，x·x=121212(2)方程-7x+3=0的是x=1

13，x，則+x，·x；22(3)方x的是：=1；x·x=1

，x=2

．則x+x=1

，根據(jù)以上（1)(2)(3）能否猜出：如果關(guān)于x的一元二次方程mx+nx+p=0（m且、、p為數(shù)）的兩根為x、x，12那么x+x、x、與系數(shù)mn什么關(guān)系？請寫出來你的猜想并說明理由．112分析：近幾年來，以一元二次方程為背景的探索創(chuàng)新題不斷涌現(xiàn)，這類問題形式新穎、富有趣味性極好地