做題無(wú)數(shù)把“根”留住

高三復(fù)習(xí)備考離不開(kāi)做題，學(xué)生要做大量的題，教師也要講大量的題，可以說(shuō)，做題、講題是復(fù)習(xí)課的主要形式．然而，嚴(yán)峻的現(xiàn)實(shí)是，許多考生雖然做了大量的試題，遇到類似的題目仍不知所措，“這道題我好象做過(guò)，但還是做不出來(lái)”是學(xué)生普遍反映的現(xiàn)象，“這道題，我上課講過(guò)的，學(xué)生怎么還是不會(huì)”這是一線教師的口頭禪．為什么會(huì)有這樣的偏差？高考數(shù)學(xué)題既考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度，又考查對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平．如果學(xué)習(xí)中僅就題論題，對(duì)問(wèn)題僅停留在知識(shí)、方法表象進(jìn)行理解，而沒(méi)有體會(huì)到問(wèn)題背后的“根”，那么做再多的題充其量也只是事倍功半．◆平時(shí)高三教學(xué)中存在的困惑什么是數(shù)學(xué)的“根”？它應(yīng)該是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西，是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉、數(shù)學(xué)核心價(jià)值觀的理解、數(shù)學(xué)理性精神（依靠思維能力對(duì)感性材料進(jìn)行一系列的抽象和概括、分析和綜合，以形成概念、判斷或推理）的體驗(yàn)等．如何把“根”留??？可通過(guò)研究問(wèn)題的變式，留住知識(shí)之“根”；通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題的解法，留住方法之“根”；通過(guò)拓展問(wèn)題的應(yīng)用，留住價(jià)值之“根”；通過(guò)揭示問(wèn)題的背景，留住本質(zhì)之“根”．因?yàn)橹挥羞@樣，高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)才能強(qiáng)“根”固本，枝繁葉茂．◆數(shù)學(xué)的“根”是什么？一、研究問(wèn)題的變式，留住知識(shí)之“根”分析:對(duì)于A和B,可以令對(duì)于C和D,可以構(gòu)造平行四邊形OABC,∠AOB和∠OBC中至少有一個(gè)角大于或等于90O，再結(jié)合余弦定理可判斷.例1.（2014年浙江高考理科第8題）記，設(shè)為平面向量，則研究:對(duì)于C和D,可以根據(jù)一個(gè)重要的不等式可得出正確答案.平行四邊形對(duì)角線與邊的關(guān)系極化恒等式變式1.（2012年浙江高考理科第15題）在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則

.分析:MABC,其中是拋物線過(guò)C0的切線變式2.（2013年浙江數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）已知直線AB與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，C為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若C0滿足，則下列一定成立的是分析:由結(jié)合極化恒等式得即，即，即所以當(dāng)是拋物線過(guò)CO的切線時(shí),變式3.（2013年浙江高考理科第7題）設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)邊AB上任一點(diǎn)P，恒有，則A.B.C.AB=ACD.AC=BC分析:設(shè)D為BC的中點(diǎn),由結(jié)合極化恒等式得即，即,所以設(shè)E為AB中點(diǎn)，則CEAB,所以AC=BC.P0ABCDE二、優(yōu)化問(wèn)題的解法，留住方法之“根”例2.（2013年高考重慶卷理科第9題）分析:原式三、拓展問(wèn)題的應(yīng)用，留住價(jià)值之“根”例3.（2011年高考江蘇第18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中,M,N是橢圓的頂點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.(Ⅲ)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.題源:人教版《選修1-1》第35頁(yè)：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.再進(jìn)行引申：與兩定點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)的斜率之積為的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為反之亦成立：橢圓上任意一點(diǎn)（除長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)）與長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率之積為還可以進(jìn)一步引申：橢圓上任意一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)與橢圓上任一點(diǎn)（除兩個(gè)端點(diǎn)）連線的斜率之積為運(yùn)用這個(gè)結(jié)論可以快速證明：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),A(-x0,-y0),B(x1,y1),C(x0,0),則運(yùn)用上述結(jié)論知所以，所以由此可證結(jié)論成立.四、揭示問(wèn)題的背景，留住本質(zhì)之“根”例4.（2012年高考浙江理科第22題）已知,函數(shù)(Ⅰ)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)的最大值為|2a-b|+a.分析:該題的背景是高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)凹凸性解決最值問(wèn)題.因?yàn)?其二階導(dǎo)數(shù)為，所以函數(shù)在[0,1]上為凹函數(shù)，所以對(duì)任意0≤x≤1，都有所以函數(shù)的最大值為|2a-b|+a.例5.（2013年高考浙江理科第22題）已知,函數(shù)(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求|f(x)|的最大值.