數(shù)學(xué)25向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算教案(北師大選修2-1)

數(shù)學(xué)：2.5向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算教課設(shè)計(jì)(北師大選修2--1)數(shù)學(xué)：2.5向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算教課設(shè)計(jì)(北師大選修2--1)數(shù)學(xué)：2.5向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算教課設(shè)計(jì)(北師大選修2--1)2.5向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算在《高等代數(shù)與分析幾何》課程第一章向量代數(shù)的教課中，講到幾何空間的內(nèi)積時(shí)，有一個(gè)例題（見(jiàn)[1]，p53）要求證明以下的公式：coscoscossinsincos,(1)此中點(diǎn)O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。AON，BON，AOB。為二面角P-MN-Q（見(jiàn)圖1）。zDPAaNMOybBQx圖1公式（1）能夠利用向量的內(nèi)積來(lái)加以證明：以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1成立直角坐標(biāo)系。記xOz平面與平面P的交線為射線OD，則ODMN，得AOD

，

DOx

，

DOz

。2

2分別沿射線

OA、OB的方向上作單位向量

a，b

，則

a,b

。由計(jì)算知a，b的坐標(biāo)分別為(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，于是，absinsincos。cosabcoscos|a||b|公式（1）在立體幾何計(jì)算二面角的平面角時(shí)是實(shí)用的。我們來(lái)介紹以下的兩個(gè)應(yīng)用。例1．立方體ABCD-A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H、I分別為A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中點(diǎn)。求面EFG和面GHI的夾角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。解因?yàn)閳D2中所畫(huà)的兩平面EFG和GHI只有一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有交線，所以我們能夠?qū)⒃摿⒎襟w沿AB方向平移1個(gè)單位。這樣就使平面EFG平移至平面HIG。而就是二面角G-IH-G（見(jiàn)圖3）。利用公式（1），只需知道了，和的大小，我們就能求出。D1C1EHGA1B1FDICAB圖2由已知條件，GHI和HIG均為等邊三角形，所以，而3GIG。所以，2D1C1EHGG'A1B1FIDCAB圖3coscoscossinsincos，23333即01133cos。2222解得cos11。，arccos33自然，在成立了直角坐標(biāo)系以后，經(jīng)過(guò)計(jì)算向量的外積可計(jì)算出兩平面的法向量，利用法向量相同也可算出夾角來(lái)。例2．計(jì)算正十二面體的兩個(gè)相鄰面的夾角的大小。解我們知道正十二面體的每個(gè)面都是大小相同的正五邊形，且在正十二面體的每個(gè)極點(diǎn)上均有3個(gè)面環(huán)繞。設(shè)P和Q是兩個(gè)相鄰的面，MN是它們的交線（如圖4），則公式（1）中的，，分別為：AMN，BMN，AMB，所以它們均為正五邊形的內(nèi)角。所以108。NPQMAB圖4所以，由公式（1）知cos108cos108cos108sin108sin108cos，或coscos108(1cos108)5。sin21085所以，arccos5，或1163354。5假如不使用公式（1），要求出例2中的夾角的大小在計(jì)算上要復(fù)雜好多。利用例2的結(jié)果，我們能夠簡(jiǎn)單地計(jì)算出單位棱長(zhǎng)正十二面體的體積V。設(shè)單位棱長(zhǎng)正十二面體的中心為O，則該十二面體能夠切割成十二個(gè)全等的正五棱錐，每個(gè)五棱錐以該多面體的一個(gè)面為底面、以O(shè)為其極點(diǎn)。設(shè)該正五棱錐為，進(jìn)而可知：V12V。再設(shè)的底面積為S、高為h，設(shè)O為單位邊長(zhǎng)正五邊形（即的底）的中心，A、B為該五邊形的兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)，H為AB的中點(diǎn)，|OH|a，則O'AH54，a1tanO'AH1tan54，S5a5tan54。2224仍設(shè)為正十二面體兩相鄰面的夾角，則h。所以tana21tan54tan。h22可是，tan1c