2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知“x>y”，則下列不等式中，不成立的是(

)A.3x>3y B.x?9>y?9 C.?x>?y D.?2.下列從左到右的變形中，是因式分解的是(

)A.(x+1)(x?1)=x2?1 B.m2?4=(m+2)(m?2)

3.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.4.不等式3x+3≤0的解集在數(shù)軸上表示正確的是(

)A. B.

C. D.5.若a、b是等腰三角形的兩邊長，且滿足關(guān)系式(a?2)2+|b?5|=0，則這個(gè)三角形的周長是A.9 B.12 C.9或12 D.15或66.在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB邊的垂直平分線，垂足為D，交邊BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，則△ACE的周長是(

)A.8

B.10

C.14

D.167.直線l1：y=k1x+b與直線l2：y=k2xA.x>?1 B.x<?1 C.x<?2 D.x>?28.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α，得到△AB′C′.若點(diǎn)B′恰好在線段BC的延長線上，且∠AB′C′=40°，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為(

)A.60°

B.70°

C.100°

D.110°9.若不等式2x+53?1≤2?x的解集中x的每一個(gè)值，都能使關(guān)于x的不等式2x+m<1成立，則m的取值范圍是(

)A.m<?35 B.m≤?35 C.10.如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DA=5，DB=4，DC=3，將線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，下列結(jié)論：

①點(diǎn)D與點(diǎn)D′的距離為5；②△ACD′可以由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；③∠ADC=150°；④點(diǎn)D到CD′的距離為3；⑤S四邊形ADCD′=6+253A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)二、填空題（本大題共6小題，共24分）11.因式分解：m2?4=

．12.點(diǎn)P(?2,1)與點(diǎn)Q(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a+b=______．13.若不等式組x+13<x2?1x<4m無解，則14.如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)32°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC的度數(shù)為100°，則∠DOB的度數(shù)是______．

15.如用，已知O為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，且∠A=50°，則∠BOC的度數(shù)為

度.

16.如圖在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=8，AD⊥BC，P為AD上的一動(dòng)點(diǎn)，E在AB上，則PE+PB的最小值為______．三、解答題（本大題共10小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題分)

解不等式組5x?1≤3(x+1)x+13?x<3，并把解集在數(shù)軸上表示出來．18.(本小題分)

把下列各式因式分解：

(1)2x3?8x219.(本小題分)

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分線，求∠DBC的度數(shù)．

20.(本小題分)

如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，格點(diǎn)△ABC(頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上)的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(?3,5)、C(0,3)．

(1)請?jiān)诰W(wǎng)格所在的平面內(nèi)畫出平面直角坐標(biāo)系，并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)將△ABC繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A1B1C1，畫出△A1B1C1；

21.(本小題分)

如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且DE=DF.求證：Rt△BDE≌Rt△CDF．22.(本小題分)

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項(xiàng)式只用上述方法就無法分解.如x2?2xy+y2?16.通過觀察，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行分解：x2?2xy+y2?16=(x2?2xy+y2)?16=(x?y)2?423.(本小題分)

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD=DF．

(1)求證：CF=EB；

(2)請你判斷AE、AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

24.(本小題分)

為增加校園綠化面積，某校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元．

(1)求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格分別是多少元？

(2)若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍．則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時(shí)花費(fèi)最少？請說明理由．25.(本小題分)

【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD，BC上，且∠MAN=45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖②，小明將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE，連接MN.從而證明出了DM+BN=MN．

(1)請你寫出小明的證明過程；

【類比延伸】

(2)如圖③，點(diǎn)N、M分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，∠MAN=45°，連接數(shù)MN，請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出MN，DM，BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

26.(本小題分)

如圖，直線y=?12x+4的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB的垂直平分線l與x軸交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，連接BC．

(1)求OC的長；

(2)若點(diǎn)E在x軸上，且△BED的面積為10，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)已知y軸上有一點(diǎn)P，若以點(diǎn)B、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P

答案和解析1.【答案】C

解：A.∵x>y，

∴3x>3y，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.∵x>y，

∴x?9>y?9，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.∵x>y，

∴?x<?y，故本選項(xiàng)符合題意；

D.∵x>y，

∴?x2<?y2，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C．2.【答案】B

解：A、從左向右的變形是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)符合題意；

C、從左向右的變形不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、從左向右的變形不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)不符合題意．

故選：B．

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

此題考查了因式分解的定義，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義，注意因式分解后一定是幾個(gè)因式相乘的形式．

3.【答案】A

解：A、本選項(xiàng)圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

B、本選項(xiàng)圖形既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、本選項(xiàng)圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、本選項(xiàng)圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

故選：A．

根據(jù)軸對稱圖形、中心對稱圖形的概念判斷即可．

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．

4.【答案】B

解：3x+3≤0，

3x≤?3，

x≤?1，

在數(shù)軸上表示為：．

故選：B．

首先解出不等式，再把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．

此題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(>,≥向右畫；<，≤向左畫).在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“<”，“>”要用空心圓點(diǎn)表示．

5.【答案】B

解：根據(jù)題意，a?2=0amp;b?5=0amp;，

解得a=2amp;b=5amp;，

(1)若2是腰長，則三角形的三邊長為：2、2、5，2+2<5，

不能組成三角形；

(2)若2是底邊長，則三角形的三邊長為：2、5、5，

能組成三角形，

周長為2+5+5=12．

故選：B．

根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于a、b的方程并求出a、b6.【答案】D

解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，

∴BC=AB2+AC2=10，

∵DE是AB邊的垂直平分線，

∴EA=EB，

△ACE的周長=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=16，

故選：D．

7.【答案】B

解：由圖象知：x<?1時(shí)，直線l1在直線l2的上方，

所以x的不等式k1x+b>k2x的解為x<?1，

故選：8.【答案】C

解：∵△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α，得到△AB′C′，

∴△ABC≌△AB′C′，∠BAB′=α，

∴AB=AB′，∠AB′B=∠ABB′，

∵∠AB′C′=40°，

∴∠AB′B=∠ABB′=40°，

∴∠BAB′=α=180°?40°?40°=100°，

故選：C．

旋轉(zhuǎn)得全等，即角等和邊等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．

此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是推出等腰三角形．

9.【答案】A

解：解不等式2x+53?1≤2?x得：x≤45，

∵不等式2x+53?1≤2?x的解集中x的每一個(gè)值，都能使關(guān)于x的不等式2x+m<1成立，

∴x<1?m2，

∴1?m2>45，

解得：m<?35，

故選：A．10.【答案】C

解：連結(jié)DD′，如圖，

∵線段AD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AD′，

∴AD=AD′，∠DAD′=60°，

∴△ADD′為等邊三角形，

∴DD′=5，所以①正確；

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴把△ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，

∴△ACD′可以由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，所以②正確；

∴D′C=DB=4，

∵DC=3，

在△DD′C中，

∵32+42=52，

∴DC2+D′C2=DD′2，

∴△DD′C為直角三角形，

∴∠DCD′=90°，

∵△ADD′為等邊三角形，

∴∠ADD′=60°，

∴∠ADC≠150°，所以③錯(cuò)誤；

∵∠DCD′=90°，

∴DC⊥CD′，

∴點(diǎn)D到CD′的距離為3，所以④正確；

∵S△ADD′+S△D′DC

=34×52+12×3×4

=6+2534，所以⑤正確．

故選：C．

連結(jié)DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判斷△ADD′為等邊三角形，則DD′=5，可對①進(jìn)行判斷；由11.【答案】(m+2)(m?2)

解：m2?4=(m+2)(m?2)．

故答案為：(m+2)(m?2)．

根據(jù)平方差公式，進(jìn)行因式分解．

12.【答案】1

解：由點(diǎn)P(?2,1)與點(diǎn)Q(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對稱，得

a=2，b=?1，

則a+b=2+(?1)=1，

故答案為：1．

根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案．

本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．

13.【答案】m≤2

解：解不等式x+13<x2?1，得：x>8，

又x<4m且不等式組無解，

∴4m≤8，

解得m≤2，

故答案為：m≤2．

解第一個(gè)不等式得出x>8，結(jié)合x<4m且不等式組無解，利用“大大小小無解了”得出關(guān)于14.【答案】36°

解：由△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)32°后得到的圖形可知：

∠AOD=∠BOC=32°，

∵∠AOC=100°，

∴∠DOB=∠AOC?∠AOD?∠BOC=36°；

故答案為：36°．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】100

解：如圖，連接OA，

∵O為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

∴OA=OB=OC，

∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，

∴∠OBA+∠OCA=∠BAC=50°，

∵∠ABC+∠ACB=180°?∠BAC=130°，

∴∠OBC+∠OCB=130°?50°=80°，

∴∠BOC=180°?80°=100°，

故答案為：100．

連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．

本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】4

解：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，

過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，

連接CE，則CE的長度即為PE+PB的最小值，

∵Rt△ABC中，AC=8，∠BAC=30°，

∴CE=12AC=12×8=4，

故答案為：4．???

由等腰三角形的性質(zhì)可知點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，連接CE，根據(jù)“垂線段最短”可得線段CE的長度即為PE+PB的最小值，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)即可求出CE．

本題考查的是最短線路問題及等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含17.【答案】解：5x?1≤3(x+1)①x+13?x<3②，

解不等式①得：x≤2，

解不等式②得：x>?4，

故不等式組的解集為?4<x≤2，

其解集在數(shù)軸上表示如下，

【解析】先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集即可．

本題主要考查解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

18.【答案】解：(1)2x3?8x2y+8xy2

=2x(x2?4xy+4y2)【解析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式分解；

(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解．

本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：∵∠A=50°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=12(180°?∠A)=65°，

又∵DE垂直且平分AB，

∴DB=AD，

∴∠ABD=∠A=50°，

∴∠DBC=∠ABC?∠ABD=65°?50°=15°．

即∠DBC的度數(shù)是【解析】【試題解析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可求出∠ABD=∠A，易求∠DBC．

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．

20.【答案】解：(1)由A、C

的坐標(biāo)分別為A(?3,5)、C(0,3)，可得平面直角坐標(biāo)系如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?2,1)；

(2)如圖：△A1B1C1即為所求作；

(3)存在點(diǎn)P(?98,0)，使得PA+PC的值最小，

作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C2，連接AC2，則AC2交x軸于點(diǎn)P，

∵C(0,3)，點(diǎn)C2為點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，

∴C2(0,?3)，

∵A(?3,5)，C2(0,?3)，

設(shè)直線A

C2的解析式為：y=kx+b，將A(?3,5)，C2(0,?3)代入解析式中，

可得，?3k+b=50k+b=?3，

解得，k=?8【解析】(1)根據(jù)A、C

的坐標(biāo)確定平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置，從而畫出平面直角坐標(biāo)系，并得到點(diǎn)B的坐標(biāo)

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義作圖即可

(3)根據(jù)圖形對稱性質(zhì)，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C2，連接A

C2，則A

C2交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最?。藭r(shí)由A(?3,5)，C2(0,?3)，求得直線A

C2的解析式，進(jìn)而求出直線A

C2與21.【答案】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

BD=CDDE=DF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．【解析】根據(jù)已知條件直接利用HL證明即可求解．

本題考查了HL證明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：(1)4x2+12xy+9y2?9

=(2x+3y)2?32

=(2x+3y+3)(2x+3y?3)【解析】(1)先分組，再利用公式法進(jìn)行因式分解．

(2)先分組，再利用公式法，最后提公因式．

本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．

23.【答案】(1)證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°

∴DC=DE

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

DF=DBDC=DE

∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)

∴CF=EB

(2)解：AE=AF+BE；

理由：∵DE⊥AB，∠C=90°

∴∠DEA=∠DCA=90°，

在Rt△ADC和Rt△ADE中，

AD=ADDC=DE

∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)

∴AC=AE

∵AC=AF+FC

∴AE=AF+FC

∵由(1)知FC=BE

【解析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵，注意直角三角形全等的判定方法．

(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC=DE，根據(jù)直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理得到答案；

(2)利用HL證Rt△ADC≌Rt△ADE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理得到AC=AE，然后根據(jù)(1)的結(jié)論得到答案．

24.【答案】解：(1)設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是x元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是y元，

根據(jù)題意得：20x+16y=1280x?y=10，

解得x=40y=30，

答：甲種樹苗每棵的價(jià)格是40元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是30元；

(2)設(shè)購買兩種樹苗共花費(fèi)w元，購買甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗(100?m)棵，

∵購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，

∴100?m≤3m，

解得m≥25，

根據(jù)題意：w=40m+30(100?m)=10m+3000，

∵10>0，

∴w隨m的增大而增大，

∴m=25時(shí)，w取最小值，最小值為10×25+3000=3250(元)，

此時(shí)100?m=75，

答：購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75【解析】(1)設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是x元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是y元，可得：20x+16y=1280x?y=10，即可解得甲種樹苗每棵的價(jià)格是40元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是30元；

(2)設(shè)購買兩種樹苗共花費(fèi)w元，購買甲種樹苗m棵，根據(jù)購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，得m≥25，而w=40m+30(100?m)=10m+3000，由一次函數(shù)性質(zhì)可得購買甲種樹苗25棵，則購買乙種樹苗75棵，花費(fèi)最少．

本題考查二元一次方程組及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組和函數(shù)關(guān)系式．25.【答案】解：(1)MN=DM+BN.證明如下：

由旋轉(zhuǎn)，可知：AE=AM，BE=DM，∠EAM=90°.∠ABE=∠D=90°，

∴點(diǎn)E、B、C共線，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EAM?∠MAN=45°=∠MAN．

在△EAN和△MAN中，

AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN，

∴△EAN≌△MAN(SAS)．

∴EN=MN，

∵EN=BE+BN，

∴MN=DM+BN；

(2)MN=BN?