高中數(shù)學(xué)1-2學(xué)案：2．2.1　直接證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．2.1直接證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解直接證明的兩種基本方法-—綜合法和分析法。2.理解綜合法和分析法的思考過程、特點(diǎn)，會(huì)用綜合法和分析法證明數(shù)學(xué)問題．知識(shí)點(diǎn)一綜合法閱讀下列證明過程，回答問題．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1,求證：2x＋2y≥2eq\r(2）.證明：因?yàn)閤＋y＝1，所以2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r（2x＋y)＝2eq\r（2），故2x＋2y≥2eq\r(2）成立．思考1本題的條件和結(jié)論分別是什么？思考2本題的證明順序是什么？1．綜合法的定義：從已知條件出發(fā),以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法．2．推證過程:eq\x（已知條件）?…?…?eq\x（結(jié)論）.知識(shí)點(diǎn)二分析法證明不等式：eq\r（3)＋2eq\r(2）＜2＋eq\r(7)成立．可用下面的方法進(jìn)行．要證明：eq\r（3)＋2eq\r（2）＜2＋eq\r(7),由于eq\r(3)＋2eq\r(2）＞0,2＋eq\r（7)＞0.只需證明(eq\r(3）＋2eq\r(2）)2＜(2＋eq\r(7））2,展開得11＋4eq\r(6)＜11＋4eq\r（7),只需證明6＜7，顯然6＜7成立,∴eq\r(3）＋2eq\r（2)＜2＋eq\r（7）成立．思考上述證明過程從哪里開始？證明思路是什么?1．分析法的定義:從問題的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件吻合為止，這種證明方法常稱為分析法．2．推證過程:eq\x（結(jié)論)?…?…?eq\x(已知條件）。類型一綜合法例1在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且A，B，C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．反思與感悟綜合法的證明步驟如下：(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理等;（2)轉(zhuǎn)化條件，組織過程：將條件合理轉(zhuǎn)化，書寫出嚴(yán)密的證明過程．跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中，eq\f(AC，AB)＝eq\f（cosB，cosC），證明：B＝C.類型二分析法例2若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lgeq\f（a＋b，2）＋lgeq\f(b＋c，2)＋lneq\f（c＋a，2)>lga＋lgb＋lgc.反思與感悟當(dāng)已知條件和結(jié)論聯(lián)系不夠明顯、直接，證明中需要用哪些知識(shí)不太明確具體時(shí)，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，用結(jié)論反推的方法．跟蹤訓(xùn)練2求證：eq\r（a)－eq\r（a－1)〈eq\r（a－2）－eq\r（a－3）（a≥3)．類型三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用例3求證：當(dāng)x≥0時(shí)，sinx≤x。反思與感悟在實(shí)際解決問題中，分析法與綜合法往往結(jié)合起來使用，先分析由條件能產(chǎn)生什么結(jié)論，再分析要產(chǎn)生需要的結(jié)論需要什么條件，逐步探求兩者之間的聯(lián)系,尋找解答突破口，確定解題步驟,然后用綜合法寫出解題的過程．跟蹤訓(xùn)練3設(shè)a、b是相異的正數(shù)，求證:關(guān)于x的一元二次方程（a2＋b2）x2＋4abx＋2ab＝0沒有實(shí)數(shù)根．

1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明過程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝eq\f（1＋cos2θ，2)－eq\f(1－cos2θ，2)＝cos2θ”應(yīng)用了__________證明．2．已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝eq\f(\r（a)＋\r（b），\r(2)），y＝eq\r(a＋b）,則x，y的大小關(guān)系是________．3．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a、b、c應(yīng)滿足的條件為______________．4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2(n＝1,2，…)，求證：數(shù)列{an｝是等比數(shù)列．1．綜合法證題是從條件出發(fā)，由因?qū)Ч?分析法是從結(jié)論出發(fā),執(zhí)果索因．2．分析法證題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語．3．在實(shí)際證題過程中，分析法與綜合法是統(tǒng)一運(yùn)用的，把分析法和綜合法孤立起來運(yùn)用是脫離實(shí)際的．沒有分析就沒有綜合；沒有綜合也沒有分析．問題僅在于，在構(gòu)建命題的證明路徑時(shí)，有時(shí)分析法居主導(dǎo)地位，綜合法伴隨著它；有時(shí)卻剛剛相反，是綜合法居主導(dǎo)地位,而分析法伴隨著它．提醒：完成作業(yè)2.2.1答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1條件:x＋y＝1,結(jié)論：2x＋2y≥2eq\r（2）.思考2從已知條件利用基本不等式到待證結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)二思考從結(jié)論開始,逐步尋求結(jié)論成立的充分條件，它的思維特點(diǎn)是從“未知"看“需知”，逐步靠攏“已知”，執(zhí)果索因．題型探究例1證明由于A，B，C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C。①由于A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝eq\f（π,3)。③由a，b，c成等比數(shù)列,有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c）2＝0，從而a＝c，所以A＝C。⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π，3),所以△ABC為等邊三角形．跟蹤訓(xùn)練1證明在△ABC中，由正弦定理及已知條件得eq\f(sinB，sinC）＝eq\f(cosB,cosC)。于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0,因?yàn)椋?lt;B－C<π，從而B－C＝0，所以B＝C。例2證明要證lgeq\f（a＋b，2）＋lgeq\f（b＋c，2)＋lgeq\f（c＋a，2)〉lga＋lgb＋lgc，只需證lg(eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c，2）·eq\f（a＋c，2))>lg(a·b·c),只需證eq\f（a＋b,2)·eq\f(b＋c,2）·eq\f（c＋a,2)〉a·b·c。因?yàn)閍,b，c為不全相等的正數(shù),所以eq\f(a＋b,2）≥eq\r(ab)>0,eq\f（b＋c，2）≥eq\r（bc)〉0，eq\f(c＋a,2)≥eq\r（ac)〉0，且上述三式中等號(hào)不能同時(shí)成立．所以eq\f(a＋b,2)·eq\f（b＋c,2）·eq\f（c＋a,2)>a·b·c成立，所以原不等式成立．跟蹤訓(xùn)練2證明方法一要證eq\r(a）－eq\r(a－1)<eq\r(a－2）－eq\r（a－3）,只需證eq\r（a)＋eq\r(a－3）<eq\r（a－2）＋eq\r(a－1）,只需證（eq\r(a）＋eq\r(a－3）)2〈(eq\r(a－2）＋eq\r（a－1））2，只需證2a－3＋2eq\r（a2－3a）<2a－3＋2eq\r（a2－3a＋2)，只需證eq\r（a2－3a)<eq\r（a2－3a＋2），只需證0〈2，而0<2顯然成立，所以eq\r(a)－eq\r(a－1）<eq\r（a－2)－eq\r(a－3)(a≥3)．方法二因?yàn)閑q\r(a)＋eq\r(a－1)〉eq\r（a－2)＋eq\r(a－3），所以eq\f（1,\r(a)＋\r（a－1))<eq\f（1，\r（a－2）＋\r（a－3）），所以eq\r(a)－eq\r（a－1）<eq\r（a－2)－eq\r(a－3）.例3證明要證x≥0時(shí)，sinx≤x，只需證x≥0時(shí)，sinx－x≤0即可．設(shè)f（x)＝sinx－x，則即證x≥0時(shí),f（x）≤f(0）＝0.即證x≥0時(shí)，f（x）的最大值小于或等于0.∵f(x）＝sinx－x，∴f′（x)＝cosx－1，∴當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x)≤0，∴f（x)在[0,＋∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x≥0時(shí),f(x）max＝f（0)＝0,∴sinx－x≤0成立，∴原不等式成立．跟蹤訓(xùn)練3證明要證(a2＋b2)x2＋4abx＋2ab＝0沒有實(shí)數(shù)根，只需證Δ<0即可．∵Δ＝（4ab）2－4（a2＋b2)·2ab＝16a2b2－8a3b－8b3a＝8ab（2ab－a2－b2）＝－8ab(a2－2ab＋b2）＝－8ab(a－b)2?！遖、b是相異的正數(shù)，∴ab〉0，（a－b)2>0，∴Δ＝－8ab(a－b)2〈0，∴該一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．達(dá)標(biāo)檢測1．綜合法解析證明過程是從條件出發(fā)，利用公式，由演繹推理得到要證明的結(jié)論，是綜合法．2．x〈y解析y2＝（eq\r(a＋b））2＝a＋b＝eq\f(2a＋b，2）〉eq\f（\r（a）＋\r(b）2，2)＝x2.3．b2＋c2＜a2解析要證∠A為鈍角，只需證cosA＝eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＜0即可,也就是b2＋c2＜a2。4．證明因?yàn)镾n＝3an－2(n＝1,2，…）,Sn－1＝3an－1－2（n＝2,3，…)，所以當(dāng)n≥2,n∈N＊時(shí)，an