高中數(shù)學(xué)2-⒊學(xué)案：第二章 概率 2．5.1　離散型隨機(jī)變量的均值 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2．5。1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)1。通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.2。理解離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)。3.掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的均值.4。會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量的取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望設(shè)有12個(gè)西瓜，其中4個(gè)重5kg，3個(gè)重6kg,5個(gè)重7kg。思考1任取1個(gè)西瓜，用X表示這個(gè)西瓜的重量，試問(wèn)X可以取哪些值？思考2當(dāng)X取上述值時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率分別是多少？思考3如何求每個(gè)西瓜的平均重量?梳理離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：Xx1x2…xnPp1p2…pn(1）數(shù)學(xué)期望：E(X）＝μ＝________________________________________________________________________.(2）性質(zhì)①pi≥0，i＝1,2，…，n;②p1＋p2＋…＋pn＝1。（3)數(shù)學(xué)期望的含義：它反映了離散型隨機(jī)變量取值的____________．知識(shí)點(diǎn)二兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布的均值1．兩點(diǎn)分布：若X～0－1分布，則E（X)＝________。2．超幾何分布：若X～H（n，M，N），則E（X)＝________。3．二項(xiàng)分布：若X～B(n，p），則E（X）＝________.類(lèi)型一離散型隨機(jī)變量的均值eq\x（命題角度1一般離散型隨機(jī)變量的均值）例1某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答三個(gè)問(wèn)題，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分,回答不正確得－100分,假設(shè)這名同學(xué)回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．（1)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分X的概率分布和均值；(2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分（即X≥0）的概率．反思與感悟求隨機(jī)變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X所有可能的取值．（2）求出X取每個(gè)值的概率P(X＝k）．(3)寫(xiě)出X的分布列．（4)利用均值的定義求E（X)．跟蹤訓(xùn)練1在有獎(jiǎng)摸彩中,一期（發(fā)行10000張彩票為一期)有200個(gè)獎(jiǎng)品是5元，20個(gè)獎(jiǎng)品是25元，5個(gè)獎(jiǎng)品是100元．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是多少元？eq\x(命題角度2二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的均值)引申探究在重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)為Y，隨機(jī)變量η＝5Y＋2.求E(η)．例2某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p＝0。6。(1)求投籃1次命中次數(shù)X的均值；(2）求重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y的均值．反思與感悟(1)常見(jiàn)的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則①兩點(diǎn)分布E（X）＝p;②二項(xiàng)分布E(X）＝np。熟練應(yīng)用上述兩公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度．(2）兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析①相同點(diǎn)：一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生．②不同點(diǎn)：a．隨機(jī)變量的取值不同，兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0，1，二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值X＝0，1，2，…，n。b．試驗(yàn)次數(shù)不同,兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn);二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn)．跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0。3，設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立．(1）求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；（2)X表示該地的100位車(chē)主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車(chē)主數(shù)，求X的均值．eq\x（命題角度3超幾何分布的均值）例3一個(gè)口袋內(nèi)有n(n〉3)個(gè)大小相同的球,其中有3個(gè)紅球和（n－3)個(gè)白球．已知從口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率是eq\f(3，5）.不放回地從口袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,求取到白球的個(gè)數(shù)ξ的均值E(ξ)．反思與感悟（1)超幾何分布模型一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中含有X件次品，則P（X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al（n－k,N－M),C\o\al（n,N）),k＝0，1,2，…,m，其中m＝min{M,n｝，且n≤N，M≤N，n,M，N∈N*。（2）超幾何分布均值的計(jì)算公式若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列服從超幾何分布，則E(X）＝eq\f（nM,N).跟蹤訓(xùn)練3設(shè)在15個(gè)同類(lèi)型的零件中有2個(gè)次品，每次任取1個(gè)，共取3次,并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的個(gè)數(shù)，求均值E（X)．類(lèi)型二均值的應(yīng)用例4甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí),負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為eq\f（1,2)，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判．（1）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；(2）X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的均值．反思與感悟解答此類(lèi)題目，應(yīng)首先把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值．跟蹤訓(xùn)練4某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球,在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng)．（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；（2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的概率分布和均值．1．現(xiàn)有一個(gè)項(xiàng)目,對(duì)該項(xiàng)目每投資10萬(wàn)元,一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元，1。18萬(wàn)元，1。17萬(wàn)元的概率分別為eq\f(1,6),eq\f（1，2），eq\f（1,3).隨機(jī)變量X表示對(duì)此項(xiàng)目投資10萬(wàn)元一年后的利潤(rùn)，則X的均值為_(kāi)_______．2．若p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量ξ的概率分布如下表：ξ012Peq\f(1，2）－ppeq\f（1，2)則E（ξ）的最大值為_(kāi)_______．3．設(shè)隨機(jī)變量X～B(40，p），且E（X)＝16，則p＝________。4．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)（n＝1,2，3,4）．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求ξ的概率分布、均值；(2)若η＝aξ＋4，E（η）＝1，求a的值．1．求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟（1)確定離散型隨機(jī)變量X的取值．(2）寫(xiě)出分布列,并檢查分布列的正確與否．(3)根據(jù)公式寫(xiě)出均值．2．若X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b，則E(Y）＝aE(X)＋b；如果一個(gè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可直接利用公式計(jì)算均值．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1X＝5,6，7.思考2P（X＝5)＝eq\f(4,12）＝eq\f(1,3），P(X＝6）＝eq\f(3，12)＝eq\f（1，4)，P（X＝7)＝eq\f（5，12）。思考3eq\f（5×4＋6×3＋7×5,12）＝5×eq\f(1，3）＋6×eq\f（1,4）＋7×eq\f(5,12)＝eq\f（73，12）.梳理(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(3)平均水平知識(shí)點(diǎn)二1．p2。eq\f(nM，N)3。np題型探究例1解（1）X的可能取值為－300，－100,100，300。P（X＝－300）＝0.23＝0。008，P(X＝－100)＝Ceq\o\al（1,3)×0.8×0.22＝0.096，P(X＝100）＝Ceq\o\al（2，3）×0.82×0。21＝0。384，P（X＝300）＝0.83＝0。512，所以X的概率分布如下表：X－300－100100300P0。0080.0960。3840.512所以E（X）＝(－300）×0。008＋(－100）×0.096＋100×0。384＋300×0.512＝180（分）．（2）這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P（X≥0）＝P(X＝100)＋P(X＝300）＝0。384＋0.512＝0.896.跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)一張彩票的中獎(jiǎng)?lì)~為隨機(jī)變量X，顯然X的所有可能取值為0，5，25,100。依題意X的概率分布如下表：X0525100Peq\f(391,400)eq\f（1,50）eq\f(1，500）eq\f(1，2000）所以E（X)＝0×eq\f（391,400）＋5×eq\f（1,50）＋25×eq\f(1,500）＋100×eq\f(1,2000)＝0.2,所以一張彩票的合理價(jià)格是0.2元．例2解（1）投籃1次，命中次數(shù)X的概率分布如下表：X01P0.40.6則E(X）＝0。6.（2）由題意知，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B（5,0。6),E(Y)＝np＝5×0。6＝3.引申探究解E(η）＝E（5Y＋2）＝5E(Y)＋2＝5×3＋2＝17。跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)該車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為p，由題意知p×(1－0。5)＝0。3，解得p＝0。6.(1）設(shè)所求概率為P1，則P1＝1－(1－0.5）×（1－0.6)＝0.8.故該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為0。8.(2）每位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率為（1－0。5）×（1－0.6）＝0。2.∴X~B（100,0.2)，∴E（X)＝100×0.2＝20?！郮的均值是20.例3解∵p＝eq\f（3,5)，∴eq\f（3,n)＝eq\f（3,5），∴n＝5，∴5個(gè)球中有2個(gè)白球．方法一白球的個(gè)數(shù)ξ可取0，1,2.則P(ξ＝0）＝eq\f(C\o\al(3，3），C\o\al(3，5））＝eq\f（1,10），P（ξ＝1）＝eq\f(C\o\al（2,3)C\o\al(1，2），C\o\al（3，5）)＝eq\f（3,5），P(ξ＝2)＝eq\f（C\o\al(1，3)C\o\al（2,2)，C\o\al(3，5）)＝eq\f(3，10）?！郋（ξ)＝eq\f（1,10)×0＋eq\f(3，5）×1＋eq\f(3，10）×2＝eq\f(6，5).方法二取到白球的個(gè)數(shù)ξ服從參數(shù)為N＝5，M＝2,n＝3的超幾何分布，則E（ξ）＝eq\f（nM,N）＝eq\f(3×2,5)＝eq\f（6，5).跟蹤訓(xùn)練3解方法一P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(3，13）,C\o\al（3，15))＝eq\f（22,35)，P（X＝1)＝eq\f(C\o\al（1,2)C\o\al（2，13），C\o\al（3,15))＝eq\f(12，35），P(X＝2）＝eq\f(C\o\al(2,2）C\o\al（1，13），C\o\al(3，15))＝eq\f(1，35),則E（X）＝0×eq\f（22,35）＋1×eq\f(12，35)＋2×eq\f（1，35)＝eq\f(2,5）.方法二由題意可知，X服從N＝15，M＝2，n＝3的超幾何分布，∴E(X)＝eq\f（Mn，N）＝eq\f(2×3，15)＝eq\f（2，5).例4解（1)記A1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”,A2表示事件“第3局甲參加比賽，結(jié)果為甲負(fù)”，A表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”．則A＝A1·A2.P(A）＝P（A1A2）＝P（A1)P(A2)＝eq\f(1，4).(2)X的可能取值為0,1,2。記A3表示事件“第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝丙”，B1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙"，B2表示事件“第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝甲”，B3表示事件“第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)”．則P(X＝0)＝P（B1B2A3）＝P(B1）P(B2)P（A3)＝eq\f（1,8)，P（X＝2）＝P(eq\x\to(B）1B3)＝P(eq\x\to(B)1）P(B3）＝eq\f（1,4)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P（X＝2)＝1－eq\f(1，8）－eq\f（1，4）＝eq\f(5，8)，E（X)＝0·P(X＝0）＋1·P（X＝1）＋2·P（X＝2）＝eq\f(9,8).跟蹤訓(xùn)練4解(1）記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝，A2＝{從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球}，B1＝{顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)}，B2＝｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)}，C＝{顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)｝．由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A1eq\x\to（A）2與eq\x\to(A）1A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1eq\x\to（A）2＋eq\x\to(A)1A2，C＝B1＋B2.因?yàn)镻(A1)＝eq\f（4,10)＝eq\f(2，5），P(A2）＝eq\f（5，10）＝eq\f（1,2）,所以P（B1)＝P（A1A2）＝P(A1)P(A2)＝eq\f(2，5）×eq\f（1，2)＝eq\f(1，5），P（B2)＝P(A1eq\x\to(A）2＋eq\x\to(A）1A2)＝P（A1eq\x\to(A)2）＋P（eq\x\to(A）1A2）＝P（A1)P（eq\x\to(A)2）＋P（eq\x\to(A)1)P（A2)＝P(A1）[1－P（A2)］＋［1－P（A1)]P（A2）＝eq\f（2,5）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，2))）＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)））×eq\f(1,2）＝eq\f(1,2）。故所求概率為P(C)＝P（B1＋B2）＝P（B1)＋P（B2）＝eq\f（1,5）＋eq\f(1,2）＝eq\f(7，10）。(2）顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),由(1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為eq\f（1，5）,所以X～Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5））)。于是P(X＝0)＝Ceq\o\al（0，3）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,5))）0eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（4,5)))3＝eq\f(64，125），P（X＝1）＝Ceq\o\al（1，3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，5）)）1eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(4，5）)）2＝eq\f（48，125），P(