2021屆高考數(shù)學(xué)專題突破空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖(解析版)

2021屆高考數(shù)學(xué)立體幾何突破性講練01空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖一、考點(diǎn)傳真：1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會(huì)用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.二、知識(shí)點(diǎn)梳理：1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等.②在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.三、例題：例1.（2019天津）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.【答案】π【解析】由題可知，四棱錐底面正方形的對角線長為2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱錐的高為2.

因?yàn)閳A柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，則圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于1，即半徑等于，由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半，為1.

所以該圓柱的體積為.例2.（2019北京）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得,其三視圖如圖所示。如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為________.【答案】40【解析】由三視圖還原原幾何體如圖所示，

該幾何體是把棱長為4的正方體去掉一個(gè)四棱柱，

則該幾何體的體積.例3.(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】解法一將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側(cè)棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示，易知，，，，，平面，故，為直角三角形，∵平面，平面，，又，且，∴平面，又平面．，∴為直角三角形，容易求得，，，故不是直角三角形，故選C．解法二在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，故選C．例4.(2018全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是【答案】A【解析】由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A．例5.（2017新課標(biāo)Ⅰ）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】由題意可知，該幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，則表面所有梯形之和為．選B．例6.（2017北京）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為A．3B．2C．2D．2【答案】B【解析】借助正方體可知粗線部分為該幾何體是四棱錐，最長的棱長是體對角線，所以．選B．四、鞏固練習(xí)：1.某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()A.圓柱 B.圓錐C.四面體 D.三棱柱【答案】A【解析】由三視圖知識(shí)知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三角形.2.如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是()A.棱臺(tái) B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱【答案】C【解析】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱.3.用斜二測畫法畫水平放置的矩形的直觀圖，則直觀圖的面積與原矩形的面積之比為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),4)【答案】D【解析】設(shè)原矩形的長為a，寬為b，則其直觀圖是長為a，高為eq\f(b,2)sin45°＝eq\f(\r(2),4)b的平行四邊形，所以eq\f(S直觀,S矩形)＝eq\f(\f(\r(2),4)ab,ab)＝eq\f(\r(2),4).故選D.4.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等.5.下列命題正確的是()A.兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形【答案】C【解析】如圖所示，可排除A，B選項(xiàng).只有截面與圓柱的母線平行或垂直，則截得的截面為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分.6.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()A.三棱錐 B.三棱柱C.四棱錐 D.四棱柱【答案】B【解析】由題知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱.7.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是()【答案】B【解析】由直觀圖知，俯視圖應(yīng)為正方形，又上半部分相鄰兩曲面的交線為可見線，在俯視圖中應(yīng)為實(shí)線，因此，選項(xiàng)B可以是幾何體的俯視圖.8.下列結(jié)論正確的是()A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線【答案】D【解析】如圖1知，A不正確.如圖2，兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確.若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯(cuò)誤.由母線的概念知，選項(xiàng)D正確.9.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④【答案】A【解析】由正視圖和側(cè)視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確.10.已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2 C.eq\f(\r(6),8)a2 D.eq\f(\r(6),16)a2【答案】D【解析】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故選D.11.如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A.2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2) C.eq\f(2＋\r(2),2) D.1＋eq\r(2)【答案】A【解析】恢復(fù)后的原圖形為一直角梯形，所以S＝eq\f(1,2)(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2).故選A.12.用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】畫出直觀圖，共六塊.13.給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是________.【答案】②③④【解析】①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知.14.一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為1的正方形，則原平面四邊形OABC面積為________.【答案】2eq\r(2)【解析】因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2eq\r(2).15.如圖，點(diǎn)O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點(diǎn)E為面B′BCC′的中心，點(diǎn)F為B′C′的中點(diǎn)，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個(gè)面上的正投影可能是______(填出所有可能的序號(hào)).【答案】①②③【解析】空間四邊形D′OE