高中數(shù)學(xué)北師大版1-1學(xué)案：第二章 章末復(fù)習(xí)課

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用，會用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程。2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題.4.掌握簡單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解決方法．知識點一橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于｜F1F2｜）的點的集合平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于｜F1F2｜)的點的集合平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不過點F)距離相等的點的集合標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2，b2)＝1或eq\f（y2，a2)＋eq\f（x2，b2）＝1（a>b〉0）eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝1或eq\f（y2,a2)－eq\f（x2，b2)＝1(a>0,b>0)y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py（p〉0）關(guān)系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2圖形封閉圖形無限延展，但有漸近線y＝±eq\f(b，a）x或y＝±eq\f（a，b)x無限延展，沒有漸近線變量范圍|x|≤a，|y｜≤b或｜y｜≤a，|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0對稱性對稱中心為原點無對稱中心兩條對稱軸一條對稱軸頂點四個兩個一個離心率e＝eq\f（c，a），且0<e〈1e＝eq\f（c,a)，且e〉1e＝1決定形狀的因素e決定扁平程度e決定開口大小2p決定開口大小知識點二橢圓的焦點三角形設(shè)P為橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a>b〉0)上任意一點(不在x軸上），F(xiàn)1,F2為焦點且∠F1PF2＝α，則△PF1F2為焦點三角形（如圖）．（1)焦點三角形的面積S＝b2taneq\f（α,2）.（2）焦點三角形的周長L＝2a＋2c。知識點三雙曲線及漸近線的設(shè)法技巧1．由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求其漸近線方程時，最簡單實用的辦法是：把標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0，即可得到兩條漸近線的方程．如雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1(a〉0，b〉0)的漸近線方程為eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝0(a〉0,b>0)，即y＝______________;雙曲線eq\f（y2，a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a〉0，b〉0)的漸近線方程為eq\f（y2，a2)－eq\f(x2，b2)＝0(a>0,b〉0)，即y＝__________。2．如果雙曲線的漸近線為eq\f(x,a)±eq\f(y,b）＝0時，它的雙曲線方程可設(shè)為__________________．知識點四求圓錐曲線方程的一般步驟一般求已知曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟．(1)定形-—指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置．（2）定式—-根據(jù)“形”設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1（m〉0，n>0）．（3）定量—-由題設(shè)中的條件找到“式"中待定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程得到量的大小．知識點五三法求解離心率1．定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上，都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2）以及e＝eq\f(c，a),已知其中的任意兩個參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法．2．方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．3．幾何法：求與過焦點的三角形有關(guān)的離心率問題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線）的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問題更形象、直觀．知識點六直線與圓錐曲線位置關(guān)系1．直線與雙曲線、直線與拋物線有一個公共點應(yīng)有兩種情況：一是相切;二是直線與雙曲線的漸近線平行、直線與拋物線的對稱軸平行．2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識,形成了求軌跡、最值、對稱、取值范圍、線段的長度等多種問題．解決此類問題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義，根與系數(shù)的關(guān)系以及“點差法”等．類型一圓錐曲線定義的應(yīng)用例1若F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2，9)－eq\f(y2，16)＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的點，且|PF1｜·｜PF2｜＝32,試求△F1PF2的面積．引申探究將本例的條件|PF1｜·|PF2|＝32改為|PF1|∶｜PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面積．反思與感悟涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決．跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓eq\f（x2,m）＋y2＝1（m>1)和雙曲線eq\f(x2,n)－y2＝1（n〉0)有相同的焦點F1，F(xiàn)2,P是它們的一個交點，則△F1PF2的形狀是（)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨m，n變化而變化類型二圓錐曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用例2(1)已知a＞b＞0,橢圓C1的方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f（\r（3),2),則C2的漸近線方程為()A．x±eq\r（2)y＝0 B.eq\r(2）x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0(2)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2，a2)－y2＝1交于A，B兩點,點F為拋物線的焦點，若△FAB為直角三角形,則該雙曲線的離心率是________．反思與感悟有關(guān)圓錐曲線的焦點、離心率、漸近線等問題是考試中常見的問題,只要掌握基本公式和概念,并且充分理解題意，大都可以順利解決．跟蹤訓(xùn)練2如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f(x2，4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是（)A.eq\r（2)B。eq\r（3)C。eq\f(3，2)D。eq\f（\r(6），2）類型三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例3已知橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1（a>b>0)上的點P到左，右兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為2eq\r（2)，離心率為eq\f（\r(2)，2)。(1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過右焦點F2的直線l交橢圓于A,B兩點，若y軸上一點M（0，eq\f（\r（3）,7))滿足|MA|＝|MB|,求直線l的斜率k的值．反思與感悟解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題與求最值問題類似，一般有兩種方法：(1）函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解．(2)不等式法:根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求參數(shù)范圍．跟蹤訓(xùn)練3如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A，B,且eq\o(AB,\s\up6(→))與n＝(eq\r（2)，－1）共線．(1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部,求實數(shù)m的取值范圍．1．雙曲線x2－eq\f（y2,m)＝1的離心率大于eq\r(2）的充要條件是(）A．m>eq\f(1，2） B．m≥1C．m〉1 D．m〉22．中心在原點,焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（)A。eq\f(x2,81)＋eq\f（y2,72)＝1 B.eq\f(x2,81）＋eq\f(y2，9）＝1C.eq\f（x2，81）＋eq\f（y2，25）＝1 D。eq\f(x2，81)＋eq\f(y2，36）＝13．設(shè)橢圓eq\f（x2,m2）＋eq\f（y2，n2）＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為eq\f（1,2)，則此橢圓的方程為(）A。eq\f（x2，12)＋eq\f（y2,16）＝1 B。eq\f(x2，16)＋eq\f(y2,12）＝1C.eq\f(x2,48）＋eq\f（y2,64）＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2，48）＝14．已知點A（－2，3)在拋物線C：y2＝2px（p〉0)的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為(）A.eq\f（1,2） B.eq\f(2，3)C.eq\f(3，4) D.eq\f(4，3)5．點P(8，1）平分雙曲線x2－4y2＝4的一條弦,則這條弦所在直線的方程是________________．在解決圓錐曲線問題時，待定系數(shù)法，“設(shè)而不求”思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是最常用的幾種思想方法,設(shè)而不求，在解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題中匠心獨具，很好地解決了計算的繁雜、瑣碎問題．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點三1．±eq\f(b,a）x±eq\f(a,b)x2.eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝λ（λ≠0）題型探究例1解由雙曲線方程eq\f(x2,9)－eq\f(y2，16）＝1，可知a＝3,b＝4,c＝eq\r（a2＋b2）＝5。由雙曲線的定義，得|｜PF1｜－｜PF2｜|＝6，將此式兩邊平方,得｜PF1｜2＋｜PF2|2－2｜PF1｜·|PF2｜＝36，所以|PF1｜2＋｜PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.如圖所示，在△F1PF2中,由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f（｜PF1|2＋｜PF2|2－|F1F2｜2,2|PF1｜|PF2|）＝eq\f（100－100,2｜PF1｜｜PF2｜）＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝eq\f(1，2)｜PF1｜·｜PF2｜·sin∠F1PF2＝eq\f(1，2）×32×1＝16。引申探究解由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（｜PF2|＝3｜PF1｜，，｜PF2|－｜PF1｜＝2a＝6，）)所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（|PF1｜＝3，，｜PF2｜＝9，）)所以cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2｜2－｜F1F2｜2，2｜PF1｜|PF2｜）＝eq\f（9＋81－100,2×3×9)＝－eq\f(5，27)。所以sin∠F1PF2＝eq\f(8\r(11），27)，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1｜|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1，2)×3×9×eq\f（8\r（11），27)＝4eq\r（11）.即△F1PF2的面積為4eq\r（11)。跟蹤訓(xùn)練1B［設(shè)P為雙曲線右支上的一點．對橢圓eq\f(x2，m）＋y2＝1(m〉1），c2＝m－1，｜PF1|＋｜PF2｜＝2eq\r（m），對雙曲線eq\f(x2,n）－y2＝1，c2＝n＋1，｜PF1｜－｜PF2｜＝2eq\r（n），∴|PF1|＝eq\r（m）＋eq\r(n)，｜PF2|＝eq\r(m）－eq\r（n),｜F1F2｜2＝(2c)2＝2（m＋n)，而|PF1｜2＋｜PF2｜2＝2（m＋n)＝（2c）2＝|F1F2｜2，∴△F1PF2是直角三角形，故選B。]例2（1）A（2）eq\r（6）解析（1）a＞b＞0，橢圓C1的方程為eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1,C1的離心率為eq\f(\r（a2－b2）,a），雙曲線C2的方程為eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1，C2的離心率為eq\f(\r（a2＋b2),a)?！逤1與C2的離心率之積為eq\f(\r（3）,2)，∴eq\f(\r（a2－b2），a）·eq\f(\r(a2＋b2),a）＝eq\f(\r(3),2）,∴eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（b,a))）2＝eq\f（1，2)，eq\f（b，a）＝eq\f（\r（2），2)，∴C2的漸近線方程為y＝±eq\f（\r(2）,2）x，即x±eq\r（2)y＝0。（2)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，又△FAB為直角三角形，則只有∠AFB＝90°，如圖，則A(－1，2)應(yīng)在雙曲線上，代入雙曲線方程可得a2＝eq\f(1，5），于是c＝eq\r（a2＋1）＝eq\r（\f（6,5）).故e＝eq\f(c,a)＝eq\r（6）。跟蹤訓(xùn)練2D［由橢圓可知｜AF1｜＋｜AF2｜＝4，｜F1F2|＝2eq\r（3）。∵四邊形AF1BF2為矩形，∴｜AF1｜2＋|AF2|2＝｜F1F2｜2＝12，∴2|AF1|｜AF2｜＝（｜AF1｜＋｜AF2|）2－（｜AF1|2＋｜AF2｜2）＝16－12＝4，∴（｜AF2｜－｜AF1｜)2＝｜AF1｜2＋｜AF2|2－2|AF1||AF2|＝12－4＝8,∴|AF2|－｜AF1｜＝2eq\r(2).因此對于雙曲線C2有a＝eq\r（2)，c＝eq\r(3)，∴C2的離心率e＝eq\f（c,a）＝eq\f（\r(6)，2)。]例3解(1)由題意知，|PF1|＋|PF2｜＝2a＝2eq\r(2），所以a＝eq\r（2).又因為e＝eq\f（c,a）＝eq\f(\r（2），2)，所以c＝eq\f（\r（2),2)×eq\r(2）＝1,所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2，2）＋y2＝1.（2）已知F2(1，0)，直線斜率顯然存在,設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1）,B(x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f（x2，2)＋y2＝1,）)化簡得（1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝eq\f（4k2,1＋2k2)，y1＋y2＝k（x1＋x2)－2k＝eq\f（－2k,1＋2k2)。所以AB的中點坐標(biāo)為(eq\f（2k2,1＋2k2),eq\f（－k，1＋2k2））．①當(dāng)k≠0時,AB的中垂線方程為y－eq\f（－k,1＋2k2）＝－eq\f(1,k)（x－eq\f(2k2,1＋2k2）)，因為|MA|＝｜MB｜,所以點M在AB的中垂線上,將點M的坐標(biāo)代入直線方程得，eq\f（\r(3),7）＋eq\f（k，1＋2k2)＝eq\f(2k，1＋2k2)，即2eq\r(3）k2－7k＋eq\r（3）＝0，解得k＝eq\r(3）或k＝eq\f（\r（3）,6）；②當(dāng)k＝0時，AB的中垂線方程為x＝0，滿足題意．所以斜率k的取值為0,eq\r（3)或eq\f