高中數(shù)學(xué)2-⒊學(xué)案：第二章 概率 2．4　二項(xiàng)分布 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型。2.掌握二項(xiàng)分布公式。3。能利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題．知識點(diǎn)一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)思考1要研究拋擲硬幣的規(guī)律,需做大量的擲硬幣試驗(yàn)，試驗(yàn)的條件有什么要求？思考2試驗(yàn)結(jié)果有哪些？思考3各次試驗(yàn)的結(jié)果有無影響？梳理n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)（1）由________次試驗(yàn)構(gòu)成．（2）每次試驗(yàn)____________完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有____________的狀態(tài)，即________．（3）每次試驗(yàn)中P(A)＝p＞0.特別地,n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)也稱為伯努利試驗(yàn)．知識點(diǎn)二二項(xiàng)分布在體育課上，某同學(xué)做投籃訓(xùn)練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0。8，用Ai(i＝1，2，3）表示第i次投籃命中這個(gè)事件，用Bk表示僅投中k次這個(gè)事件．思考1用Ai如何表示B1，并求P(B1)．思考2試求P(B2)和P(B3)．梳理一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率均為p（0＜p＜1)，即P(A)＝p,P（eq\x\to（A))＝1－p＝q。若隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al（k，n)pkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1,2，…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布,記作X～B（n,p）．類型一求獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率例1甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是eq\f(2，3)和eq\f(3,4）,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響．(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答）引申探究若本例條件不變,求兩人各射擊2次,甲、乙各擊中1次的概率．（1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;(2）求兩人各射擊2次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率．反思與感悟獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟（1)判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．(2）分拆：判斷所求事件是否需要分拆．（3）計(jì)算:就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練19粒種子分別種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為eq\f（1，2）。若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種,否則這個(gè)坑需要補(bǔ)種種子．(1)求甲坑不需要補(bǔ)種的概率;（2)記3個(gè)坑中恰好有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為P1,另記有坑需要補(bǔ)種的概率為P2,求P1＋P2的值．類型二二項(xiàng)分布例2學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng)（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)．（1)求在1次游戲中,①摸出3個(gè)白球的概率；②獲獎(jiǎng)的概率；(2）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的概率分布．反思與感悟(1）當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí),應(yīng)弄清X~B（n，p）中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p。（2)解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)①對于公式P(X＝k）＝Ceq\o\al（k,n)pk（1－p）n－k（k＝0，1，2，…，n)，必須在滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才能應(yīng)用，否則不能應(yīng)用該公式；②判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一;二是重復(fù)性,即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次．跟蹤訓(xùn)練2袋子中有8個(gè)白球，2個(gè)黑球,從中隨機(jī)地連續(xù)抽取三次，求有放回時(shí)，取到黑球個(gè)數(shù)的概率分布．類型三二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用例3一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是eq\f(1,3).（1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的概率分布;（2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的概率分布；(3）這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率．反思與感悟?qū)τ诟怕蕟栴}的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別應(yīng)用相加或相乘事件公式;最后,選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解．跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)口袋內(nèi)有n（n〉3)個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)紅球和(n－3）個(gè)白球，已知從口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球是紅球的概率為p。若6p∈N,有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個(gè)球），在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于eq\f(8，27），求p與n的值．1．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是________．2．某人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，一次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(3,5），經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為________．3．甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為3∶2，比賽時(shí)均能正常發(fā)揮技術(shù)水平,則在5局3勝制中，甲隊(duì)打完4局才勝的概率為____________．4．下列說法正確的是________．（填序號）①某同學(xué)投籃的命中率為0。6，在他10次投籃中命中的次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X~B（10，0。6）;②某福彩的中獎(jiǎng)概率為p，某人一次買了8張,中獎(jiǎng)張數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X～B(8，p)；③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球?yàn)橹?，則摸球次數(shù)X是隨機(jī)變量，且X~Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(n,\f（1,2))）.5．從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個(gè)交通燈,假設(shè)在各個(gè)交通燈遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是eq\f(2，5），設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布．1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要從三方面考慮：第一，每次試驗(yàn)是在相同條件下進(jìn)行的；第二,各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；第三,每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果,即事件發(fā)生,事件不發(fā)生．2．如果1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k）＝Ceq\o\al（k，n）pk（1－p）n－k。此概率公式恰為［（1－p)＋p]n展開式的第k＋1項(xiàng)，故稱該公式為二項(xiàng)分布公式．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1條件相同．思考2正面向上或反面向上，即事件發(fā)生或者不發(fā)生．思考3無,即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立．梳理（1)n（2）相互獨(dú)立兩種對立A與eq\x\to(A)知識點(diǎn)二思考1B1＝（A1eq\x\to(A)2eq\x\to（A)3）∪（eq\x\to（A)1A2eq\x\to（A)3）∪(eq\x\to（A)1eq\x\to(A）2A3)，因?yàn)镻（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝0。8,且A1eq\x\to（A）2eq\x\to（A）3、eq\x\to(A）1A2eq\x\to（A)3、eq\x\to(A)1eq\x\to(A）2A3兩兩互斥,故P（B1)＝0。8×0。22＋0。8×0.22＋0。8×0。22＝3×0。8×0.22＝0.096。思考2P(B2)＝3×0.2×0.82＝0。384,P（B3)＝0。83＝0。512。題型探究例1解（1）記“甲射擊3次，至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意,射擊3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故P(A1）＝1－P（eq\x\to（A）1）＝1－(eq\f（2,3））3＝eq\f(19,27)。（2）記“甲射擊2次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊2次，恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2，則P（A2）＝Ceq\o\al(2,2)×（eq\f(2，3)）2＝eq\f（4,9），P(B2)＝Ceq\o\al(1，2)×(eq\f（3，4））1×（1－eq\f（3,4)）＝eq\f（3,8)，由于甲、乙射擊相互獨(dú)立,故P（A2B2)＝eq\f(4，9）×eq\f（3，8）＝eq\f(1,6).引申探究解記“甲擊中1次”為事件A4,記“乙擊中1次"為事件B4，則P(A4）＝Ceq\o\al(1，2）×eq\f（2，3)×（1－eq\f（2，3））＝eq\f（4,9),P（B4)＝Ceq\o\al(1，2）×eq\f（3，4)×(1－eq\f(3,4))＝eq\f（3，8).所以甲、乙各擊中1次的概率為P(A4B4)＝eq\f(4,9）×eq\f（3，8)＝eq\f(1,6).跟蹤訓(xùn)練1解（1）因?yàn)榧卓觾?nèi)3粒種子都不發(fā)芽的概率為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,2)))3＝eq\f（1，8)，所以甲坑不需要補(bǔ)種的概率為1－eq\f（1，8)＝eq\f（7，8).（2）3個(gè)坑恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為P1＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f（7，8）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,8))）2＝eq\f(21，512).由于3個(gè)坑都不需補(bǔ)種的概率為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7,8))）3，則有坑需要補(bǔ)種的概率為P2＝1－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（7,8）)）3＝eq\f（169，512).所以P1＋P2＝eq\f（21，512）＋eq\f（169,512)＝eq\f(95，256).例2解（1)①設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球"為事件Ai(i＝0，1，2，3)，則P（A3)＝eq\f（C\o\al(2,3),C\o\al（2，5））·eq\f(C\o\al（1，2），C\o\al(2，3）)＝eq\f（1，5）.②設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B＝A2∪A3。又P（A2）＝eq\f(C\o\al(2,3）,C\o\al（2，5)）·eq\f(C\o\al(2,2)，C\o\al(2，3）)＋eq\f（C\o\al(1，3）C\o\al（1,2)，C\o\al(2,5)）·eq\f（C\o\al（1，2),C\o\al（2,3))＝eq\f(1,2)，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P（A2）＋P(A3）＝eq\f(1，2)＋eq\f（1，5)＝eq\f(7，10).(2）由題意可知,X的所有可能取值為0，1,2，則P(X＝0)＝（1－eq\f（7,10））2＝eq\f(9，100)，P(X＝1）＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(7，10）×(1－eq\f(7，10））＝eq\f(21，50)，P(X＝2）＝(eq\f(7，10）)2＝eq\f(49,100）.所以X的概率分布如下表:X012Peq\f（9,100）eq\f（21，50）eq\f（49,100）跟蹤訓(xùn)練2解取到黑球個(gè)數(shù)X的可能取值為0,1，2，3。又由于每次取到黑球的概率均為eq\f（1,5)，所以P（X＝0）＝Ceq\o\al(0，3）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，5）)）0·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4，5)))3＝eq\f(64，125），P(X＝1)＝Ceq\o\al（1,3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，5))）·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（4，5))）2＝eq\f(48，125），P(X＝2)＝Ceq\o\al（2，3）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，5)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（4,5）))＝eq\f(12，125）,P（X＝3）＝Ceq\o\al(3，3）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，5）））3·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(4，5）))0＝eq\f(1,125）。故X的概率分布為X0123Peq\f(64,125)eq\f（48,125）eq\f（12，125）eq\f(1,125）例3解(1）由ξ～Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)）)，則P（ξ＝k)＝Ceq\o\al(k，5）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,3））)keq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)））5－k，k＝0，1，2,3，4,5.故ξ的概率分布如下表：ξ012345Peq\f(32,243）eq\f(80,243)eq\f(80，243)eq\f(40,243）eq\f(10,243）eq\f（1，243)（2)η的分布列為P(η＝k）＝P(前k個(gè)是綠燈，第k＋1個(gè)是紅燈）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2，3))）k·eq\f（1，3)，k＝0，1，2,3,4;P（η＝5)＝P(5個(gè)均為綠燈)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2，3)）)5.故η的概率分布如下表:η012345Peq\f(1,3）eq\f(2,9）eq\f(4，27）eq\f(8，81）eq\f(16，243）eq\f（32,243）（3）所求概率為P(ξ≥1)＝1－P（ξ＝0）＝1－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）))5＝eq\f（211,243).