工程力學(xué)第八章圓軸的扭轉(zhuǎn)

第八章圓軸的扭轉(zhuǎn)8.2扭矩、扭矩圖8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實(shí)例8.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形8.4圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件和剛度條件8.5靜不定問(wèn)題實(shí)際工程中，有很多產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件。圖示汽車操縱桿；機(jī)械中的傳動(dòng)軸等。傳動(dòng)軸8.1扭轉(zhuǎn)的概念與實(shí)例研究對(duì)象：

圓截面直桿受力特點(diǎn)：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程:

SMx=0變形特征：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

fABxyz0M0M變形前變形后fAB本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實(shí)心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對(duì)象。此外，所研究的問(wèn)題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。8.2扭矩與扭矩圖扭矩：MT是橫截面上的內(nèi)力偶矩。內(nèi)力—由截面法求得。取左邊部分平衡由平衡方程：

M0M0假想切面外力偶

M0內(nèi)力偶

MT由平衡方程：

取右邊部分MT和MT

是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)有相同的大小和正負(fù)。TM0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶

M0

扭矩

MT扭矩外力偶

平衡MTM0扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負(fù)。負(fù)M0MTM0MT正nnmT

（+）mnnT（+）

上述截面的內(nèi)力（扭矩）為正值扭矩圖：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，為能反映出扭矩的分布情況，我們以桿件的軸線為基線，用一個(gè)圖形來(lái)表示沿軸長(zhǎng)各橫截面上扭矩的變化規(guī)律，稱為扭矩圖xT+–[例8-1]、作圖示圓軸的扭矩圖2mxmx3mxABC解：由于AB、BC兩段的扭矩不同，所以要分段計(jì)算（1）計(jì)算AB段的扭矩1用假想的1截面將軸切開(kāi)，取左段為隔離體根據(jù)平衡條件求得：TAB=2mx112mxTAB

（2）計(jì)算BC段的扭矩2用假想截面2將圓軸切開(kāi)，取左段或右段為隔離體，根據(jù)平衡條件求得：TBC=-mx2mx3mxAB22TBCmxC22TBC2mxmx3mxAB（3）作扭矩圖xTABC2mxmx+–[例8-2]圖示為一裝巖機(jī)的后車軸，已知其行走的功率PK=10.5kW，額定轉(zhuǎn)速n=680r/min，機(jī)體上的荷載通過(guò)軸承傳到車軸上，不計(jì)摩擦，畫出車軸的扭矩圖ABC解：1）計(jì)算外力矩齒輪B輸入的功率分別傳遞到輪A、C上，每個(gè)輪所消耗的功率為：PK/2mAmBmC2）計(jì)算AB段內(nèi)力根據(jù)平衡條件，可求得：TAB=mA=74NmmAATABmAmBABTBC3）計(jì)算BC段內(nèi)力根據(jù)平衡條件，求得：TBC=mA-mB=-74Nm4）扭矩圖xTABC7474+–mAmBmC

[例8-3]

一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速；主動(dòng)輪輸入的功率P1=500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。解：1.計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩2.計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi)：AD段內(nèi)：CA段內(nèi)：(負(fù))注意這個(gè)扭矩是假定為負(fù)的3.作扭嫁矩圖由扭密矩圖拆可見(jiàn)盼，傳袖動(dòng)軸袖的最傭大扭繳矩Tma砍x在CA段內(nèi)癥，其悠值為9.光56kN·m。思考否：如果禿將從擾動(dòng)輪D與C的位宜置對(duì)撓調(diào)，托試作妖該傳倆動(dòng)軸采的扭矩圖狼。這怕樣的戲布置綱是否仇合理宏？15.94.786.374.785kN5kN3kNN圖+-5kN2kN8kN5k搬N2k授N8k答N5kN+向簡(jiǎn)捷烤畫法：2010ABC在左告端取齒參考楊正向骨，按蠢載荷大小遇畫水伙平線飯；遇孩集中接載荷蔬作用虎則內(nèi)考力相貝應(yīng)增嚴(yán)減；嗓至右艦端回戰(zhàn)到零拴。FN圖（逆軸力陡）

按右手法確定+向xoCABMT圖討論增：試作拐扭矩乓圖2010MT圖

按右手法確定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010MT圖

按右手法確定+向ABCD208.道3圓軸熱扭轉(zhuǎn)家時(shí)的災(zāi)應(yīng)力謊與變肌形8.匆3.鈔1.橫截厭面上賺的應(yīng)把力表面民變形蹦情況推斷橫截盜面的獲變形凳情況(問(wèn)題傻的幾腿何方凱面)橫截扮面上抖應(yīng)變諒的變?cè)?guī)脊律橫截云面上瓦應(yīng)力釘變化仇規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)顷P(guān)系(問(wèn)題曬的物劃理方掏面)內(nèi)力批與應(yīng)遞力的醉關(guān)系橫截抵面上壤應(yīng)力撓的計(jì)漿算公崖式(問(wèn)題駁的靜賄力學(xué)木方面)圓軸寇扭轉(zhuǎn)王實(shí)驗(yàn)典現(xiàn)象厘：橫向抹：圓周雪線仍柄相互虎平行持，且家形狀忍和大敲小不白變，擋間距烏不變爺，但憂相鄰聽(tīng)圓周絕發(fā)生議相對(duì)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)縱向鐵：各縱違向線閃仍然賺平行臘，但坐傾斜漲了一養(yǎng)個(gè)角刮度，彈由縱膚向線科與圓愧周線仿所組過(guò)成的碑矩形屠變成碎了平悼行四送邊形平截射面假粗定：圓軸遍扭轉(zhuǎn)佳變形眠后，呼橫截銳面保萄持為貓平面娘，其塔形狀校和大愚小及遙相鄰洗兩橫漸截面嚷間的脈距離監(jiān)保持話不變鞠，半泡徑仍撓保持稈為直覽線（也橫截縫面剛劫性地白繞軸爽線作柜相對(duì)習(xí)轉(zhuǎn)動(dòng)廢）推知黑：桿扣的橫鎖截面淘上只家有切男應(yīng)力潛，且堆垂直喂于半達(dá)徑。取長(zhǎng)孫為dx的微富段研家究，扣在扭捏矩作厘用下沾，右材端面臺(tái)剛性殼轉(zhuǎn)動(dòng)睡角df，原雷來(lái)的找矩形AB凍CD變成纏為菱除形AB師CD。1.變形僅幾何箭條件g是微構(gòu)元的太直角日改變困量，哄即半保徑r各處位的剪錫應(yīng)變遣。因罷為CC=gdx=r賽df,故有戀：df/dx,稱為單位扭轉(zhuǎn)角。對(duì)半晴徑為r的其架它各豈處，側(cè)可作借類似須的分帳析。dxOCDABrrCDdfdfgMTg1.變形喬幾何燦條件對(duì)半伐徑為r的其到它各宗處，算作類宜似的啊分析蒼。剪應(yīng)變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉(zhuǎn)角df

/dx成正比。即得變形幾何條件為：--(1)同樣糠有：CC=gdx=rdfdxOCDABrrCDdfMTgrgr2.物理浩關(guān)系—材料杏的應(yīng)秩力-應(yīng)變稼關(guān)系在線性彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。單位GPa--(2)半徑為r處的剪應(yīng)力則為：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)無(wú)正應(yīng)力1GOtg1Gtys材料華的剪楚應(yīng)力虜與剪飛應(yīng)變接之間漢有與俘拉壓沫類似揪的關(guān)務(wù)系。討論差：圓軸販扭轉(zhuǎn)輕時(shí)橫敲截面足上的媽剪應(yīng)肚力分俗布圓軸唉幾何潛及MT給定穴，df/dx為常數(shù)數(shù)；G是材宴料常抵?jǐn)?shù)。--跑(3略)dxOCDABrrCDdfMTgrgrtrMTotrrtmax最大咽剪應(yīng)僵力在稅圓軸兩表面婚處。態(tài)扭轉(zhuǎn)截面語(yǔ)上任日一點(diǎn)并的剪盾應(yīng)力掉與該象點(diǎn)到楚軸心窯的距艱離r成正允比；剪應(yīng)筍變?cè)贏B債CD面內(nèi)毀，故農(nóng)剪應(yīng)溝力與我半徑裳垂直畫，指屑向由蠶截面遠(yuǎn)扭矩菠方向果確定獄。3.力的啄平衡變關(guān)系應(yīng)力跨是內(nèi)蘋力(扭矩)在微李截面剪上的申分布肺集度馬。各費(fèi)微截格面上綁內(nèi)力肅對(duì)軸款心之借矩的物和應(yīng)罩與截奴面扭片矩相間等。取微偶面積間如圖車，有桐：--(3)利用(3)式，得到：trMTotrrtmaxdA3.力的池平衡片關(guān)系令：最后得到：--(4)Ir稱為樓截面慚對(duì)圓趴心的司極慣失性矩莫，只劫與截匆面幾糟何相蓄關(guān)。tmax在圓軸表面處，且WT=IP/r，稱拐為抗戚扭截停面模泰量。求IP，WT?trMTotrrtmax8.滾3.莫2圓截餃面的窯極慣毅性矩歌和抗河扭截挎面模州量dDo討論似內(nèi)徑d，外大徑D的空大心圓嘉截面騰，取側(cè)微面?zhèn)€積dA土=2prdr,則有向：rdrdA極慣性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP-=-==òDdDdIDd抗扭截面模量：

16/)1()2//(43apP-==DDIWTa=d糞/D極慣性矩：抗扭截面模量dDo空心板圓軸實(shí)心圓軸Do極慣性矩:抗扭截面模量:a=d/D=0研究懶思路鳴：變形幾何條件dx---(1)d/jrg=+材料物理關(guān)系dxdGGjrgtrr==---(2)靜力平衡關(guān)系+TAMdAdxdG=ò2rj---(3)圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：PrrtIMT=---(4)且由(2)、(4)可知單位扭轉(zhuǎn)角為：PjGIMdxdT//=---(5)結(jié)論：1）圓沃軸扭芽轉(zhuǎn)時(shí)櫻，橫癥截面燥上只改有剪虧應(yīng)力住，剪畫應(yīng)力勇在橫篩截面基上線徑性分稍布，退垂直壁與半安徑，那指向膜由扭缺矩的礎(chǔ)轉(zhuǎn)向勢(shì)確定拘。2）截面李任一動(dòng)處版截面藍(lán)外圓太周處損（表燒面）tP=MTr/IPtmax=MT/WTdDo空心圓軸實(shí)心圓軸DoMTtrtmaxMTtrtmax討論惹：2）下丹列圓吩軸扭故轉(zhuǎn)的先剪應(yīng)聯(lián)力分盆布圖莊是否爪正確?1）已狂知二殿軸長(zhǎng)木度及喇所受躺外力木矩完尼全相堂同。餓若二甩軸截面尺帖寸不叮同，姜其扭絡(luò)矩圖陜相同秘否?若二藥軸材氧料不創(chuàng)同、漠截面猶尺寸義相同直，各段赤應(yīng)力摟是否劉相同半？存變形寺是否害相同聾？相同相同不同oMToMToMToMT8.勵(lì)3.竭3扭轉(zhuǎn)攻圓軸徒任一疾點(diǎn)的召應(yīng)力忌狀態(tài)MTdxMTttdxcAdyttt′t′研究孟兩橫竿截面美相距dx的任塑一A處單悶位厚鞠度微槽元，餓左右圣二邊劣為橫壩截面傾，上散下二恩邊為棚過(guò)軸六線的司徑向統(tǒng)面。AA的平遠(yuǎn)衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0t=t剪應(yīng)旋力互老等定孝理：物體配內(nèi)任另一點(diǎn)猜處二睡相互叢垂直壺的截夢(mèng)面上杏，剪范應(yīng)力禁總是并同時(shí)勉存在尺的，董它們魔大小譯相等拼，方沸向是議共同誰(shuí)指向穗或背汪離二燭截面鏈的交擴(kuò)線。dxcAdyttt′t′純剪吸應(yīng)力需狀態(tài)樹(shù)等價(jià)示于轉(zhuǎn)皇過(guò)45后微賓元的宣二向稻等值嘆拉壓儉應(yīng)力巷狀態(tài)燭。純剪配應(yīng)力晚狀態(tài):微元鳥(niǎo)各面捷只有縫剪應(yīng)僻力作叫用。45斜截狗面上兇的應(yīng)瘋力：t45dxct45s45ttdx+(t45dx/c榆os就45)c趴os屈45+(s45dx/c夢(mèng)os普45)s四in斧45=0還有全：s-45=t；t-45=0tdx-(t45dx/c疤os析45)s固in兩45+(s45dx/c院os叢45)c駱os征45=0解得含：s45=-t；t45=0。Ass現(xiàn)分岡析單元炮體內(nèi)針垂直獲于前殼、后犯兩平落面的尋任一交斜截暢面ef(如圖)上的替應(yīng)力億。斜截排面上蔑的應(yīng)僻力分離珠體上早作用泳力的積平衡孩方程茫為利用t=t'，經(jīng)整厘理得由此詳可知尤：(1棚)單元姜體的愈四個(gè)勞側(cè)面(a=它0°和a=90°)上切籌應(yīng)力壟的絕薦對(duì)值拒最大狗；(2歸)a=-45水°和a=+45患°截面上切仍應(yīng)力導(dǎo)為零前，而滿正應(yīng)傅力的佳絕對(duì)聯(lián)值最蕩大；，如圖所示。低碳尾鋼扭稠轉(zhuǎn)試睛驗(yàn)開(kāi)尿始低碳事鋼扭無(wú)轉(zhuǎn)試呼驗(yàn)結(jié)蠅束低碳跡鋼扭貼轉(zhuǎn)破譽(yù)壞斷先口鑄鐵津扭轉(zhuǎn)待破壞楚試驗(yàn)翁過(guò)程鑄鐵幕扭轉(zhuǎn)布破壞糕斷口思考院：低碳黎鋼和蜘鑄鐵步的圓候截面潛試件俊其扭化轉(zhuǎn)破售壞的檔斷口非分別畫如圖a及圖b所示車，試庫(kù)問(wèn)為洗什么削它們悉的斷優(yōu)口形肯式不度同？例題8-4實(shí)心聽(tīng)圓截賭面軸Ⅰ(圖a)和空希心圓茶截面塑軸Ⅱ(圖b)（壺）除橫永截面啞不同君外，蒜其它燈均相即同。常試求及兩種祖圓軸鹿在橫獲截面榮上最娘大切袖應(yīng)力今相等尾的情范況下滔，D2與d1之比裝以及輩兩軸蛇的重見(jiàn)量比羊。解：由t1,ma康x=t2,ma蛾x，并將a＝0.只8代入得兩軸青的重月量比袖即為庭其橫喬截面鴿面積患之比值：空心母圓軸沾的自勿重比桿實(shí)心賽圓軸魯輕。配實(shí)際惜應(yīng)用注中，提尚需嘗考慮疏加工倍等因現(xiàn)素。Ⅳ.強(qiáng)度鞏條件此處[t]為材句料的蔽許用胖切應(yīng)笨力。型對(duì)于決等直桂圓軸檔亦即鑄鐵序等脆激性材彈料制悔成的臉等直態(tài)圓桿偶扭轉(zhuǎn)合時(shí)雖赤沿斜膛截面米因拉破伸而菠發(fā)生杏脆性插斷裂猜，但旱因斜碰截面申上的群拉應(yīng)命力與盲橫截悲面上澇的切呈應(yīng)力疾有固棒定關(guān)斬系，計(jì)故仍滑可以師切應(yīng)席力和柳許用紐奉切應(yīng)蒼力來(lái)跟表達(dá)弟強(qiáng)度廁條件旋。[例8-5]圖示佩階梯廉狀圓蝴軸，AB段直徒徑d1=1掃20痛m速m，BC段直票徑d2=1進(jìn)00撞m長(zhǎng)m。扭轉(zhuǎn)倦力偶陜矩MA=2芽2kN·m，MB=3拆6kN班·m，MC=1權(quán)4kN產(chǎn)·m，材料同的許招用切每應(yīng)力[t]=80MP皆a。試校寄核該憲軸的關(guān)強(qiáng)度批。BC段內(nèi)AB段內(nèi)解：1.繪扭刷矩圖2.求每粗段軸配的橫嫁截面初上的止最大嘉切應(yīng)符力3.校核課強(qiáng)度需要根指出毅的是冰，階駁梯狀桶圓軸薯在兩肅段的裹連接肌處仍席有應(yīng)彈力集針中現(xiàn)隱象，掩在以隔上計(jì)情算中萍對(duì)此驕并未翼考核豎。t2,歷ma沖x>t1,鐵ma健x，但有t2,雜ma竊x<[t]慈=忽80氧MP章a，故該秒軸滿牢足強(qiáng)扁度條屆件。Ⅰ.扭轉(zhuǎn)犯時(shí)的嘴變形等直抽圓桿座的扭胃轉(zhuǎn)變業(yè)形可西用兩堡個(gè)橫孔截面蛙的相域?qū)εぐ⑥D(zhuǎn)角(相對(duì)躁角位并移)j來(lái)度球量。MeADBCMejg8.扶3.孝4圓軸案的扭篇轉(zhuǎn)變遷形當(dāng)?shù)劝欀眻A討桿相董距l(xiāng)的兩陸橫截轟面之轟間，全扭矩T及材羊料的庭切變辭模量G為常透量時(shí)棒有

由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率(亦稱單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角)為可知，桿的相距l(xiāng)的兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j為GI稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。r解：1.各段憑軸的皮橫截強(qiáng)面上哈的扭案矩：[例8-靠6]圖示線鋼制慘實(shí)心乞圓截籠面軸聯(lián)，已次知：M1=1宜5活92N·m，M2=盼95鋤5N·奔m，M3=哭63裹7N·仰m，lAB=倦30爐0崖mm，lAC=發(fā)50蘿0織mm，d=脹70誘m搜m，鋼的掘切變逮模量G=要80GP旨a。試求顛橫截超面C相對(duì)當(dāng)于B的扭烏轉(zhuǎn)角jCB.3.橫截烈面C相對(duì)銅于B的扭崗轉(zhuǎn)角岸：2.各段塑軸的艦兩個(gè)胳端面勉間的盾相對(duì)楊扭轉(zhuǎn)界角：[例8-神7]空心足圓軸里如圖性，已鳳知MA=1巧50槐N.封m，MB=5態(tài)0N透.m撓M認(rèn)c=敲10辭0N價(jià).m，材備料G=魂80Gp犯a，試求仇（1）軸組內(nèi)的聯(lián)最大肢剪應(yīng)承力；（2）C截面印相對(duì)A截面址的扭顧轉(zhuǎn)角染。解:砌1藥)畫扭燭矩圖漁。2)計(jì)算首各段匪應(yīng)力:

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAABC150100MT/N.mAB段：N-mm-Mpa單位制N-mm-Mpa單位制故tma緩x=8菌6.且7M摧pa3)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角ACradGIlMGIlMBCBCTBCABABTABAC183.0=+=rrjBC段：N-mm-Mpa單位制ABC150100MT/N.m

f22

f18

f2410001000ABCMBMCMAⅡ.剛度報(bào)條件式中保的許臉可單陽(yáng)位長(zhǎng)星度扭因轉(zhuǎn)角[j']的常何用單草位是(°)/m。此時(shí)留，等掛直圓馬桿在塊扭轉(zhuǎn)翼時(shí)的油剛度噴條件貪表示淡為：對(duì)于恩精密每機(jī)器猾的軸[q聞]≈0.警15~0.芝30(°桌)/m；對(duì)于葉一般招的傳兆動(dòng)軸[q對(duì)]≈2(°)/m。解:1.按強(qiáng)誘度條青件求委所需嚷外直牧徑D[例8-8祖]由45號(hào)鋼制保成的舅某空麻心圓站截面爸軸，肯內(nèi)、殲外直花徑之林比a=0.敵5。已知鋪材料尾的許趕用切脅應(yīng)力[t]枕=碎40MP借a，切變盈模量G=辟80GP訂a。軸的睛橫截姥面上饞扭矩辜的最峽大者末為Tma汪x=吳9.膜56kN·m，軸的漂許可羊單位討長(zhǎng)度啄扭轉(zhuǎn)俊角[q栗]=0.套3(°)/m。試選煩擇軸著的直唇徑。2.按剛浮度條厘件求叢所需報(bào)外直稿徑D3.空心庭圓截掩面軸買所需徐外直杠徑為D≥1扭25鋼.5堤m伴m(由剛蕩度條比件控臉制)，內(nèi)監(jiān)直徑述則根揉據(jù)a=d/D=摔0.伴5知§8-5扭轉(zhuǎn)螺靜不林定問(wèn)炭題[例8-軟9]兩端賀固定住的圓坐截面瞇等直迅桿AB，在截吊面C處受味扭轉(zhuǎn)竟力偶里矩Me作用犧，如倉(cāng)圖a。已知膠桿的噴扭轉(zhuǎn)事剛度才為GIp。試求超桿兩痰端的約束從力偶矩微以及C截面推的扭筍轉(zhuǎn)角禮。(a)解:1.有二膛個(gè)未津知約束荷力偶矩MA,MB，但只葡有一乞個(gè)獨(dú)釀立的為靜力棵平衡唉方程故為一次令靜不囑定問(wèn)崖題。(a)MAMB2.低B為固定簽端,因此(a)MAMB4.桿的AC段橫串截面右上的謹(jǐn)扭矩捷為從而有(a)[例8-母10撲]由半絨徑為a的銅檢桿和殼外半