第八章圖論第節(jié)

第八章圖論1第一節(jié)圖的基本知識第二節(jié)歐拉圖與中國郵路問題第三節(jié)樹第四節(jié)最短路（鏈）問題第五節(jié)網(wǎng)絡(luò)最大流問題第六節(jié)最小費用流問題21.圖論的產(chǎn)生圖論是運籌學(xué)應(yīng)用十分廣泛的一個分支。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EEuler）于1736年發(fā)表了一篇題為“依據(jù)幾何位置的解題方法”的論文，有效地解決了哥尼斯堡七橋難題（歐拉證明了每個點都只與奇數(shù)條線相關(guān)聯(lián)，所以從某一點開始，不重復(fù)地走過7座橋，最后回到出發(fā)點是不可能的），這是有記載的第一篇圖論論文，歐拉被公認為圖論的創(chuàng)始人。3ACBD42.圖論的發(fā)展1736年——1936年：匈牙利數(shù)學(xué)家O.K?nig于1936年出版了名為《有限圖與無限圖的理論》，為圖論研究的第一本專著。從1736年歐拉的第一篇論文，到這本專著的出版，前后經(jīng)歷200年之久，這一時期圖論的發(fā)展是緩慢的。51936年——20世紀(jì)中期：電子計算機和離散數(shù)學(xué)問題的發(fā)展，使得作為提供離散數(shù)學(xué)模型的圖論得以迅速發(fā)展。目前圖論被廣泛應(yīng)用到管理科學(xué)、計算機科學(xué)、信息論、控制論等各個領(lǐng)域，并取得了豐碩的成果。6第一節(jié)圖的基本知識

一、圖的基本概念1.圖由一些點和一些點之間的連線所組成的二元組，稱為圖。2.頂點圖中點集V={vi}中的元素vi稱為頂點。73.邊和弧圖中，兩頂點之間的連線為無向的（不帶箭頭），稱為邊，記為E={ei}。一條連接頂點vi和vj的邊記為[vi,vj]。eivivj8圖中，兩頂點之間的連線為有向的（帶箭頭），稱為弧，弧為A={ai}。一條由頂點vi指向頂點vj的弧記為(vi,vj)。aivjvi94.有向圖和無向圖由點和邊所構(gòu)成的圖，稱為無向圖，記為G=(V,E)，式中V是無向圖G的點集合；E是無向圖G的邊集合。由點和弧所構(gòu)成的圖，稱為有向圖，記為D=(V,A)，式中V

是有向圖的點集合G；A

是有向圖G

的弧集合。10無向圖有向圖115.無向圖中頂點數(shù)、邊數(shù)的表示方式頂點數(shù)：p(G)，簡記為p。邊數(shù)：q(G)，簡記為q。6.有向圖中頂點數(shù)、弧數(shù)的表示方式頂點數(shù)：p(D)，簡記為p。邊數(shù)：q(D)，簡記為q。12二、圖的引申概念1.端點、始點、終點無向圖G=(V,E)中，邊e=[u,v]∈E，稱頂點u和v是邊e的端點，也稱頂點u和v是相鄰的。euv13有向圖D=(V,A)中，弧a=(u,v)∈A，稱頂點u是弧a的始點，稱頂點v是弧a的終點。uv142.關(guān)聯(lián)邊（弧）無向圖G=(V,E)中，邊e=[u,v]∈E，稱邊e

是頂點u

的關(guān)聯(lián)邊，也稱邊e

是頂點v

的關(guān)聯(lián)邊。euv15有向固圖D=仙(V,A)中，奶弧a=茂(u,v)醬∈A，稱劃弧a是始絮點u的關(guān)控聯(lián)弧饞，也袍稱弧a是終貿(mào)點v的關(guān)師聯(lián)弧丸。auv163.多重狹邊（裙弧）無向氏圖G=總(V,E)中，拆邊e1=[u,v]、e2=[u,v]、…、ek=[u,v]∈E，即脈兩個趟端點u和v之間行的邊栽多于蹦一條合，稱直這些柏邊為厲多重冊邊。eiuve1ek17有向菠圖D=貢(V,A)中，礙弧a1=(u,v)、a2=(u,v)、…、ak=(u,v)∈A，即矩由始繭點u指向琴終點v的弧辭多于垃一條如，稱疑這些洗弧為諷多重叔弧。aiuva1akuva1a2184.環(huán)無向矛圖G=謎(V,E)中，合邊e=弦[u,u]，即米邊的球兩個列端點熱相同你，稱障該邊旨為環(huán)媽。ue19有向番圖D=(V,A)中，蘿弧a=宋(u,u)，即引弧的欄始點或和終無點相歸同，樣稱該賓弧為毛環(huán)。ue205.簡單姿圖無向汁圖中柳，一重個無甩多重組邊、早無環(huán)曲的無媽向圖剝，稱育為簡脖單圖貝。有向元圖中伸，一謎個無蓋多重武弧、境無環(huán)驢的有新向圖偷，稱銜為簡酬單圖悲。216.多重肆圖無向柏圖中賤，一鍋個有涂多重雪邊，湖但無救環(huán)的疏無向屯圖，才稱為務(wù)多重凳圖。有向綠圖中放，一西個有躁多重回弧，初但無骨環(huán)的除有向別圖，脅稱為況多重寄圖。22簡單當(dāng)圖多重伴圖例：23三、學(xué)頂點差的次1.頂點淋的次在無接向圖炮中，服以頂庫點v為端葵點的聽邊的押個數(shù)鑄稱為躬頂點v的次箱，記勒為d(v)。在有哈向圖悠中，速以頂貼點v為始長點的玩弧數(shù)材，稱帆為頂旨點v的出夸次，卸記為d+(v)。在有呀向圖敢中，廢以頂啦點v為終曬點的范弧數(shù)剪，稱哭為頂詳點v的入安次，游記為d-(v)。在有嶄向圖抵中，炕以頂灶點v的出觸次和蜜入次按之和獎，稱女為頂老點v的次跌，記屠為d(v)。24v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7d(v1)=肅2，d(v2)=未2，d(v3)=醉4d(v4)=攤3，d(v5)=令3，d(v6)=為2d(v7)=車225注：閃環(huán)的鍵頂點筍的次準(zhǔn)數(shù)為2次。d(v1)=安4，d(v2)=頌2，d(v2)=3，d(v4)=革1，d(v5)=貫0e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：262.懸掛窯點、遵懸掛巷邊、啄懸掛世弧次數(shù)懶為1的頂故點稱移為懸亞掛點炎。如上困例中冊的頂牢點v4。無向躬圖中忍，連論接懸傻掛點腥的邊喊稱為喂懸掛確邊。如上蝴例中徒的邊e5。有向竄圖中內(nèi)，連午接懸稱掛點榮的弧鋼稱為豪懸掛多弧。27d(v4)=旅1e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：283.孤立畜點次數(shù)耐為0的頂豬點稱乞為孤剝立點蔑。如上譜例中跨的頂庭點v5。4.奇點次數(shù)混為奇奏數(shù)的背頂點撕稱為龍奇點笨。如上尼例中撞的頂廟點v3和v4。5.偶點次數(shù)錘為偶秤數(shù)的棉頂點弄稱為擇偶點居。如上棋例中告的頂仙點v1和v2。29d(v5)=咬0e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：d(v3)=矮3d(v4)=竿1d(v1)=眉4d(v2)=傾2306.三個初定理定理1任何邀圖中砍，頂阿點次阿數(shù)的堡總和叛等于刮邊數(shù)慌（弧姐數(shù)）灣的2倍，恐即證明回：計改算各雁頂點綢的次蹦數(shù)時攻，每關(guān)條邊球都被討它的爛端點圍各用止了一致次。31證明9個工桶廠之厘間，貞不可洪能每朽個工待廠只拴與其士他3個工私廠有悼業(yè)務(wù)昏聯(lián)系原。（P2宮78頁習(xí)燒題8.銅1）證：江如果9個工忌廠均他是與返其他3個工巖廠有態(tài)業(yè)務(wù)盾聯(lián)系歷，則紙頂點識的次啞數(shù)總筋和為27，是遣奇數(shù)痛而不窄是偶悅數(shù)，媽同定膚理1矛盾較。32定理2任何更圖中猜，奇急點的個個數(shù)見為偶停數(shù)。證明祝：設(shè)V1和V2分別嘗是G中奇塔點和桐偶點柴的集耗合，督由定手理1可得332q和均為藥偶數(shù)2q-為偶記數(shù)故也為端偶數(shù)又因餓為d(v)（v∈V1）的移值為終奇數(shù)厲，所澇以d(v)（v∈V1）的舉個數(shù)滿為偶危數(shù)。34證明9個工盒廠之蝦間，剃不可酸能只殃有4個工勇廠只絲式與偶乏數(shù)個拘工廠軌有業(yè)循務(wù)聯(lián)絲式系。攀（P2獄78頁習(xí)罷題8.鉗1）證：贈如果股只有4個工磁廠與道偶數(shù)桃個工陸廠有透業(yè)務(wù)料聯(lián)系市，則遙另外5個工毅廠與殺奇數(shù)海個工贏廠有柏業(yè)務(wù)寺聯(lián)系甘。這5個工沸廠均漁為奇檔點，居與定錫理2矛盾菌。35定理3有向遣圖中棕，所敞有頂鼻點的星入次勝之和鄭等于取所有懷頂點伴的出茶次之造和，掀即證明紫：計榜算各鉆頂點危的出撥次和償入次筐時，鄰每條廟弧都僻被它蒸的端文點各械用了睬一次匠。36四、傾連通吉圖1.鏈和香路在無向圖G=(V,E)中，一個點、邊交錯序列如果滿足，則稱為連接和的一條鏈。37在有始向圖D=舌(V,A)中，淡一個鑰點、兩弧交炕錯序貝列如果熟滿足，則只稱為猾從到的一明條路姻。稱為點為鏈的中間點。38v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a3,v4)不是莫一條催路，尸因為究弧a1≠(v1,v2)，a3≠(v3,v4)。392.初等蕉鏈和從初等戀路若鏈中，膀點均不號相同脖，則懼稱之康為初錦等鏈靈。注：宋初等籍鏈中畫點無面相同粘的，絮邊也獸無相光同的昌。40注：澤初等猶路中光點無巷相同搏的，掠弧也忌無相鑰同的責(zé)。中，槽點均不龜相同破，則暑稱之穴為初罷等路交。若路41v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4)不是犧一條斧初等隱路。a6423.簡單對鏈和偵簡單啟路若鏈中，界邊均不各相同關(guān)，則裝稱之干為簡喝單鏈?zhǔn)?。注：清簡單佩鏈中嗚邊無膊相同槽的，問但可縮慧有相諷同的攤點。43注：挨簡單術(shù)路中緩弧無弓相同撒的，勾但可絞有相農(nóng)同的攔點。中，蓮弧均不滲相同途，則料稱之雨為簡攤單路春。若路44v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4)不是既一條牙初等陳路，騎但是程一條籌簡單塘路。a6454.圈和晨回路在無銹向圖G=禿(V,E)中，是一個烏點、兇邊交偷錯序節(jié)列，如位果滿飯足，且為同釣一個館點，衫則稱著此鏈擺為圈懷。46v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一袍個圈墨。a647，如凳果滿灑足，且為同至一個紫點，門則稱娘此路暴為回魔路。在有原向圖D=扮(V,A)中，批一個蛾點、鬧弧交看錯序夢列48v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一遇個回統(tǒng)路。a6例：49v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)不是桐一個侵回路擁。a6505.初等羅圈和毒初等寄回路若圈中，市點都不輔相同童，則非稱之須為初芳等圈側(cè)。若回路中，點都不相同，則稱之為初等回路。51初等坑圈：(v1,v2,v3,v4,v1)v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e752(v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)不是黎一個雕初等薪圈。v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7536.簡單料圈和愉簡單糟回路若圈中，鐮邊均不蒙相同餐，則瞧稱之咱為簡慎單圈舞。若回給路中，扎弧都不案相同喜，則榆稱之奪為簡各單回睛路。54(v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)不是甩一個理初等匯圈，鴨但是致一個孔簡單殿圈。v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7557.連通自圖和太不連農(nóng)通圖在無赴向圖G=輩(V,E)中，田若任特意兩探個點烏之間繁，至思少有即一條第鏈，扎則稱G是連服通圖吵，否闖則稱多為不呢連通荒圖。56在有霉向圖D=炎(V,A)中，粗若任僚意兩條個點造之間敘，至存少有晚一條穗路，肆則稱D是連寶通圖暢，否污則稱吐為不盈連通禍圖。578.連通貸圖分搏圖若G或D是不珍連通現(xiàn)圖，是則它靠的每岡個連贊通部簡分，金稱為G的一刊個連包通分仍圖，救簡稱狗分圖犁。58v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7v8v9e10上圖妨中是燙一個臟不連討通圖境，但逼它有喪兩個弦連通智分圖稱。例：599.生成歷（支姑撐）案子圖給一第個無悄向圖G=爪(V,E)，如保圖，使身得，則所稱是G的一晴個生推成（疲支撐速）子帝圖。60給一緞個無燥向圖D=義(V,A)，如度圖，使璃得，則巖稱是D的一左個生價成（灘支撐新）子匠圖。61例：v1v3v5v4v2v1v5v4v3v2圖G圖圖為圖G的一糠個生吵成（竟支撐肝）子掘圖6210緣瑞.G-v圖或D-v圖D-v：表示偶圖D中去盒掉點v及v的關(guān)元聯(lián)弧鑒后得員到的催一個刮圖。G-v：表示竭圖G中去灑掉點v及v的關(guān)棵聯(lián)邊太后得注到的蔬一個饒圖。63v1v3v5v4v2v2v1v4v5圖G圖G-v3例：6411械.基礎(chǔ)晴圖給一被個有釀向圖D=(V,A)，從D中去鑼掉所臟有弧比上的歉箭頭懼（方練向）到，從役而得鎖到一解個無值向圖G=彎(V,E)，稱坦之為D的基擺礎(chǔ)圖廊，記覆為G(D)。65五、勁圖的脂矩陣薦表示用矩售陣表宿示圖肚對研棄究圖耍的性己質(zhì)及憂應(yīng)用澆常常困比較葵方便兄。圖僅的矩請陣表跟示方吐法主縱要有趨：權(quán)矩王陣鄰接很矩陣661.權(quán)矩畏陣網(wǎng)絡(luò)慨賦權(quán)飄圖G=(V，E)，其蘇邊(vi，vj)有權(quán)wij，構(gòu)狐造矩遺陣A=(aij)n×n，其您中稱矩禮陣A=(aij)n×n，為雜圖G的權(quán)感矩陣負。67對角富線上誦元素?zé)嶂禐?v1v5v4v3v2742438569682.鄰接僑矩陣對于粥圖G=(V，E)，構(gòu)斤造矩焦陣A=(aij)m×n，其倚中稱矩決陣A=(aij)n×n，為驗圖G的鄰靜接矩盟陣。69v3v1v2v5v6v470一、擇歐拉累圖歐拉務(wù)路：連通賣圖G中，僑若存殿在一辟條路唇，經(jīng)聯(lián)過G中的緞所有轟邊，宜且每書邊僅佛經(jīng)過度一次飼，則吃稱這恢條路菌為歐經(jīng)拉路慢。歐拉本回路后：連通蚊圖G中若博存在仍一條租回路敵，經(jīng)含過G中的曠所有尸邊，弄且每熄邊僅盛經(jīng)過皂一次星，則命稱這寇條回島路為寧歐拉榴回路糠。歐拉謊圖：具有漠歐拉蠶回路文的圖亡稱為預(yù)歐拉淺圖。第二賄節(jié)奧歐拉負圖與耐中國罵郵路載問題71歐拉證路經(jīng)過倆所有貌邊的農(nóng)簡單醒路歐拉技回路經(jīng)過裹所有白邊的芽簡單午回路72定理1無向大連通臺圖G是歐媽拉圖陡，當(dāng)雄且僅規(guī)當(dāng)G中無爹奇點奧。證明課：（1）充池分性饞：連羊通圖G為歐耍拉圖味→G中無夏奇點奏。因為G為歐秀拉圖借，則口必然翁存在墓一條撒回路鵲，經(jīng)脹過G中所有慨的邊燦，且賓只經(jīng)菊過一蝦次。鞠對于G中的眉任一博頂點vi，只鑼要回漠路中仆出現(xiàn)效一次勸，必魂關(guān)聯(lián)鮮兩條隱邊，雙即一笛條邊姿進入盞這點涌，再謙沿另孝一邊毫離開腹這點披。所抽以點vi雖然耐可以吼在回洪路中菜重復(fù)型出現(xiàn)過，但睡次數(shù)暢必為漏偶數(shù)的。73（2）必孔要性愈：連芒通圖G中無江奇點頭→G為歐遼拉圖溫。因為泥連通分圖G中全扇部都指是偶勝點，登則從回任一仿頂點v1出發(fā)跑，經(jīng)定關(guān)聯(lián)南邊e1進入v2，由臨于v2也是塵偶點傾，則挑必然霞可由v2經(jīng)另涂外一譽條不欄同的股關(guān)聯(lián)員邊e2進入射另外寇一個理頂點v3，如釘此進臣行下庫去，房誠每邊呼僅取檢一次表。由升于連董通圖G中點單數(shù)是授有限和的，息所以單這條茂路不秀能無凍休止閥地走靜下去槐，必叢然可血以回零到初瓣始頂耍點v1，從緩而得智到一香個回盜路c1?；仂`路c1是否徹為歐愧拉回員路只竟需驗槽證c1是否詞包含飽連通似圖G中的悠所有谷邊即劇可。74①若回益路c1經(jīng)過G的所飼有邊賠，則c1就是師歐拉鉆回路顏，必爹要性捎得以勇證明革。②若回柜路c1只經(jīng)公過G中的喇一部夏分邊主，則c1尚不氧是歐糟拉回驗路。i）街從G中去蓮掉c1后得噸到子差圖G’，則G’中每殘個頂嫌點的爽次數(shù)拾仍為厚偶數(shù)梯。Ii）在G’中，善重復(fù)弟前面c1的方躬法，那得到續(xù)回路c2。75ii呆i）把c1與c2組合蟲在一處起，胡如果宴恰是勿圖G，則沫得到鴉歐拉鐮回路賀，否蟲則重話復(fù)上分述步既驟，崗得到果回路c3。iv）依腹次類悄推。由于插圖G中邊舉數(shù)有應(yīng)限，浮最終床可得彈一條諸經(jīng)過族圖G所有遲邊的挪回路膜，即且歐拉變回路墳。76該圖頃無奇爽點，標(biāo)現(xiàn)在黎按照風(fēng)上述炒方法瞎尋找山歐拉果回路咱。c1c2c3將c1、c2、c3組合進起來弓，從寶而形木成歐坐拉回恥路。為歐曉拉圖77歐拉樣圖中扒歐拉五回路息的構(gòu)座造方橡法：①蘇從圖G中任絲式一點v1出發(fā)況，尋增找一鐵個初映等回貴路c1。②答從圖G中去悠掉初馳等回墳路c1。③帳在剩燥余的龍圖中青再尋欺找初稼等回宣路c2。④從圖G中去叫掉初萍等回遙路c2。⑤按此花方法右進行議下去頸，直揪到圖威中所嚼有邊膊都包皮含在紙這些夠初等愧回路興中。⑥把紫這些胸回路巷連接凍起來鹿，從外而得漸到即木為歐終拉回窯路。78ACBDd(A)=塑3d(C)=隸5d(B)=亡3d(D)=譜3該連亞通圖存有4個奇姥點，巾不是們歐拉遠圖。判斷清哥尼坑斯堡莫七橋上難題79下圖犧能否菊一筆戒畫出誦？可以衡一筆錦畫出雹，因葵為該師圖為爹歐拉萍圖。c1c2c380推論1無向辭連通檔圖G是歐拐拉圖晶，當(dāng)拜且僅籌當(dāng)G的邊窄集可京劃分舊為若拜干個齒初等紗回路怪。（伴由定剃理1的必副要性晶證明盞過程厚可知幟。）推論2無向承連通泰圖G中存抹在歐騙拉路歌，當(dāng)挖且僅艱當(dāng)G中恰沿有兩珠個奇奏點。81定理2有向劣連通閥圖G是歐獲拉圖痕，當(dāng)皮且僅辣當(dāng)G中每床個頂激點的期出次命等于憑入次奔。推論有向斯連通這圖G有歐墓拉路晉，當(dāng)有且僅卸當(dāng)這洪個圖長中除閱去兩躍個頂騾點外灣，其地余每鹽一個卷頂點離的出銜次等趣于入撈次，鏟且這冒兩個碧頂點純中，回一個先頂點豬的入失次比構(gòu)出次還多1，另娛一個纖頂點用的入狂次比敗出次拳少1。82二、繩中國愿郵路近問題19獸62年我夜國著泥名運拆籌數(shù)背學(xué)家膽管梅磁谷教還授提慎出中凡國郵深路問淘題：一個坐郵遞港員，丈負責(zé)類某一塌地區(qū)瘦的信咸件投殼遞。菌每天莖要從閑郵局像出發(fā)什，走圍遍該角地區(qū)塵所有引街道東再返樸回郵距局，專問應(yīng)窗如何榨安排勾送信注的路剖線，死可以繞使所汪走的梁總路詠程最膠短？83中國蠟郵路紀(jì)問題皺的圖柔論描罰述：給定辦一個壯連通言圖G，每館邊有縱非負學(xué)權(quán)l(xiāng)(e)，要阻求一哲條回騰路過稈每邊久至少呼一次賊，且割滿足泡總權(quán)殘最小嘉。84分析串：如果G中沒喂有奇戚點，現(xiàn)則是叛一個透歐拉宴圖，毅按歐析拉回忍路走把就是具最短壤路；如果G中有融奇點膠，要睜求連戚續(xù)走猜過每柱邊至起少一叢次，鴨必然領(lǐng)有些街邊不巨止走形一次欠。85第三浩節(jié)網(wǎng)樹一、服樹的刻概念敲和性狡質(zhì)樹是拉圖論押中結(jié)速構(gòu)最厲簡單掘但又辟十分私重要村的一芬種圖慣。1.定義連通班且不音含圈繼的無幕向圖叫稱為縣無向黑樹。在任君一圖G中，升當(dāng)點侵集V確定另后，塑樹是G中邊駛數(shù)最糞少的糟連通周圖。862.定理圖G=騰(V,E)是一搏個樹型，p(G)≥翅2，則G中至樣少有劃兩個庭懸掛資點。證明臟：在G中找秘出邊喚數(shù)最頃多的姿一條若初等寸鏈(v1,v2,…庫,vk)。87現(xiàn)在超來證摟明邊鑰數(shù)最肯多的肉初等徐鏈(v1,v2,徑…搏,vk)的兩狐個端哥點均蝕為懸勸掛點笛。如果v1不是葵懸掛啊點，志則至仿少存止在邊[v1,vm]（vm≠v2）。88若點vm不在愉鏈(v1,v2,…存,vk)中，徒那么(vm,v1,v2,…勵,vk)比(v1,v2,…猾,vk)長，數(shù)矛盾笛；若點vm在鏈(v1,v2,…礙,vk)中，兄那么(v1,v2,…峽,vm,v1)為圈艷，矛銅盾；從而訊可知v1為懸俗掛點孔。同理持可證vk也為良懸掛皮點。893.樹的鐘充要杏條件圖G=杏(V,E)，圖G是一見個樹瘡的充趁要條秀件為蕩：（1）G無圈慎，且q(G)飄=p(G)像-1（邊翁數(shù)=點數(shù)-組1）。（2）G連通羊，且q(G)很=p(G)木-1（邊橋數(shù)=點數(shù)-槽1）。（3）G中任咳意兩凈點之豎間有騙唯一月一條央鏈相忙連。（4）G無圈英，但喬每加曬一新否邊即軌得唯媽一一拍個圈本。（5）G連通橡，但踐每舍亂去一湯邊就喝不連旱通。90必要懶性：饒圖G是一漸個樹范→G無圈猛，且q(G)活=p(G)-截1析→q(G)泳=p(G)-濃1用數(shù)礦學(xué)歸托納法未證明柴。p(G1)=蠢1時，q(G1)=嗎0，結(jié)詳論顯器然成鞏立；p(G2)=屋2時，q(G1)=駝1，結(jié)優(yōu)論顯承然成銷立；假設(shè)p(Gn)椅=n時，q(Gn)稀=n-1，即貧結(jié)論析成立傷。（1）圖G是一琴個樹G無圈稻，且q(G)迅=p(G)凍-1。證明卻：91下面苦來證樓明p(Gn+1)赤=n+1時，q(Gn+1)=n。Gn+1是一驅(qū)個樹渾，且p(Gn+1)撿=n+1江≥2由定瞧理可遺知，Gn+1中至逗少有篩兩個反懸掛卸點。設(shè)v是Gn+1的一界個懸協(xié)掛點捧，考戰(zhàn)慮圖Gn+1-v（圖Gn+1中去使掉點v及v的關(guān)浙聯(lián)邊敘后得雄到的樓圖）峽為一修個頂糟點數(shù)欣量為n的樹激，則92又從而膜證明愿了p(Gn+1)宗=n+1時，q(Gn+1)弄=n，結(jié)尖論也惑成立擺。必要陪性得命證。q(Gn+1)=q(Gn+1-v)+核1=n-1抱+1萍=np(Gn+1-v)=n，q(Gn+1-v)壘=p(Gn+1-v)杰–糾1疼=n-臺193充分殖性：掘圖G無圈袍，且q(G)耳=p(G)址-1侄→圖G是一艦個樹位→彈圖G是連夠通的用反郊證法栗證明扛。設(shè)G是無躁圈的哪不連歌通圖幟。G可分境為s個無井圈的姥連通柱分圖G1，G2，……，Gs（s≥2）G1，G2，……，Gs均為豆無圈杯的連遣通圖94G1，G2，……，Gs均為宅樹由必練要性隔可知第：q(Gi)論=p(Gi)儲-1（i=1果,…漿,s,s≥2）又G={G1，G2，……，Gs}95≤p(G)-禽2南<p(G)-池1同已船知條但件q(G)閑=p(G)露-1矛盾具，故鳥假設(shè)稠錯誤挺。充分逗性得港證。96必要恥性：氧圖G是一斧個樹街→G連通呼，且q(G)=p(G)-視1徑→q(G)燒=p(G)吊-宰1略（動同上抵，已六證畢支）充分秩性：烈圖G連通靜，且q(G)=p(G)-潛1雀→圖G是一仿個樹學(xué)→筋圖G中不燥含圈（2）圖G是一貴個樹G連通丟，且q(G)合=p(G)源-1。97①盾先來幼證明席：圖G連通盆，且q(G)振=p(G)-膠1新→圖G中必徹有懸冤掛點用反俱證法俯證明畝。設(shè)G中無解懸掛穴點。則G中所田有點補的次驕數(shù)都乘大于書等于2，即d(vi)≥作2，從晶而可哨得98（任駕何圖風(fēng)中，測頂點懇次數(shù)簡的總般和等鹿于邊紹數(shù)的2倍，峽即）99從而紗可知監(jiān)：關(guān)系呼式q(G)魯≥p(G)和已孤知條致件q(G)君=p(G)-儲1相互宣矛盾賓。從而黃可知G中必己有懸炒掛點漸。10博0②鹽用數(shù)就學(xué)歸擠納法總證明綢：圖G連通慕，且q(G)抖=p(G)-香1貓→圖G中不項含圈p(G1)=嫩1，q(G1)=謹0時，G1顯然踐不含湯圈，矮結(jié)論魄顯然燈成立脖；p(G2)=車2，q(G1)=希1時，G2顯然老不含巴圈，玩結(jié)論絞顯然臉成立鴿；假設(shè)p(Gn)=n，q(Gn)=n-1時，Gn中不岸含圈滿，即濱結(jié)論扒成立找。10盤1下面嬸來證摸明p(Gn+1)=n+1，q(Gn+1)=n時，Gn+1中也卻不含虹圈。Gn+服1中含環(huán)有懸遼掛點設(shè)v為Gn+1中的芒懸掛樂點，借考慮房誠圖Gn+1-v（圖Gn+1中去爛掉點v及v的關(guān)閱聯(lián)邊騙后得名到的檔圖）旅為一黎個頂播點數(shù)董量為n的連悠通圖羨，且舒滿足p(Gn+1-v)體=p(Gn+1)融-1窗=n，q(Gn+1-v)=q(Gn+1)受-1抱=n-1。10芒2從而朋可知慌圖Gn+1-v中不訊含圈Gn+1中也曠不含眼圈命題處得證10外3（3）圖G是一較個樹G中任挖意兩估點之每間有而唯一董一條構(gòu)鏈相常連必要斤性：酬圖G是一墾個樹蜓→G中任趟意兩固點之預(yù)間有布唯一控一條響鏈相走連。因G是連賠通的沒：任鄰兩個晚點之絡(luò)間，枝至少援有一汁條鏈棄；因G是無發(fā)圈的骨：任英兩個環(huán)點之勾間，府只能擋有一封條鏈禾，否物則則步形成樸了圈恢。10施4充分用性：G中任斃意兩晉點之與間有閥唯一委一條浴鏈相拳連畢→夏圖G是一罵個樹G中任木意兩多點之響間有遞唯一表一條原鏈：G是連澆通的甚。再來恭證明G是無備圈的雜。反證慚法。設(shè)G中有帶圈，鋪則這估個圈臭上的季兩個震頂點費之間想有兩熟條鏈旗，與愁“G中任醉意兩階點之尾間有繼唯一霉一條蒼鏈”待相矛埋盾。喉故G中是針無圈昏的。命題探得證遍。10毅5（4）圖G是一訪個樹G無圈飽，但勾每加訓(xùn)一新禍邊即去得唯從一一傷個圈命題就得證搏。G中任楊意兩斯點之挑間有衰唯一賓一條么鏈相煮連G無圈喘，但看每加沫一新郊邊即茄得唯焰一一邊個圈10馬6圖G是一累個樹G連通貍，但訊每舍滿去一闖邊就貪不連背通（5）命題稻得證很。G中任姻意兩闊點之畜間有拾唯一磚一條光鏈相選連G連通持，但命每舍由去一仿邊就捏不連東通10巾7二、闖圖的源生成激樹（窗支撐戰(zhàn)樹）1.定義（1）生惜成樹設(shè)圖是圖G=刊(V,E)的生胖成子兆圖是一謀個樹夫，則殖稱T是G的如果帝圖一個值生成寇樹。10銅8例：v1v3v5v4v2v1v5v4v3v2是上鴨圖的凱生成島圖，軟但不貝是生極成樹蓄。10妖9v1v5v4v3v2是上妹圖的挎生成踩圖，揭而且燥是生巧成樹軍。v1v3v5v2v411有0（2）樹亡枝圖G中，芒屬于雅生成宿樹的咬邊稱愿為樹萬枝。（3）弦圖G中，衛(wèi)不屬武于生因成樹伍的邊伙稱為仇弦。11授1v1v5v4v3v2是上扭圖的爭生成幫圖，雷而且柔是生握成樹幣。v1v3v5v2v4弦樹枝11披2（4）性僻質(zhì)①p(T)探=p(G)②q(T)趣=p(T)是-1蹈=p(G)勤-1（樹店枝數(shù)=點數(shù)-1）；③褲弦戲數(shù)（G中不回屬于號樹T的邊奧數(shù)）=q(G)–q(T)=q(G)御-亦[p(G)-甲1]膊=q(G)柏-p(G)油+傻1（弦蘿數(shù)=邊數(shù)-點數(shù)+溪1）11嫩3v1v5v4v3v2v1v3v5v2v4弦樹枝樹枝文數(shù)=點數(shù)-1艇=全5碌–反1菠=捏4弦數(shù)=邊數(shù)-點數(shù)+弊1=拖7筋-岔5沫+娃1踏=窮311謝42.定理圖G有生形成樹盯的充福分必懶要條娃件是顧圖G是連究通的頓。證明辭：必要玩性：擔(dān)圖G有生輛成樹燙→摧圖G是連世通的圖G有生臥成樹T，生籃成樹T必是擦連通尊，從輛而圖G也必鞋是連倚通的偉。11郊5充分縫性：蠢圖G是連鈔通的恐→廟圖G有生裂成樹如果理圖G是連尊通的患、且穗無圈森，則擁圖G本身修就是競一個珠樹，靈從而驢圖G是它域自身丘的一呢個生帥成樹弱。如果曬圖G是連挨通的題、且質(zhì)含有麻圈（瀉破圈閑法）鑰：（1）則裙任取擴一個提圈，訴從圈危中任午意去群掉一涌條邊擊，得蹲到圖G的一步個生憲成子坐圖G1，如買果G1不含摔圈，鳳那么G1就是G的一飛個生雨成樹絞；11足6（2）如賀果G1仍含缺圈，葵那么茅從G1中任骨取一參個圈甘，從冰圈中磁任意高去掉當(dāng)一條顧邊，廊得到訪圖G1的一位個生歪成子隸圖G2，如報果G2不含鐮圈，爐那么G2就是G的一奶個生樓成樹跪；（3）如斯此重愁復(fù)，乒最終陰可以注得到G的一方個生瘦成子歡圖Gk，使Gk中不堆含圈蓮，于周是Gk是G的一冶個生鉆成樹喂。11換73.尋找材生成斗樹的摔方法（1）破央圈法從圖G中任袖取一穗個圈滾，從敲圈中毯去掉離一邊封，對煌余下缸的圖詢重復(fù)足這個遣步驟牽，直嬌到不塑含圈偵為止虧，即餃得到弱一個匆生成提樹?！捌剖笕Ψㄔ佟敝杏廊サ魤牡倪呇?shù)=q(G)照–p(G)派+幼111坡8（2）避興圈法思路精：在言已給煉出的皮圖G中，尖每步匯選出算一條飄邊，脈使它劃與已右選邊屢不構(gòu)尊成圈糾，直眠到選滋購p(G)頁-醉1條邊默為止墻。下面且介紹虹兩種墨方法也。11脖9①鳥深探殿法步驟1在點東集V中任絹取一兆點v0，給v0標(biāo)號0；步驟2若某鞭點vi已標(biāo)鮮號i，則怖檢查如以vi為端碗點的駛所有仍關(guān)聯(lián)程邊（vi,v），管尋找耐這些腎關(guān)聯(lián)委邊中朋另一聞端點v未標(biāo)宅號的敏關(guān)聯(lián)依邊。12寸0步驟3若有蹲未標(biāo)膜號的拍，則寒任選低一個做未標(biāo)掘號的輛端點v，給汽以標(biāo)齊號i+1，令揉其為vi+1，檢晉查以vi+1為端寺點的厚所有鑰關(guān)聯(lián)舌邊（vi+1,v），湖尋找皂這些淘關(guān)聯(lián)麥邊中再另一就端點v未標(biāo)畜號的寇關(guān)聯(lián)找邊。12過1步驟4若無蹲未標(biāo)錢號的息，則企退到啟標(biāo)號護為i-1的點vi-1，檢賓查以vi-1為端澤點的含所有峰關(guān)聯(lián)靜邊（vi-1,v），浙尋找額這些搶關(guān)聯(lián)播邊中糊另一揭端點v未標(biāo)臉號的胞關(guān)聯(lián)孤邊。步驟5重復(fù)殃步驟2、3和4，直壇到全頭部點泥得到跌標(biāo)號損為止?fàn)睢?2百2例：01234567891011121312活3②炎廣探蠢法步驟1在點飼集V中任爪取一月點v0，給v0標(biāo)號0；步驟2令所離有標(biāo)約號為i的點衡集為Vi=納{vi}，檢運查以vi為端參點的宰所有抬關(guān)聯(lián)畢邊（vi,v），旬尋找躁這些眼關(guān)聯(lián)猛邊中有另一種端點v未標(biāo)針號的悔關(guān)聯(lián)別邊。12洲4步驟3若有品未標(biāo)高號的氣，則獻對所基有未喝標(biāo)號蹤蝶的端總點v，給偶以標(biāo)片號i+1，令股其為vi+1，檢種查以vi+1為端盤點的疼所有每關(guān)聯(lián)功邊（vi,v），輔尋找臭這些覺關(guān)聯(lián)獨邊中呀另一友端點v未標(biāo)暖號的晨關(guān)聯(lián)還邊。步驟4重復(fù)鎮(zhèn)步驟2和3，直厭到全貝部點扣得到字標(biāo)號墻為止拖。12別5例：0123213323344412義6三、堵最小立生成巧樹問矩題1.權(quán)和乓賦權(quán)跪圖的染基本魔概念（1）定剖義給圖G=崖(V，E)，對G中的貨每一間條邊[vi，vj]，相脹應(yīng)地洽給一矮個數(shù)wij，稱wij為邊[vi，vj]上的牧權(quán)，機稱這季樣的經(jīng)圖G為賦恢權(quán)圖閱。12印7（2）權(quán)宜的含朱義權(quán)是區(qū)與邊態(tài)有關(guān)轉(zhuǎn)的數(shù)精量指史標(biāo)，衰根據(jù)匙實際憲問題遞的需箱要，茂可以棋賦予焦不同鑰的含少義，崖如距滾離、際時間多、費致用等宴。12焦8（3）賦主權(quán)圖驅(qū)的意鴿義賦權(quán)說圖不下僅指慢出了賀各頂殼點之錯間的思相鄰吸關(guān)系戶，而明且也圓表示硬出了刑各點貪之間態(tài)的數(shù)蛾量關(guān)贏系，武所以要賦權(quán)悠圖被停廣泛責(zé)地應(yīng)沾用于幫解決蘋工程釋技術(shù)稱及科蓄學(xué)生置產(chǎn)管肉理等僵領(lǐng)域似的最悔優(yōu)化楊問題兼。賦權(quán)形圖在版圖論航及其奔應(yīng)用酸方面胃有著尋重要脆的地高位。最小英生成蘇樹問鍬題就惕是賦速權(quán)圖斥上的爬最優(yōu)叉化問廳題之涼一。12鏈92.最小神生成槍樹的納基本憶概念（1）生成樹的權(quán)連通圖G=(V，E)，每條邊e=[vi，vj]上有一個非負權(quán)w(e)=wij（wij≥0）。如果是G=(V，E)的一個生成樹，稱的權(quán)之和為生成樹T的權(quán)，記為w(T)，即。中所有邊13鏈0（2）最圈小生馳成樹如果翁生成村樹T*的權(quán)w(T*)是G的所有有生純成樹芒的權(quán)傅中最鵝小者句，則予稱T*是G的最阻小生凳成樹興，簡屈稱最杠小樹方。即w(T*)陪=13桑1（3）最窯小生顧成樹疼的應(yīng)駝用許多鹽網(wǎng)絡(luò)胃問題蟻都可緒以歸艦結(jié)為芳最小耳生成懶樹問攻題。如設(shè)未計長返度最頑小的粒公路逐網(wǎng)，咽把若摟干城鋸市聯(lián)州系起右來；飽設(shè)計臣用料垂最省餃的電帶話線押網(wǎng)，騎把有鄭關(guān)單譽位聯(lián)遙系起治來。13懸23.尋找撲最小品生成兄樹的修算法（1）避難圈法鼻，Kr小us丘ka口l算法思路賀：開豪始選償一條率最小垂權(quán)的全邊，醬以后腥每一獅步中猾，總左從未泰被選膽取的桶邊中懇選一畏條權(quán)猜最小巧的邊臟，并叢使之模與已推選取埋的邊沸不構(gòu)柔成圈馬。如漠果有辯兩條府或兩飾條以眾上的梳邊都埋是權(quán)液最小吼的邊石，則刮從中坐任選蠟一條柄。13往3步驟1對賦嫂權(quán)圖G=欣(V，E)中的逝所有京邊按資照權(quán)六值從艷小到暫大的廚順序沙排序披，記勒為{e1,e2,…尿,en}；步驟2令E0={常?}；步驟3從E\E0={e1,…芳,en}中選父取權(quán)拾最小直的邊e1，如養(yǎng)果e1同E0中的撤邊不名構(gòu)成傍圈，蔑令E1=作{e1}；13停4步驟4從E\E1={e2,…品,en}中選針取權(quán)褲最小顏的邊e2，如雄果e2同E1中的綱邊不儀構(gòu)成詢?nèi)?，漫令E2=依{e1,e2}；步驟5從E\Ei-1={ei,…負,en}中選括取權(quán)香最小裝的邊ei，如搖果ei同Ei-1中的騾邊不仍構(gòu)成身圈，變令Ei=烏{e1,e2,…次,ei}；13攔5步驟6從E\Ei={ei+1,…均,en}中選娛取權(quán)蔥最小派的邊ei+1，如迷果ei+1同Ei中的聯(lián)邊不塑構(gòu)成勒圈，槐令Ei+1={e1,e2,…床,ei,ei+1}；步驟7重復(fù)僅上述盟步驟端，直歸到集撞合Ei中的蜓邊數(shù)排等于p(G)種-1為止赤。13仙6例v165524v3v5v6v4v24173某工假廠內(nèi)旋聯(lián)結(jié)挪六個詳車間脊的道押路網(wǎng)結(jié)如上濟圖所頃示。笑已知靜每條塔道路揪的長壓，要乏求道繁路架而設(shè)聯(lián)兆結(jié)六口個車融間的墨電話遵線網(wǎng)箏，使嚼電話龜線的快總長兆最小追。13狠7解：（1）把憶邊按夢權(quán)值頸從小防到大鏈的順最序排沸列：[v2,v3]=噴1，[v2,v4]=粗2，[v4,v5]=連3，[v5,v6]=傾4，[v4,v6]=否4，[v3,v5]=澆5，[v1,v2]=銅5，[v1,v3]=黨6，[v2,v5]=負7，（2）E1={靈[v2,v3]}；E2={遣[v2,v3]，[v2,v4]}；E3={撇[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]}；13嶼8E4={攝[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v5,v6]}或E4={絮[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v4,v6]}；因為[v3,v5]同E4構(gòu)成蓮圈，萄所以烘只能恨選[v1,v2]，從維而可已得：E5={禽[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v5,v6]，[v1,v2]}或E5={替[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v4,v6]，[v1,v2]}。因為挺邊數(shù)趟等于5，從堅而停亭止尋境找。13糾9v165524v3v5v6v4v24173不能選，構(gòu)成圈不能投選，談構(gòu)成美圈14奸0v165524v3v5v6v4v24173不能選，構(gòu)成圈不能博選，驢構(gòu)成設(shè)圈14陜1v1524v3v5v6v4v213v152v3v5v6v4v241314射2（2）破料圈法定理鹽：圖G的生窮成樹T為最滋小樹棕，當(dāng)僚且僅度當(dāng)對召任一奶弦e來說忽，e是T+e中與指之對喬應(yīng)的廟圈中第的最快大權(quán)升邊。14要3步驟1從圖G中任矛找一她個樹T1；步驟2加上仙一條獸弦e1，T1+e1中立孝即生捎成一樹個圈接，去剖掉該撿圈中冊最大臥權(quán)的泛邊，爸得到豆新樹T2，以T2替代T1；步驟3重復(fù)挎步驟2，檢盾查剩囑余的曬弦，藥直到往全部橋弦（協(xié)共有q(G)蓄-p(G)討+窮1條弦檢）檢鄭查完鳥畢為黎止。14啟4例v165524v3v5v6v4v24173某工秩廠內(nèi)梳聯(lián)結(jié)互六個肢車間饑的道拋路網(wǎng)端如上解圖所話示。墾已知黃每條壇道路琴的長拜，要閉求道日路架濤設(shè)聯(lián)劈燕結(jié)六眠個車集間的宵電話跪線網(wǎng)叔，使滔電話貌線的傻總長揪最小估。14冬5v165524v3v5v6v4v24173解：滅（1）利側(cè)用廣尚探法延尋找隔一個裝樹：（2）弦春數(shù)=q(G)-p(G)+室1=叢9-真6+孔1=改4；弦=鼻{揀[v2,v3],榴[v2,v5],輔[v4,v5],慎[v4,v6]泡}14機6（3）加仗弦[v2,v3]，得捧圈（v2,v3,v1），姻去掉關(guān)最大艘權(quán)邊[v1,v3]；（4）加州弦[v2,v5]，得荷圈（v2,v5,v3），地去掉放最大慚權(quán)邊[v2,v5]；（5）加傘弦[v4,v5]，得燙圈（v4,v5,v3,v2），系去掉冷最大香權(quán)邊[v3,v5]；（6）加千弦[v4,v6]，得特圈（v4,v6,v5），野去掉葛最大召權(quán)邊[v4,v6]或[v5,v6]。（7）所走有弦阻檢查使完畢杠，從絮而得漢出最記小樹龍。14始7v165524v3v5v6v4v2417314選8v165524v3v5v6v4v2417314吉9例海已知芽六大石城市A、B、C、D、E、F之間難的距宋離如南下表翁所示積，求涂聯(lián)結(jié)篇六大會城市董的道伏路網(wǎng)略，使津道路回網(wǎng)的螺總長齡度最爆短。城市ABCDEFA×1351776850B13×60706759C5160×57362D777057×2055E68673620×34F505925534×15堆0解：冤利用遭避圈難法，旦將各跳城市遞之間身的距騾離按龍照從編近到膏遠的惜順序鐵排列魂，依夢次選撓擇，絕直到紡邊數(shù)工的5條?；谥?。135023420BCDEFA36邊數(shù)走已到竟達5，停秀止。15缺1四、聚根樹郊及其掀應(yīng)用1.定義（1）有燈向樹若有次一個親有向的圖在凍不考載慮邊棚的方獸向時蒜是一覽個樹舍，則尚稱這波個有忠向圖秀為有女向樹定。（2）根偷樹（幸外向念樹）有向紀(jì)樹T，恰除有一容個節(jié)促點入跌次為0，其助余各牛點入乖次均盼為1，則態(tài)稱T為根慨樹，牽又稱風(fēng)外向困樹。15削2（3）根根樹雷中，肉入次耗為0的頂敲點稱其為根水。（4）葉根樹肉中，濤出次犯為0的頂聽點稱帝為葉攜。（5）分宋枝點根樹扶中，鹽除了醒根和杏葉之癢外的蠶其他贏頂點坐稱為盒分枝緩點。（6）層裂次根樹演中，派設(shè)所制有弧碎的權(quán)伸值均秀為1，則糕由根蒸到某禍一頂將點vi的路網(wǎng)的長圓度，得稱為vi點的種層次袍。15絡(luò)3例：v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v1215閉4v1為根沈；v2、v3、v4、v8為分獨枝點論；v5、v6、v7、v9、v10、v11、v12為葉雀；v2、v3、v4的層捷次為1；v12的層蚊次為3。15肺5（7）m叉樹根樹別中，句若每廟個頂園點的賠出次籍均等釀于m或小嫂于m，稱垃這樣的的根取樹為m叉樹知。（8）完津全m叉樹根樹械中，島若每尖個頂勾點的被出次溪均等給于m或等祥于0，稱財這樣很的根舞樹為功完全m叉樹盟。15夫6例：棋下圖轟為一追個三依叉樹僑，但鵝不是油完全莫三叉散樹。v1v2v3v4v5v6v7v