第條件分布與二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量設(shè)有兩個(gè)r.vX,Y，在給定Y取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布.這個(gè)分布就是條件分布.條件分布第二講條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個(gè)條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.一、離散型r.v的條件分布列實(shí)際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).定義1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布列.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布列.作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.條件分布列是一種概率分布列，它具有概率分布列的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…例1一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為

p，(0<p<1)，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布列及條件分布列.解：依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).{X=m}表示首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了m次n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的聯(lián)合分布列為不論m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為pP(X=m,Y=n)=？為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布列是：m=1,2,…Y的邊緣分布列是：n=2,3,…于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時(shí)，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布列邊緣分布列n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時(shí)，

二、連續(xù)型r.v的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.定義2設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),邊緣概率密度為，則對一切使的x,定義已知

X=x下，Y的條件密度函數(shù)為同樣，對一切使的y,定義為已知

Y=y下，X的條件密度函數(shù).我們來解釋一下定義的含義：將上式左邊乘以dx

,右邊乘以(dxdy)/dy即得以為例換句話說，對很小的dx和

dy，表示已知

Y取值于y和y+dy之間的條件下，X取值于x和x+dx之間的條件概率.運(yùn)用盟條件廳概率命密度發(fā)，我唱們可量以在買已知棋某一領(lǐng)隨機(jī)甩變量歉值的耗條件濁下，躁定義岡與另抵一隨傘機(jī)變等量有第關(guān)的難事件檢的條財(cái)件概仙率.定義哄在已稀知Y=y下，X的條崖件分固布函所數(shù)為特別，取即:若(X,Y)是連超續(xù)型r.傷v,則對到任一集合A，求P(X>1妹|Y=y)例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解:

P(X>1|Y=y)為此,需求出由于于是死對y>0網(wǎng),故對y>0乖,P(X>1濤|Y=y)例3設(shè)(X,Y)服從偶單位罵圓上壺的均醒勻分代布，貫概率密度牲為求解：X的邊超緣密訓(xùn)度為當(dāng)|x|<睛1時(shí),有例4設(shè)r.巾vX在區(qū)控間(0帥,1虜)均勻低分布狗，當(dāng)息觀察點(diǎn)到X=否x(0寒<x<1蘇)時(shí)，r.稅vY在區(qū)果間(x,1鴉)上均找勻分醉布.求Y的概蛇率密歷度.解：依題喬意，X具有嶺概率光密度對于剃任意議給定途的值x(0津<x<1謙)，在X=委x的條根件下會，Y的條輪件概酸率密斜度為X和Y的聯(lián)諒合密浪度為于是揭得Y的概硬率密捧度為已知哈邊緣毛密度加、條件綠密度壯，求聯(lián)合圓密度隨機(jī)逆變量尿的獨(dú)跪立性鋤是概壞率論土中的分一個(gè)叼重要巴概念兩事剝件A,B獨(dú)立常的定春義是陪：若P(AB)=P(A)P(B)則稱傻事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.兩隨淘機(jī)變酸量獨(dú)浸立的負(fù)定義毀是：用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.它表距明，爬兩個(gè)r.導(dǎo)v相互獨(dú)立撐時(shí)，吉它們鞠的聯(lián)游合分布倉函數(shù)錄等于數(shù)兩個(gè)些邊緣貪分布昌函數(shù)朋的乘黃積.其中是X,Y的聯(lián)合密度，則稱X,Y相互獨(dú)立.對任意的x,y,有若(X,Y)是連結(jié)續(xù)型r.膨v，則上拐述獨(dú)膠立性移的定殺義等樂價(jià)于歷：分別是X的邊緣密度和Y的邊緣密度.若(X,Y)是離唐散型r.值v，則上旺述獨(dú)碧立性因的定殖義等貴價(jià)于衰：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即例1設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？解：x>0即：對一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立y>0若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<y<1由于雷存在漁面積幟不為0的區(qū)文域，故X和Y不獨(dú)看立.例2甲乙狐兩人紗約定開中午12時(shí)30分在色某地餡會面.如果昂甲來處到的降時(shí)間曲在12升:1士5到12混:4訓(xùn)5之間壤是均糊勻分鐮布.乙獨(dú)昌立地倡到達(dá),而且濟(jì)到達(dá)宗時(shí)間垮在12報(bào):0賽0到13序:0沃0之間前是均禍勻分毯布.試求驗(yàn)先到海的人鍋等待穴另一蛙人到客達(dá)的懇時(shí)間江不超劈燕過5分鐘拋的概繪率.又甲僚先到慘的概氏率是榆多少防？設(shè)X為甲辱到達(dá)貢時(shí)刻,Y為乙擔(dān)到達(dá)弟時(shí)刻以12時(shí)為行起點(diǎn),以分允為單總位,依題盜意,X~U(1幕5,至45亭),Y~U(0稼,6浙0)解:所求為P(|X-Y|5)及P(X<Y)解:設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻，Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先痕到的概構(gòu)率由獨(dú)蠶立性先到巡壽的人蔑等待膠另一廟人到達(dá)炸的時(shí)省間不城超過5分鐘的概溝率解一惜：P(|X-Y|5)=P(薦-5肯<X-Y<5傾)=1扶/6=1惠/2P(X<Y)解二慶：P(X<Y)=1角/6=1棋/2被積垮函數(shù)遙為常腸數(shù)，直接燥求面千積=P(X>Y)P(|X-Y|5)類似禿的問笨題如次：甲、替乙兩穩(wěn)船同軌日欲責(zé)靠同丟一碼陡頭，陰設(shè)兩桿船各診自獨(dú)簡立地脆到達(dá)飽，并賢且每向艘船換在一抱晝夜代間到趁達(dá)是雪等可鄰能的.若甲陰船需質(zhì)停泊1小時(shí)蹄，乙漫船需仰停泊2小時(shí)吹，而拳該碼棍頭只櫻能停是泊一洋艘船鍛，試欲求其毒中一阻艘船侮要等籠待碼葵頭空捆出的鄙概率.在某逃一分逝鐘的末任何氏時(shí)刻特，信艦號進(jìn)色入收忠音機(jī)獅是等匪可能毫的.若收肌到兩掉個(gè)互練相獨(dú)框立的懷這種晚信號諒的時(shí)諒間間遼隔小詞于0.切5秒，蠟則信軍號將說產(chǎn)生蹦互相詢干擾.求發(fā)禾生兩畝信號恰互相墨干擾爪的概今率.把長壓度為a的線增段在側(cè)任意獲兩點(diǎn)捐折斷行成為粘三線牌段，拘求它青們可豈以構(gòu)侵成三守角形桂的概揚(yáng)率.長度為a我們蹄已經(jīng)糖知道轉(zhuǎn)，設(shè)(X,Y)是連續(xù)型r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.由條晶件密林度的房誠定義椅：可知齡，當(dāng)X與Y相互誤獨(dú)立促時(shí)，也可楚用此憐條件姜判別呢二維嗽連續(xù)縣型r.釀v(X,Y)的兩潑個(gè)分這量X與Y是否規(guī)相互卸獨(dú)立.對離址散型r.漠