數(shù)形結(jié)合思想的含義 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老

數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老/NUMPAGES8數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石，所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的：每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常常可以通過(guò)圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問(wèn)題利用形來(lái)觀察，提示其幾何意義；而形的問(wèn)題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決的方法。正恩格斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò):"數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。"在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中包含著兩大研究對(duì)象,即"數(shù)"與"形",這兩大研究對(duì)象既是對(duì)立的又是統(tǒng)一的,它們是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素?？v觀數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展長(zhǎng)河中,數(shù)形結(jié)合始終是發(fā)展的一條主線,并且數(shù)與形相結(jié)合能夠讓學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)知識(shí)的運(yùn)用更加廣泛和深入。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要特別重視將數(shù)形結(jié)合的思想滲透到教學(xué)環(huán)節(jié)中,以此來(lái)讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的偉大力量,促進(jìn)學(xué)生生成數(shù)形結(jié)合的思想,讓學(xué)生在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中受益1.數(shù)形結(jié)合思想的涵義“數(shù)”早期是古代的計(jì)數(shù)，現(xiàn)在表示數(shù)量的概念；“形”早期是古代的形狀，現(xiàn)在表示空間的概念。家歐幾里得用自己畢生精力完成《幾何原本》這一千古流芳的巨著，這是體現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的文字資料。柏拉圖說(shuō)過(guò)，只有數(shù)學(xué)存在的實(shí)體才具備永恒的可理解性，任何科學(xué)都只有建立在幾何學(xué)帶來(lái)的概念和模式上，才可以解釋現(xiàn)象表面背后的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。教育家波利亞也曾說(shuō)：“畫一個(gè)圖，并用符號(hào)表示”。數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，借助圖形來(lái)研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)等等。2.數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展數(shù)軸的建立使人們對(duì)數(shù)與形的統(tǒng)一有了跳躍式的認(rèn)識(shí)，把實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的點(diǎn)集一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，數(shù)可以視為點(diǎn)，點(diǎn)也可以視為數(shù)，點(diǎn)在直線上的位置可以數(shù)量化，而數(shù)的運(yùn)算，也可以幾何化。在此基礎(chǔ)上，笛卡爾又把數(shù)軸拓展到了直角坐標(biāo)系。在高中數(shù)學(xué)中幾乎所有圖形都是建立在直角坐標(biāo)系中，奠基人笛卡兒的主要數(shù)學(xué)成果都集中在他的“幾何學(xué)”中。當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)，他覺(jué)得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進(jìn)智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。其核心內(nèi)容是：把幾何學(xué)的問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)形式的問(wèn)題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問(wèn)題的目的。依照這種數(shù)學(xué)思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在的“解析幾何學(xué)”。把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系進(jìn)行作圖?！皵?shù)形結(jié)合”一詞的正式出現(xiàn)與中國(guó)數(shù)學(xué)界的傳奇人物華羅庚先生息息相關(guān)。華老于1964年1月撰寫了《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題》這一科普小冊(cè)子，書中有一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離!”[1]。正因?yàn)槿A老在中國(guó)數(shù)學(xué)界的影響力，“數(shù)形結(jié)合”一詞推出后不久，立即獲得了數(shù)學(xué)界的普遍認(rèn)同，幾乎所有的數(shù)學(xué)教育教學(xué)刊物都出現(xiàn)了此詞。3.數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式；(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題；(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題；(7)構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等．常見(jiàn)適用數(shù)形結(jié)合的兩個(gè)著力點(diǎn)是：以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法。以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解．這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來(lái)思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過(guò)對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷解數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法(以形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問(wèn)題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，使問(wèn)題得以解決。數(shù)形結(jié)合思想常見(jiàn)的四種類型1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸:實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此借助數(shù)軸觀察數(shù)的特點(diǎn),直觀明了。2.在解方程(組)或不等式(組)中的應(yīng)用:利用函數(shù)圖象解決方程問(wèn)題時(shí),常把方程根的問(wèn)題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決;利用數(shù)軸或函數(shù)圖象解有關(guān)不等式(組)的問(wèn)題直觀,形象,易于找出不等式(組)解的公共部分或判斷不等式組有無(wú)公共解。3.在函數(shù)中的應(yīng)用:借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法,函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。4.在幾何中的應(yīng)用:對(duì)于幾何問(wèn)題,我們常通過(guò)圖形,找出邊、角的數(shù)量關(guān)系,通過(guò)邊、角的數(shù)量關(guān)系,得出圖形的性質(zhì)等。典型例題：解題反思：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，難點(diǎn)在于（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形和三角形的中位線．?dāng)?shù)形結(jié)合思想利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決途徑，或用數(shù)量關(guān)系研究幾何