第07講指數(shù)與對(duì)數(shù)（解析版）

第07講指數(shù)與對(duì)數(shù)【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：指數(shù)1．n次實(shí)數(shù)方根如果一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足xn＝a，那么稱(chēng)x為a的n次實(shí)數(shù)方根，其中n＞1且n∈N*.2．n次實(shí)數(shù)方根的性質(zhì)(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次實(shí)數(shù)方根只有一個(gè)，用符號(hào)eq\r(n,a)表示．(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次實(shí)數(shù)方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這時(shí)，正數(shù)a的正的n次實(shí)數(shù)方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示，負(fù)n次實(shí)數(shù)方根用符號(hào)－eq\r(n,a)表示．它們可合并寫(xiě)成±eq\r(n,a)(a＞0)．(3)0的n次實(shí)數(shù)方根等于0，記作eq\r(n,0)＝0.3．根式的定義式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．4．兩個(gè)等式(1)n∈N*，n≥2，(eq\r(n,a))n＝a.(2)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.5．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義一般地，我們規(guī)定＝eq\r(n,am)(a>0，m，n均為正整數(shù))；＝(a>0，m，n均為正整數(shù)).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．6．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)as·at＝as＋t，(2)(as)t＝ast，(3)(ab)t＝atbt.其中a，b，s，t的取值范圍是a＞0，b＞0，s，t∈Q.知識(shí)點(diǎn)二：對(duì)數(shù)1．對(duì)數(shù)的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么就稱(chēng)b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為常用對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記為lg_N.在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以e為底的對(duì)數(shù)，這種對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)(其中e＝2.71828…是一個(gè)無(wú)理數(shù))，正數(shù)N的自然對(duì)數(shù)logeN一般簡(jiǎn)記為ln_N.3．對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系若a＞0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)，即真數(shù)N＞0.(2)底的對(duì)數(shù)為1,1的對(duì)數(shù)為0，即logaa＝1，loga1＝0(a＞0且a≠1)．知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)數(shù)運(yùn)算1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0且a≠1，M＞0，N>0，n∈R，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM.2．換底公式：若a＞0且a≠1，N＞0，c＞0且c≠1，則logaN＝eq\f(logcN,logca).【典型例題】考點(diǎn)一：根式的運(yùn)算的值是（

） B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.【詳解】．故選：A化簡(jiǎn)(其中，)的結(jié)果是（

） B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再借助冪的運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】因，，所以.故選：C有下列四個(gè)式子：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用公式進(jìn)行求解.【詳解】①正確；②，②錯(cuò)誤；③，③錯(cuò)誤；④，若，則，若，則，故④錯(cuò)誤．故選：A若，則________.【答案】【解析】【分析】由題意列方程組，求解，然后代入計(jì)算即可得答案.【詳解】∵，，且，∴，∴故答案為：若有意義，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根式、冪的定義判斷．【詳解】由題意可知，且，∴a的取值范圍是且．故選：B．若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將分式指數(shù)冪化為根式，結(jié)合根式的性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.化簡(jiǎn)下列各式（，，，）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或；（7）或；（8）.【解析】【分析】（1）（2）（3）用同底數(shù)冪相乘的法則計(jì)算；（4）（5）用冪的乘法的法則計(jì)算；（6）（7）用積的乘方的法則計(jì)算；（8）用積的乘方與同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算.【詳解】（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，，，，，..又，，，.故選：D考點(diǎn)二：條件求值問(wèn)題已知（），則的值等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)其（）兩邊平方，可知，又，即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由（），得，因?yàn)?，故．又，且，所以．于是．故選:D.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以，由，又因?yàn)椋?，所以．故答案為?若，，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】由求出，結(jié)合指數(shù)冪公式可分別求出，進(jìn)而得解.【詳解】由，，得，，，．故．故選：C考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)的概念在N＝log(5－b)(b－2)中，實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．b<2或b>5 B．2<b<5C．4<b<5 D．2<b<5且b≠4答案D解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－2>0，,5－b>0，,5－b≠1，))∴2<b<5且b≠4.考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用①；②；③若，則；④若，則．其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于①，，故①正確；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，若，則，故③不正確；對(duì)于④，若，則，故④不正確．故選：C.若，則x的值等于（

）A．10 B．13 C．100 D．【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得，即可求的值.【詳解】由，得，所以．故選：B若，則x=___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】解：，解得：故答案為：考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化已知，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】【分析】指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D考點(diǎn)六：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用計(jì)算___________【答案】##0.5【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化計(jì)算作答【詳解】.故答案為：已知.（1）求lg45的值；（2）求的值．【答案】（1）1.6532；（2）0.8266.【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算算出答案即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算算出答案即可.【詳解】（1）lg45＝＝lg90－lg2＝1＋2lg3－lg2≈1＋2×0.4771－0.3010＝1.6532.（2）lg＝lg45=×1.6532＝0.8266.不用計(jì)算器，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）2；（2）1；（3）1.【解析】【分析】（1）根據(jù)換底公式的應(yīng)用求值即可；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（3）提出，根據(jù)可得解.【詳解】（1）；（2）；（3）；考點(diǎn)七：換底公式的應(yīng)用若3x＝4y＝36，則＝________.【答案】1【解析】【分析】先求出＝log63，＝log62，再求的值.【詳解】3x＝4y＝36，兩邊取以6為底的對(duì)數(shù)，得xlog63＝y(tǒng)log64＝2，∴＝log63，＝log64，即＝log62，故＝log63＋log62＝.故答案為：1已知，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的公式表示出，再利用換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋?，由換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得.故選：C若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的性質(zhì)分別表示出，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】由已知，得，得，，，所以，，，而，所以，即，故選：A.設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】利用與對(duì)數(shù)定義求出，，，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)變形即可得到.【詳解】由于，，都是正數(shù)，故可設(shè)，，，，則，，.，，即，去分母整理得，.故選AD.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】由換底公式得：，，其中，，故故選：C已知，，，則______【答案】【解析】由，，得：，，，，所以故答案為：考點(diǎn)八：文化素養(yǎng)農(nóng)業(yè)農(nóng)村部于年月日發(fā)布信息：全國(guó)按照主動(dòng)預(yù)防、內(nèi)外結(jié)合、分類(lèi)施策、有效處置的總體要求，全面排查蝗災(zāi)隱患．為了做好蝗蟲(chóng)防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專(zhuān)家假設(shè)蝗蟲(chóng)的日增長(zhǎng)率為，最初有只，則大約經(jīng)過(guò)（

）天能達(dá)到最初的倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，．）A． B． C． D．【答案】A由題意可知，蝗蟲(chóng)最初有只且日增長(zhǎng)率為，設(shè)經(jīng)過(guò)天后蝗蟲(chóng)數(shù)量達(dá)到原來(lái)的倍，則，，，,大約經(jīng)過(guò)天能達(dá)到最初的倍．故選：A在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093【答案】D【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，兩邊取對(duì)數(shù)，，所以，即最接近，故選D.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信