湘教版選擇性必修第一冊1.2.1-1.2.2等差數(shù)列及其通項公式等差數(shù)列與一次函數(shù)課件（25張）

1.2等差數(shù)列等差數(shù)列及其通項公式等差數(shù)列與一次函數(shù)知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪知識探究1.等差數(shù)列及其通項公式(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第

項起,每一項與它的

之差都等于

,那么這個數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個

叫作等差數(shù)列的公差,公差通常用字母

表示.前一項2同一個常數(shù)常數(shù)d等差數(shù)列(3)等差數(shù)列的通項公式是用

推導(dǎo)的,以a1為首項,d為公差的等差數(shù)列{an}的通項公式為an=

.累加法a1+(n-1)d(4)等差數(shù)列的性質(zhì).(n-m)d兩項關(guān)系an=am+

(n,m∈N+)多項關(guān)系若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則

.am+an=ap+aq[思考]在等差數(shù)列{an}中,a1+an與a2+an-1,a3+an-2有什么關(guān)系?提示:a1+an=a2+an-1=a3+an-2.2.等差數(shù)列與一次函數(shù)(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.對于一般的等差數(shù)列{an},其通項公式為an=a1+(n-1)d,將其中的正整數(shù)自變量n換成實數(shù)自變量x,得到y(tǒng)=a1+(x-1)d=dx+(a1-d),當(dāng)d≠0時,是一次函數(shù)(其中一次項系數(shù)為等差數(shù)列的公差d);當(dāng)d=0時,y=a1(a1為常數(shù)),這兩種情形的函數(shù)圖象都是直線.等差數(shù)列的圖象由這條直線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)n的孤立點(diǎn)(n,an)組成.(2)等差數(shù)列的單調(diào)性.當(dāng)d>0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右上升,等差數(shù)列{an}遞增;當(dāng)d<0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右下降,等差數(shù)列{an}遞減;當(dāng)d=0時,y=a1為水平方向的直線,數(shù)列為常數(shù)列.小試身手1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”).√(1)數(shù)列4,4,4,…是等差數(shù)列.(

)(2)若一個數(shù)列的前4項分別為1,2,3,4,則{an}(n>4)一定是等差數(shù)列.(

)(3)等差數(shù)列{an}中,a1,n,d,an任給三個,可求另一個.(

)(4)等差數(shù)列{an}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù).(

)×√×A2.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=2,公差d=3,則數(shù)列{an}的通項公式為(

)A.an=3n-1 B.an=2n+1C.an=2n+3 D.an=3n+23.若x+1與y-1的等差中項為5,則x+y等于(

)A.5B.10C.20D.不確定B4.在等差數(shù)列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,則3a9-a13=

.

40課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一等差數(shù)列的判定[例1]已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,在數(shù)列{bn}中,bn=3an+4,試判斷{bn}是不是等差數(shù)列.解:法一由題意可知an=a1+(n-1)d(a1,d為常數(shù)),則bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4=3dn+3a1-3d+4.由于bn是關(guān)于n的一次函數(shù)(或常函數(shù),當(dāng)d=0時),故{bn}是等差數(shù)列.法二根據(jù)題意,知bn+1=3an+1+4,則bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-an)=3d(常數(shù)).由等差數(shù)列的定義知,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.方法總結(jié)等差數(shù)列的判定方法(1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N+)?{an}為等差數(shù)列.(2)通項公式法:an=An+B(A,B是常數(shù),n∈N+)?{an}為等差數(shù)列.[變式訓(xùn)練1]數(shù)列{an}的通項公式為an=4-3n,則此數(shù)列(

)A.是公差為4的等差數(shù)列B.是公差為3的等差數(shù)列C.是公差為-3的等差數(shù)列D.是首項為4的等差數(shù)列解析:因為an+1-an=4-3(n+1)-(4-3n)=-3,a1=1,所以{an}是首項為1,公差為-3的等差數(shù)列.故選C.探究點(diǎn)二等差中項[例2]在-1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,c,使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.方法總結(jié)[變式訓(xùn)練2]已知三個數(shù)成等差數(shù)列,且是遞增數(shù)列,它們的和為18,平方和為116,求這三個數(shù).探究點(diǎn)三等差數(shù)列的通項公式[例3](1)(2021·陜西洛南中學(xué)高二第一次月考)在等差數(shù)列{an}中,已知a1+a2=2,a2+a3=10,求通項公式an.(2)若{an}為等差數(shù)列,a2=12,an=-20,d=-2,求n.解:(2)a1=a2-d=12+2=14,所以an=14+(n-1)×(-2)=-20,所以n=18.方法總結(jié)(2)若已知等差數(shù)列中的任意兩項am,an,求通項公式或其他項時,則運(yùn)用an=am+(n-m)d較為簡捷.[變式訓(xùn)練3]在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a1=6,d=3,求a8;解:(1)因為a1=6,d=3,所以an=6+3(n-1)=3n+3.所以a8=3×8+3=27.(2)已知a4=10,a10=4,求a7和d;[變式訓(xùn)練3]在等差數(shù)列{an}中:[例4]若數(shù)列{an}的通項公式為an=kn+b(k,b為常數(shù)),則該數(shù)列是等差數(shù)列嗎?探究點(diǎn)四等差數(shù)列與一次函數(shù)解:是.因為an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=k(常數(shù)),故{an}是等差數(shù)列.方法總結(jié)等差數(shù)列{an}的通項公式為an=kn+b(k,b為常數(shù)),則等差數(shù)列的公差等于函數(shù)y=kn+b中的k.[變式訓(xùn)練4]已知(1,1),(3,5)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點(diǎn),則an=

.

2n-1課堂達(dá)標(biāo)A1.已知數(shù)列{an}中,an-an-1=2(n≥2),且a1=1,則這個數(shù)列的通項公式為(

)A.an=2n-1 B.an=2n+1C.an=n-1 D.an=n+1解析:由題意知{an}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.故選A.C2.已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3-2n(n∈N+),則它的公差d為(

)A.2 B.3C.-2 D.-3解析:d=an+1-an=3-2(n+1)-(3-2n)=-2.故選C.3.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a2+a5=3a3,且a4與2a7的等差中項為6,則a5等于(

)A.0