高中數(shù)學：分類討論思想轉化與化歸思想

第2講分類討論思想、轉化與化歸思想1．分類討論思想 分類討論的思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度．分類討論的常見類型：(1)由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．(2)由性質、定理、公式的限制引起的分類討論：有的定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性等．(3)由數(shù)學運算和字母參數(shù)變化引起分類；如偶次方根非負，對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制，方程(不等式)的運算與根的大小比較，含參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同等．(4)由圖形的不確定性引起的分類：有的圖形的形狀、位置關系需討論，如二次函數(shù)圖象的開口方向，點、線、面的位置關系，曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型等．分類討論思想，在近年高考試題中頻繁出現(xiàn)，涉及各種題型，已成為高考的熱點，考查的重點是含參數(shù)函數(shù)性質、不等式(方程)問題，與等比數(shù)列的前n項和有關的計算推理，點、線、面的位置以及直線與圓錐曲線的位置關系不定問題等．2．轉化與化歸思想 化歸與轉化是指在處理問題時，把待解決或難解決的問題通過某種方式轉化為一類已解決或比較容易解決的問題的一種思想方法，它是研究和解決數(shù)學問題的核心思想，化歸與轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性．在應用化歸與轉化的思想方法去解決數(shù)學問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進行轉換．在實際解題過程中，實施化歸與轉化時，我們要遵循以下五項基本原則：(1)化繁為簡的原則；(2)化生為熟的原則；(3)等價性原則；(4)正難則反原則；(5)形象具體化原則．歷年高考中，化歸與轉化思想無處不在，我們要不斷培養(yǎng)和訓練自覺的轉化意識，將有利于提高解決數(shù)學問題的應變能力，提高思維能力和技能、技巧.

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(1)分段函數(shù)在自變量不同取值范圍內，對應關系不同，必需進行討論．由數(shù)學定義引發(fā)的分類討論一般由概念內涵所決定，解決這類問題要求熟練掌握并理解概念的內涵與外延．(2)在數(shù)學運算中，有時需對不同的情況作出解釋，就需要進行討論，如解二次不等式涉及到兩根的大小等．探究提高

(1)本題中直角頂點的位置不定，影響邊長關系，需按直角頂點不同的位置進行討論．(2)涉及幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進行分類討論．[微題型3]

由定理、性質、公式等引起的分類討論【例1－3】

已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.探究穿提高(1舞)利用迅等比邀數(shù)列墳的前n項和臺公式名時，促需要巴分公志比q＝1和q≠1兩種咸情況疤進行吳討論朽，這柄是由奸等比生數(shù)列皂的前n項和核公式檔決定洞的．銳一般鍵地，帥在應病用帶南有限撞制條右件的虜公式湖時要胃小心扒，根薪據(jù)題射目條征件確萌定是結否進順行分泥類討業(yè)論．(2索)由性盯質、起定理營、公姜式等饞引起羽的討躺論，蓬主要怨是應亮用的殲范圍障受限彼時，丟存在垮多種癢可能歸性．[微題攝型4]由字恨母參凝數(shù)引繡起的癥分類趙討論【例1－4】已知擊函數(shù)f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(1勉)求f(x)的單叫調區(qū)披間與般極值侍；(2喉)若函笨數(shù)f(x)在區(qū)菊間(1，＋∞)上單南調遞素減，狼求實爆數(shù)a的取承值范冶圍．探究滔提高一般竿地，滋遇到英題目巧中含舅有參沾數(shù)的宜問題胡，常餡常結趙合參篩數(shù)的迷意義送及對京結果捆的影付響進內行分銷類討色論，瞇此種炊題目曾為含搬參型狹，應泄全面警分析貼參數(shù)廢變化皮引起黎結論硬的變雹化情鴿況，瘦參數(shù)歡有幾瓜何意折義時黨還要民考慮杜適當熄地運孫用數(shù)網(wǎng)形結舊合思宣想，哨分類跳要做紋到分稅類標補準明青確，爺不重艙不漏抵．【訓練1】(2虹01仿4·洛陽淋統(tǒng)一冒考試)已知衰圓心瞎為F1的圓氏的方植程為(x＋2)2＋y2＝32，F(xiàn)2(2犬,0內)，C是圓F1上的捎動點章，F(xiàn)2C的垂良直平揭分線感交F1C于M.(1鑼)求動景點M的軌鈔跡方懷程；(2匙)設N(0忠,2憂)，過懼點P(－1，－2)作直波線l，交M的軌艇跡于馳不同互于N的A，B兩點厭，直鴉線NA，NB的斜跡率分努別為k1，k2，證蔑明：k1＋k2為定吃值．答案3規(guī)律堂方法用特廟殊化勝法實介現(xiàn)化兇歸與欄轉化再是在矮解決農(nóng)問題賀過程裙中將攝某些折一般抗問題桐進行握特殊?；幚侠淼奶舴椒ㄥN．常效用的男特例猾有特凳殊數(shù)僻值、跡特殊悶數(shù)列死、特括殊函鞋數(shù)、劃特殊男圖形伯、特湖殊角第、特睡殊位其置等暈．對采于選闖擇題驚，當捏題設蔬在普前通條紛件下抓都成飼立時鉆，用寺特殊風值進睛行探上求，捷可快匠捷地盡得到氧答案繭；對竊于填迷空題維，當?shù)痔羁战宇}的腐結論方唯一駁或題桃設條叉件提儉供的轉信息利暗示名答案猶是一漫個定菜值時紙，可職以把偷題中將變化脫的量捎用特靜殊值自代替失，即起可得熊到答棟案．[微題哨型2]換元芝轉化塘問題【例2－2】已知船函數(shù)f(x)＝ax3＋bsi洞nx＋4(a，b∈R)，f(l瓣g(叢lo迷g210季))＝5，則f(l眼g(塘lg鐵2到))＝()．A．－5騎B.－1C．3土D.咐4答案C規(guī)律決方法復雜黑的數(shù)常學問餡題常借用換丟元法玩實現(xiàn)查化歸慶與轉覺化，顫運用“換元”把式梢子轉幟化為錢有理風式或苗使整釀式降揮冪等漆，或保者把篇較復巴雜的競函數(shù)餡、方吼程、希不等培式問銷題轉懷化為庭易于標解決奇的基擦本問毛題．[微題寫型3]常量鹽與變宮量的籃轉化【例2－3】對于脹滿足0≤p≤4的所沸有實錦數(shù)p，使棋不等喪式x2＋px＞4x＋p－3成立靜的x的取盆值范獨圍是__物__拔__剪__．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究造提高在處疲理多扇變元刊的數(shù)爸學問托題時季，我沒們可滿以選柳取其顯中的挽常數(shù)(或參呆數(shù))，將愧其看起做是“主元”，而自把其體它變推元看湯做是濤常量亦，從艦而達翼到減號少變益元簡妙化運蕩算的耗目的歇．解析g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)六間(t,3)上總沿為單波調函盆數(shù)，輔則①g′(x)≥0在(t,3)上恒訴成立彎，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒獎成立拘．規(guī)律針方法否定溝性命漏題，溫常要套利用全正反遙的相拍互轉披化，產(chǎn)先從掉正面睜求解閘，再徑取正爭面答沫案的洲補集勇即可堵，一鄭般地詢，題應目若伸出現(xiàn)遲多種遇成立調的情獲形，崗則不明成立哄的情怖形相核對很丘少，飛從反權面考適慮較堵簡單獵，因賴此，沃間接套法多傳用于纖含有“至多”、“至少”及否題定性偶命題瘡情形廁的問下題中賊．證明(1慈)連接A1B，設A1B與AB1交于E，連涼接DE.∵點D是BC中點躁，點E是A1B中點水，∴DE∥A1C，又∵A1C?平面AB1D，DE?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2齊)∵△AB忍C是正柴三角此形，配點D是BC的中涼點，∴AD⊥BC.∵平面AB榮C⊥平面B1BC暮C1，平面AB幕C∩平面B1BC余C1＝BC，AD?平面AB閑C，∴AD⊥平面B1BC阿C1，∵BC1?平面B1BC予C1，∴AD⊥BC1.1．分劑類討訪論思罪想的細本質莊是“化整拋為零俘，積紡零為櫻整”．用分碗類討迅論的喂思維銅策略坑解數(shù)姓學問墾題的鄰操作度過程歌：明訂確討雨論的反對象著和動臭機→確定推分類蔬的標山準→逐類匪進行鉤討論→歸納健綜合罷結論→檢驗料分類涂是否飽完備(即分籌類對倚象彼暮此交憤集為餓空集貢，并炒集為草全集)．做榜到“確定桿對象曠的全纖體，輸明確街分類陡的標鋸準，信分類蛇不重迅復、討不遺平漏”的分搜析討叢論．(4秤)三角藥函數(shù)此：角征的象貢限及轉函數(shù)捆值范宋圍的團討論饞．(5掘)不等慘式：店解不遣等式糧時含謊參數(shù)優(yōu)的討作論，斧基本斃不等妨式相幼等條雹件是君否滿帆足的省討論威．(6甘)立體嚴幾何蠟：點充線面顫及圖厚形位鄙置關泄系的煙不確尚定性解引起研的討輸論；非平面邀解析恢幾何析：直會線點爬斜式擋中k存在湊和不端存在泊，直悉線截莫距式請中b＝0和b≠0的討吩論；目軌跡斥方程盡中含岡參數(shù)羅時曲刊線類錢型及叼形狀散的討鴉論．(7揚)去絕蹲對值吊時的箏討論偉及分魔段函目數(shù)的鵝討論水等．(4腎)等價安轉化憂法：鳴把原尼問題較轉化萍為一唇個易陣于解創(chuàng)決的且等價施命題塵，達凳到化幣歸的