空間向量解決立體幾何問題演示文稿

空間向量解決立體幾何問題演示文稿目前一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點（優(yōu)選）空間向量解決立體幾何問題目前二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點利用空間向量解決立體幾何問題，是利用平面向量解決平面幾何問題的發(fā)展。主要變化是維數(shù)增加了，討論的對象由二維圖形變?yōu)槿S圖形。為了用空間向量解決立體幾何問題，首先必須把點、直線、平面的位置用向量表示出來。目前三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點直線的方向向量和法向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量。如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是：zxyAB1.直線的方向向量目前四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點αn直線的方向向量和法向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.目前五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點利用空間向量決定點、直線和平面在空間中的位置1、如何確定一個點在空間的位置？OP2、如何確定一條直線在空間的位置？3、如何確定一個平面在空間的位置？O目前六頁\總數(shù)四十一頁\編于五點因為方向向量與法向量可以確定直線和平面向量，所以我們可以利用直線的方向向量和平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系。目前七頁\總數(shù)四十一頁\編于五點知識點設(shè)直線的方向向量為分別為，平面的法向量分別為目前八頁\總數(shù)四十一頁\編于五點習(xí)題講解1、設(shè)分別是直線的方向向量，根據(jù)下列條件判斷直線的位置關(guān)系。目前九頁\總數(shù)四十一頁\編于五點習(xí)題講解2、設(shè)分別是平面的法向量，根據(jù)下列條件判斷平面的位置關(guān)系。目前十頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例題講解定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。已知：直線和平面，其中，相交，，求證：目前十一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一個法向量。習(xí)題講解依題意得：解：設(shè)平面ABC的一個法向量，令，則所以，平面ABC的一個法向量為1目前十二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).求平面的法向量的坐標(biāo)的步驟目前十三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點2、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy習(xí)題講解目前十四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖）,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).2、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.習(xí)題講解AAABCDOA1B1C1D1zxy目前十五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖）,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).目前十六頁\總數(shù)四十一頁\編于五點二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥babab目前十七頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD目前十八頁\總數(shù)四十一頁\編于五點證明：設(shè)a,b,c,依題意有|a|=|b|，于是a–b∵=c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BD

目前十九頁\總數(shù)四十一頁\編于五點(2)直線與平面的位置關(guān)系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且Lα.①若a∥n,即a

=λn,則L⊥α②若a⊥n,即a·n=0,則a∥α.naααnaLL目前二十頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy目前二十一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(I)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(II),而

n=-2+0+2=0AB1

∥平面DBC1目前二十二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點(3)平面與平面的位置關(guān)系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2

n1n1n2

n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2=0,則α⊥ββαβα目前二十三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:面AED⊥面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1目前二十四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,則E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),于是設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得解之得取z=2得n1=(-1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD目前二十五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了.目前二十六頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BC

AMxzyB1C1D1A1CD目前二十七頁\總數(shù)四十一頁\編于五點解:以A為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)正方體的棱長為2,則M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),于是,

∴cos<，>=.目前二十八頁\總數(shù)四十一頁\編于五點(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=-<a,n>或θ=<a,n>-(下圖).

naa

于是,因此θθnαα目前二十九頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO目前三十頁\總數(shù)四十一頁\編于五點解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)由得，解得，取y=,得n=(3,,0)而∴∴目前三十一頁\總數(shù)四十一頁\編于五點（3）二面角設(shè)n1、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號時相等）或互補（選取法向量豎坐標(biāo)z異號時互補），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n1n2n2目前三十二頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的余弦值.BCzxyABCDS目前三十三頁\總數(shù)四十一頁\編于五點解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.設(shè)平面SCD的法向量n1=(x,y,z),則由得n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小θ滿足

∴二面角A-SD-C的余弦值為.目前三十四頁\總數(shù)四十一頁\編于五點3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,

這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB目前三十五頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1目前三十六頁\總數(shù)四十一頁\編于五點解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).

∵,∴異面直線AC1與BD間的距離目前三十七頁\總數(shù)四十一頁\編于五點(2)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.nABHαθ目前三十八頁\總數(shù)四十一頁\編于五點例