高中數(shù)學人教B版1-1學案：3.3.2 第2課時　利用導數(shù)研究函數(shù)的最值

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時利用導數(shù)研究函數(shù)的最值[學習目標］1.能夠區(qū)分極值與最值兩個不同的概念。2。會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．[知識鏈接]極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)，但是我們往往更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值最大,哪個值最小，函數(shù)的極值與最值有怎樣的關(guān)系？答：函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個,但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值,非常數(shù)函數(shù)的最值只要不在端點處取得必定是極值，在開區(qū)間（a,b)上若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)最值．[預習導引]1．函數(shù)f(x）在閉區(qū)間[a,b］上的最值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則該函數(shù)在［a,b]上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在端點處或極值點處取得．2．求函數(shù)y＝f（x)在[a，b］上的最值的步驟(1）求函數(shù)y＝f（x）在（a,b)內(nèi)的極值;（2）將函數(shù)y＝f（x）的各極值與端點處的函數(shù)值f(a）,f（b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．3．函數(shù)在開區(qū)間(a，b）的最值在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值;若函數(shù)f（x)在開區(qū)間I上只有一個極值,且是極大(?。┲担瑒t這個極大（?。┲稻褪呛瘮?shù)f(x)在區(qū)間I上的最大(小)值．4．極值與最值的意義(1)最值是在區(qū)間［a,b]上的所有函數(shù)值相比較最大(小）的值；(2）極值是在區(qū)間(a，b）上的某一個x0附近相比較最大（?。┑暮瘮?shù)值.要點一求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例1求下列各函數(shù)的最值：（1）f（x）＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4］；(2）f(x）＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1］．解(1)f′（x)＝6x2－12x＝6x(x－2）,令f′(x）＝0,得x＝0或x＝2當x變化時，f′(x），f(x）的變化情況如下表x－2（－2，0）0(0，2)2（2，4）4f′(x)＋0－0＋f(x）－37↗極大值3↘極小值－5↗35∴當x＝4時，f（x)取最大值35.當x＝－2時，f（x)取最小值－37.(2）f′（x)＝3x2－6x＋6＝3（x2－2x＋2)＝3(x－1）2＋3，∵f′（x）在［－1,1]內(nèi)恒大于0，∴f（x）在［－1,1]上為增函數(shù)．故x＝－1時，f（x)最小值＝－12;x＝1時，f(x）最大值＝2.即f（x）的最小值為－12，最大值為2.規(guī)律方法(1）求函數(shù)的最值,顯然求極值是關(guān)鍵的一環(huán)．但僅僅是求最值，可用下面簡化的方法求得．①求出導數(shù)為零的點．②比較這些點與端點處函數(shù)值的大小，就可求出函數(shù)的最大值和最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間［a，b]上連續(xù)且單調(diào),則最大、最小值在端點處取得．跟蹤演練1求下列函數(shù)的最值：(1)f(x）＝eq\f(1,3）x3－4x＋4,x∈[0,3］;（2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈［2，5]．解(1）∵f(x)＝eq\f（1，3)x3－4x＋4,∴f′（x）＝x2－4.令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2.∵f(2）＝－eq\f(4,3），f(0）＝4,f(3)＝1，∴函數(shù)f（x)在［0,3］上的最大值為4，最小值為－eq\f（4，3).(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x）＝3ex－（exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex（x＋3）(x－1),∵在區(qū)間［2，5］上，f′（x）＝－ex(x＋3）(x－1）〈0，即函數(shù)f（x)在區(qū)間[2,5］上單調(diào)遞減，∴x＝2時，函數(shù)f(x)取得最大值f(2）＝－e2;x＝5時，函數(shù)f（x)取得最小值f（5)＝－22e5。要點二含參數(shù)的函數(shù)最值問題例2已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x）＝x2(x－a),求f（x）在區(qū)間[0，2］上的最大值．解∵f（x)＝x2（x－a）,∴f′(x)＝x(3x－2a)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝eq\f（2a，3)。當eq\f(2a,3)≤0，即a≤0時,f(x）在［0，2］上單調(diào)遞增，從而f(x）max＝f（2）＝8－4a。當eq\f(2a,3）≥2，即a≥3時,f(x)在［0，2］上單調(diào)遞減，從而f（x）max＝f（0)＝0。當0<eq\f（2a,3)〈2，即0〈a<3時，f(x)在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(2a，3))）上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a，3)，2））上單調(diào)遞增,從而f(x）max＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(8－4a0<a≤2，，02<a<3,))綜上所述，f(x）max＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a〉2.））規(guī)律方法由于參數(shù)的取值不同會導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性變化，從而導致最值變化．所以解決這類問題常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進行求解．跟蹤演練2在本例中，將區(qū)間[0，2］改為[－1,0］結(jié)果如何?解令f′(x）＝0,解得x1＝0，x2＝eq\f(2，3）a，當eq\f(2，3）a≥0,即a≥0時，f（x）在［－1，0］上單調(diào)遞增，從而f（x）max＝f(0）＝0;當eq\f(2，3）a≤－1，即a≤－eq\f(3，2）時，f（x)在［－1，0］上單調(diào)遞減,從而f（x)max＝f（－1）＝－1－a;當－1<eq\f（2，3）a〈0，即－eq\f(3,2)<a〈0時，f(x)在eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－1,\f(2,3）a))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(2，3）a，0)）上單調(diào)遞減,則f（x）max＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2，3）a))＝－eq\f（4,27）a3.綜上所述，f（x）max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－a，a≤－\f(3,2），，－\f（4，27）a3，－\f(3，2）〈a<0，，0，a≥0.）)要點三函數(shù)最值的應(yīng)用例3設(shè)函數(shù)f(x）＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0）．(1）求f(x）的最小值h(t）;（2）若h（t）＜－2t＋m對t∈(0,2）恒成立,求實數(shù)m的取值范圍．解（1)∵f（x）＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴當x＝－t時，f(x)取最小值f（－t)＝－t3＋t－1，即h(t）＝－t3＋t－1.(2）令g(t）＝h(t)－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，由g′(t）＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1（不合題意，舍去）．當t變化時g′（t)、g(t)的變化情況如下表：t（0,1)1（1，2）g′（t)＋0－g（t）↗1－m↘∴對t∈(0,2）,當t＝1時,g(t)max＝1－m,h（t）〈－2t－m對t∈（0,2）恒成立，也就是g（t)<0，對t∈（0,2）恒成立，只需g(t)max＝1－m<0,∴m〉1.故實數(shù)m的取值范圍是（1，＋∞)規(guī)律方法(1）“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常用的解決“恒成立”問題的方法．一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉(zhuǎn)化．λ≥f(x）恒成立?λ≥［f(x）］max；λ≤f（x）恒成立?λ≤［f（x)]min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可．（2）此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“＝"．跟蹤演練3設(shè)函數(shù)f(x）＝2x3－9x2＋12x＋8c,（1)若對任意的x∈[0，3］，都有f(x)〈c2成立，求c的取值范圍．(2）若對任意的x∈（0,3），都有f（x）<c2成立，求c的取值范圍．解（1）∵f′（x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1）（x－2）．∴當x∈(0，1）∪(2,3）時，f′（x）>0；當x∈(1，2）時,f′(x）〈0.∴當x＝1時,f(x）取極大值f（1)＝5＋8c。又f（3)＝9＋8c〉f（1)，∴x∈[0,3］時，f（x）的最大值為f（3）＝9＋8c。∵對任意的x∈［0，3］，有f(x)〈c2恒成立，∴9＋8c〈c2，即c<－1或c〉9.∴c的取值范圍為（－∞，－1）∪（9,＋∞）．(2）由(1）知f(x）<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，∴c的取值范圍為（－∞，－1］∪［9，＋∞）．1．函數(shù)f（x）＝－x2＋4x＋7,在x∈［3,5］上的最大值和最小值分別是()A．f（2），f（3)B．f(3)，f（5）C．f(2），f(5)D．f(5)，f（3)答案B解析∵f′(x)＝－2x＋4,∴當x∈[3,5]時，f′(x)<0，故f(x)在[3,5］上單調(diào)遞減,故f(x）的最大值和最小值分別是f(3)，f（5)．2．函數(shù)f（x）＝x3－3x（｜x|<1)()A．有最大值，但無最小值B．有最大值，也有最小值C．無最大值，但有最小值D．既無最大值,也無最小值答案D解析f′(x)＝3x2－3＝3（x＋1)(x－1),當x∈（－1，1)時，f′(x）<0，所以f(x)在（－1，1)上單調(diào)遞減，無最大值和最小值,故選D.3．函數(shù)y＝x－sinx，x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,2），π））的最大值是（)A．π－1B.eq\f（π，2)－1C．πD．π＋1答案C解析因為y′＝1－cosx,當x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(π,2），π))時，y′〉0，則函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(π,2），π)）上為增函數(shù)，所以y的最大值為ymax＝π－sinπ＝π,故選C。4．已知函數(shù)f(x）＝2lnx＋eq\f（a,x2）（a〉0)，若當x∈(0，＋∞)時，f（x）≥2恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________．答案a≥e解析由f（x)≥2，得a≥2x2－2x2lnx，令g（x）＝2x2－2x2lnx，則g′（x）＝2x（1－2lnx），由g′（x）＝0得x＝eeq\f(1,2）或x＝0(舍去）,當0〈x<eeq\f（1,2)時，g′（x)>0；當x>eeq\f(1，2）時，g′（x）〈0，∴當x＝eeq\f(1，2）時，g（x）取最大值g(eeq\f（1,2))＝e，∴a≥e.1。求函數(shù)的最值時,應(yīng)注意以下幾點（1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個局部概念,而函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性的概念．（2）閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值