線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性演示文稿

線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性演示文稿目前一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性目前二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2現(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)方程描述了輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)的變化過程；輸出方程則描述了由狀態(tài)變化引起的輸出y(t)的變化。在現(xiàn)代控制理論中，能控性和能觀性是兩個重要的概念，是卡爾曼(Kalman)在1960年首先提出來的，它是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計的設(shè)計基礎(chǔ)。能控性和能觀性正是分別分析u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力以及輸出y(t)對狀態(tài)x(t)的反映能力。3目前三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點

本章將在詳細(xì)討論能控性和能觀性定義的基礎(chǔ)上，介紹有關(guān)判別系統(tǒng)能控性和能觀性的準(zhǔn)則，以及能控性與能觀性之間的對偶關(guān)系。然后介紹如何通過非奇異變換把能控系統(tǒng)和能觀系統(tǒng)的動力學(xué)方程化成能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型，把不完全能控系統(tǒng)和不完全能觀系統(tǒng)的動力學(xué)方程進行結(jié)構(gòu)分解。最后在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的基礎(chǔ)上介紹傳遞函數(shù)的最小實現(xiàn)。4目前四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點

能控性所考察的只是系統(tǒng)在控制作用u(t)的控制下，狀態(tài)矢量x(t)的轉(zhuǎn)移情況，與輸出y(t)無關(guān)，所以只需從系統(tǒng)的狀態(tài)方程研究出發(fā)即可。§3-1能控性的定義5目前五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一、線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0)，轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。6目前六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點上述定義可以在二階系統(tǒng)的狀態(tài)平面上來說明(如圖3-1所示)。假定狀態(tài)平面中的P點能在輸入的作用下被驅(qū)動到任一指定狀態(tài)P1,P2,P3,,Pn，那么狀態(tài)平面的p點是能控狀態(tài)。7目前七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點假如能控狀態(tài)“充滿”整個狀態(tài)空間，即對于任意初始狀態(tài)都能找到相應(yīng)的控制輸入u(t)，使得在有限的時間區(qū)間[t0,tf]內(nèi)，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全能控?？梢钥闯觯到y(tǒng)中某一狀態(tài)的能控和系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控在含義上是不同的。8目前八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2)也可以假定x(t0)=0，而x(tf)為任意終端狀態(tài)，換句話說，若存在一個無約束控制作用u(t)，在有限時間[t0,tf]能將x(t)由零狀態(tài)驅(qū)動到任意x(tf)。在這種情況下，稱為狀態(tài)的能達性。幾點說明:1)在線性定常系統(tǒng)中，為簡便計，可以假定初始時刻t0=0，初始狀態(tài)為x(0)，而任意終端狀態(tài)就指定為零狀態(tài)，即

在線性定常系統(tǒng)中，能控性與能達性是可以互逆的，即能控系統(tǒng)一定是能達系統(tǒng)，能達系統(tǒng)一定是能控系統(tǒng)。9目前九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點3)在討論能控性問題時，控制作用從理論上說是無約束的，其取值并非唯一的，因為我們關(guān)心的只是它能否將x(t0)驅(qū)動到x(tf)而不計較x的軌跡如何。10目前十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點三、離散時間系統(tǒng)其中u(k)是標(biāo)量控制作用,在(k,k+1)區(qū)間內(nèi)是個常值。只考慮單輸入的n階線性定常離散系統(tǒng)若存在控制作用序列u(k),u(k+1),u(l-1)能將第k步的某個狀態(tài)x(k)在第l步上到達零狀態(tài)，即：x(l)=0，其中l(wèi)是大于k的有限數(shù)，那么就稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)在第k步上的所有狀態(tài)x(k)都是能控的，那么此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，稱為能控系統(tǒng)。能控性定義為:11目前十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點§3-2線性定常系統(tǒng)能控性判別線性定常系統(tǒng)能控性判別準(zhǔn)則有兩種形式一種是先將系統(tǒng)進行狀態(tài)變換，把狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)陣，確定系統(tǒng)的能控性;另一種方法是直接根據(jù)狀態(tài)方程的A陣和B陣，確定其能控性。12目前十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一、具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)的能控性判別1．單輸入系統(tǒng)123n即n個根互異

具有約旦標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)矩陣的單輸入系統(tǒng)，狀態(tài)方程為(3-2)(3-1)或13目前十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點(m-l)個1重根,l個m重根，其余為互異根。14目前十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點為簡明起見，下面舉三個具有上述類型的二階系統(tǒng)，對能控性加以剖析。(3-3)(3-4)(3-5)15目前十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1)對式(3-3)的系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A為對角線型，其標(biāo)量微分方程形式為(3-6)(3-7)從式(3-7)可知，可以受控制量u的控制，從式(3-6)又知，與u無關(guān),即不受u控制。是能控狀態(tài)，故為狀態(tài)不完全能控的，因而為不能控系統(tǒng)。因而只有一個特殊狀態(tài)16目前十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點就狀態(tài)空間而言，如圖3-2所示。能控部分是圖中粗線所示的一條線，它屬于能控狀態(tài)子空間，除此子空間以外的整個空間，都是不能控的狀態(tài)子空間。17目前十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點它是一個并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)，而對應(yīng)x1(t)這個方塊而言,是一個與u(t)無聯(lián)系的孤立部分，而狀態(tài)x2(t)受u(t)影響，故x1(t)不能控的。式(3-3)系統(tǒng)的方塊結(jié)構(gòu)圖如圖3-3所示。18目前十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2)對于式(3-4)的系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A為約旦型，微分方程組為(3-8)(3-9)雖然式(3-8)與u(t)無直接關(guān)系，但它與x2是有聯(lián)系的，而x2卻是受控于u(t)的，所以不難斷定式(3-4)的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。19目前十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點它是一個串聯(lián)型結(jié)構(gòu)，沒有孤立部分，也表明其狀態(tài)是完全能控的。根據(jù)式(3-8)，式(3-9)畫出系統(tǒng)的方塊結(jié)構(gòu)圖如圖3-4所示。20目前二十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點3)對于式(3-5)的系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣雖也為約旦型，但控制矩陣第二行的元素卻為0，其微分方程組為(3-10)(3-11)式(3-11)中只有x2本身，它不受u(t)的控制，而為不能控的。從圖3-5的方塊結(jié)構(gòu)圖來看，存在一個與u(t)無關(guān)的孤立部分。21目前二十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1)系統(tǒng)的能控性，取決于狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣b。通過以上分析，可以得出以下幾點結(jié)論：系統(tǒng)矩陣A是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)部參數(shù)決定的，控制矩陣b是與控制作用的施加點有關(guān)的，因此系統(tǒng)的能控性完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，以及控制作用的施加點。如圖3-3所示，控制作用只施加于x2，未施加于x1，圖3-5則相反，這些沒有與輸入聯(lián)系的孤立部分所對應(yīng)的狀態(tài)變量是不能控制的。22目前二十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2)在A為對角線型矩陣的情況下，如果b的元素有為0的，則與之相應(yīng)的一階標(biāo)量狀態(tài)方程必為齊次微分方程，而與u(t)無關(guān)；這樣，該方程的解無強制分量，在非零初始條件時，系統(tǒng)狀態(tài)不可能在有限時間tf內(nèi)，衰減到零狀態(tài)，從狀態(tài)空間上說，xT=[x1

x2

xn]T是不完全能控的。

如果一個系統(tǒng)至少有一個狀態(tài)變量是不能控的，則稱此系統(tǒng)不完全能控，或簡稱為不能控。

23目前二十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點4)不能控的狀態(tài)，在結(jié)構(gòu)圖中表現(xiàn)為存在與u(t)無關(guān)的孤立方塊，它對應(yīng)的是一階齊次微分方程的模擬結(jié)構(gòu)圖，其自由解是，故為不能控的狀態(tài)。3)在A為約旦標(biāo)準(zhǔn)矩陣的情況下，由于前一個狀態(tài)總是受下一個狀態(tài)的控制，故只有當(dāng)b中相應(yīng)于約旦塊的最后一行的元素為零時，與其相應(yīng)的為一個一階標(biāo)量齊次微分方程，而成為不完全能控的。24目前二十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2．具有一般系統(tǒng)矩陣的多輸入系統(tǒng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(3-12)1)若令x=Tz，式(3-12)可變?yōu)榧s旦標(biāo)準(zhǔn)型或(3-13)(3-14)25目前二十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2)可以證明，系統(tǒng)的線性變換不改變系統(tǒng)的能控性條件。第一章已經(jīng)證明，線性變換不改變系統(tǒng)的特征值，而從上一段可知，若某第i個狀態(tài)xi不能控，就是的自由分量不能控，也即相應(yīng)特征值的自然模式不能控，既然系統(tǒng)線性變換不改變系統(tǒng)特征值，所以不改變系統(tǒng)的能控性。26目前二十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點3)推得一般系統(tǒng)的能控性判據(jù)如下:若系統(tǒng)矩陣A的特征值互異，則式(3-12)可變換為式(3-13)的形式，此時系統(tǒng)能控性的充分必要條件是控制矩陣T-1B的各行元素沒有全為0的。若系統(tǒng)矩陣A的特征值有相同的，則式(3-12)可變換為式(3-14)的形式，此時系統(tǒng)能控性的充分必要條件是：②T-1B中對于互異特征值部分，它的各行元素沒有全為0的。①在T-1B中對應(yīng)于相同特征值的部分，每個約旦塊最后一行相對應(yīng)的元素沒有全為0的。27目前二十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點4)應(yīng)指出，A的特征值互異時，其對應(yīng)的特征矢量必然互異，故必然能變換為式(3-13)的對角線型。在這種情況下，對單輸入系統(tǒng)是不能控的，對多輸入系統(tǒng)則需考察T-1B中，與那些相同特征值對應(yīng)的約旦塊的最后一行元素所形成的矢量是否線性無關(guān)。若它們線性無關(guān)，系統(tǒng)才是能控的。但即使A的特征值相同時，其對應(yīng)的特征矢量也有可能是互異的，故也有可能變換為式(3-13)的對角線型。如此，則在J=T-1AT中，將出現(xiàn)兩個以上與同一特征值有關(guān)的約旦塊。在這種情況下，不能簡單地按上述3)的判據(jù)確定系統(tǒng)的能控性。28目前二十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-1]

解1、2兩系統(tǒng)屬能控系統(tǒng)；判斷下列系統(tǒng)的能控性29目前二十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點解3、4兩系統(tǒng)則是狀態(tài)不完全能控的，為不能控系統(tǒng)。30目前三十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-2]有系統(tǒng)如下，試判斷其是否能控。解將其變換成約旦型，先求其特征根得再求變換陣31目前三十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點T-1b有一行元素為零，故系統(tǒng)是不能控的，其不能控的自然模式為et。故得變換后的狀態(tài)方程32目前三十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-3]有系統(tǒng)如下，試判斷其是否能控。解若A的特征值1，2，3互異，將其變換為對角線陣時，變換矩陣33目前三十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點得故T-1b的各元素不可能為零，系統(tǒng)為能控的。34目前三十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點若A的特征值1=2，31。將其變換為約旦型，變換矩陣T-1b的各元素不可能為零，系統(tǒng)為能控的。35目前三十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點若A的特征值1=2=

3。則變換陣T-1b的最后一行元素不為零，系統(tǒng)亦為能控的。36目前三十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點二、直接從A與B判別系統(tǒng)的能控性1．單輸入系統(tǒng)線性連續(xù)定常單輸入系統(tǒng)其能控的充分必要條件是由A、b構(gòu)成的能控性矩陣滿秩，即rankM=n。否則，當(dāng)rankM<n時，系統(tǒng)為不能控的。37目前三十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點證明式(3-15)的解為(3-17)

根據(jù)能控性定義，對任意的初始狀態(tài)矢量x(t0)，應(yīng)能找到u(t)，使之在有限時間tft0內(nèi)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)[x(tf)=0]。由式(3-17)，并令t=tf，x(tf)=0，得即(3-18)38目前三十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點（對任何的k）

根據(jù)凱萊-哈密頓定理：A的任何次冪可由其0,1,,(n-1)次冪的和表示，即又因故(3-19)其中39目前三十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其中由于u(t)為標(biāo)量，又是定限積分，所以j也是標(biāo)量，將式(3-20)寫成矩陣形式，有(3-21)(3-20)將上式代入式(3-18)，有40目前四十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點要使系統(tǒng)能控，則對任意給定的初始狀態(tài)x(t0)，應(yīng)能從式(3-21)解出0,

1,

,

n-1來，即因此，必須保證的逆存在，亦即其秩必須等于n。判據(jù)得證。41目前四十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-4]系統(tǒng)同[例3-3]，判明其能控性。解42目前四十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點它是一個三角形矩陣，斜對角線元素均為1，不論a2,a1取何值，其秩為3，系統(tǒng)總是能控的。故因此把凡是具有本例形式的狀態(tài)方程，稱之謂能控標(biāo)準(zhǔn)型。43目前四十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-5]系統(tǒng)同[例3-2]，判明其能控性其秩為1，降秩，故系統(tǒng)為不能控的。解44目前四十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點在這種情況下，狀態(tài)完全能控的充分必要條件是Wux(s)沒有零點和極點重合現(xiàn)象。否則，被相消的極點就是不能控的模式，系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)。由第一章式(1-64)，知u—x間的傳遞函數(shù)陣為因為若傳遞函數(shù)分子和分母約去一個相同公因子之后，就相當(dāng)于狀態(tài)變量減少了一維，系統(tǒng)出現(xiàn)了一個低維能控子空間和一個不能控子空間，故屬不能控系統(tǒng)。最后指出，在單輸入系統(tǒng)中，根據(jù)A和b還可以從輸入和狀態(tài)矢量間的傳遞函數(shù)陣確定能控性的充分必要條件。45目前四十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-6]系統(tǒng)同[例3-2]，從輸入和狀態(tài)矢量的傳遞函數(shù)確定其能控性。解u—x間的傳遞函數(shù)陣為顯然，傳遞函數(shù)陣中有一個相同的零點和極點，該極點所對應(yīng)的自然模式為et為不能控的，所以該系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)。46目前四十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-7]系統(tǒng)同例3-3，從輸入和狀態(tài)矢量間的傳遞函數(shù)確定其能控性。顯然，Wux(s)中不可能出現(xiàn)相同的零點和極點，即其分子和分母不存在公因子的可能性，故能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)方程一定是能控的。解u—x間傳遞函數(shù)陣為47目前四十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2．多輸入系統(tǒng)式中B—nr陣；u—r維列矢量。對多輸入系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為(3-22)

其能控的充分必要條件是矩陣的秩為n。48目前四十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點證明可仿照單輸入系統(tǒng)的方法進行，不贅述。所不同的是式(3-20)中，控制u不再是標(biāo)量而為矢量u，它是r維列矢量，相應(yīng)地j變?yōu)橐彩且粋€r維列矢量。(3-23)

故式(3-21)變?yōu)橐韵滦问?9目前四十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點考慮到x(t0)是任意給定的，欲使上面的關(guān)系式成立，M的秩必須是滿秩。式(3-23)不再是有n個未知數(shù)的n個方程組，而是有nr個未知數(shù)的n個方程組，根據(jù)代數(shù)理論，在非齊次線性方程(3-23)中，有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣M和增廣矩陣[Mx(t0)]的秩相等，即(3-23)

50目前五十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點綜上所述，若要使式(3-22)的線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，必須從式(3-23)線性方程組中解出j，而方程組有解的充分必要條件是矩陣M滿秩。

故線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是M滿秩。51目前五十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點附帶指出，不論單輸入或多輸入系統(tǒng)，為簡便計，有時不寫出M矩陣，而記以[Ab]或[AB]對，M滿秩時，也可以說[Ab]或[AB]是能控對。

在多輸入系統(tǒng)中，M是nnr矩陣，不象在單輸入系統(tǒng)中是nn方陣，其秩的確定一般來說要復(fù)雜一些。由于矩陣M與MT的積MMT是方陣，而它的非奇異性等價于M的非奇異性，所以在計算行比列少的矩陣的秩時常用rankM=rankMMT的關(guān)系，通過計算方陣MMT的秩確定M的秩。52目前五十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-8]判別三階兩輸入系統(tǒng)的能控性。解53目前五十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點易知MMT非奇異，故M滿秩，系統(tǒng)是能控的。實際上在本例中，M的滿秩從M矩陣的前三列可直接看出，它包含在的矩陣中。所以在多輸入系統(tǒng)中，有時并不一定要計算出全部M陣。這也說明在多輸入系統(tǒng)中，系統(tǒng)的能控條件是較容易滿足的。54目前五十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點§3-3線性連續(xù)定常系統(tǒng)能觀性控制系統(tǒng)大多采用反饋控制形式。在現(xiàn)代控制理論中，其反饋信息是由系統(tǒng)的狀態(tài)變量組合而成。但并非所有的系統(tǒng)的狀態(tài)變量在物理上都能測取到，于是提出能否通過對輸出的測量獲得全部狀態(tài)變量的信息，這便是系統(tǒng)的能觀測問題。55目前五十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點圖3-6a中所示系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的，因為系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量對輸出都產(chǎn)生影響。56目前五十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點圖3-6b所示系統(tǒng)是狀態(tài)不能觀測的，因為狀態(tài)x2對輸出y不產(chǎn)生任何影響，當(dāng)然要從輸出量y的信息中獲得x2的信息也是不可能的。57目前五十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一、能觀性定義

能觀性所表示的是輸出y(t)反映狀態(tài)矢量x(t)的能力，與控制作用沒有直接關(guān)系，所以分析能觀性問題，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)，即(3-24)如果對任意給定的輸入u，在有限觀測時間tf>t0，使得根據(jù)[t0,tf]期間的輸出y(t)能唯一地確定系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)x(t0)，則稱狀態(tài)x(t0)是能觀測的。

若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測，或簡稱是能觀的。58目前五十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1)能觀性表示的是y(t)反映狀態(tài)矢量x(t)的能力，與控制作用沒有直接關(guān)系，所以在分析能觀測問題時，不妨令u0，這樣只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)，或用符號=(A,C)表示。對上述定義作如下幾點說明：2)從輸出方程可以看出，如果輸出量y的維數(shù)等于狀態(tài)的維數(shù)，即m=n，并且C是非奇異陣，則求解狀態(tài)是十分簡單的，即顯然，這是不需要觀測時間的。59目前五十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點可是在一般情況下，輸出量的維數(shù)總是小于狀態(tài)變量的個數(shù)，即m<n。為了能唯一地求出n個狀態(tài)變量，不得不在不同的時刻多測量幾組輸出數(shù)據(jù)y(t0),y(t1),,y(tf)，使之能構(gòu)成n個方程式。倘若t0,t1,,tf相隔太近，則y(t0),y(t1),,y(tf)n個方程雖然在結(jié)構(gòu)上是獨立的，但其數(shù)值可能相差無幾，而破壞了其獨立性。因此，在能觀性定義中，觀測時間應(yīng)滿足tft0的要求。60目前六十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點3)在定義中之所以把能觀性規(guī)定為對初始狀態(tài)的確定，這是因為一旦確定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定的控制量(輸入)，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程求出各個瞬時的狀態(tài)。61目前六十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點二、定常系統(tǒng)能觀性的判別定常系統(tǒng)能觀性的判別也有兩種方法一種是對系統(tǒng)進行坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型下的C陣，判別其能觀性。另一種方法是直接根據(jù)A陣和C陣進行判別。62目前六十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1．轉(zhuǎn)換成約旦標(biāo)準(zhǔn)型的判別方法線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(3-25)現(xiàn)分兩種情況敘述如下：(1)A為對角線矩陣63目前六十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點這時式(3-25)用方程組形式表示，可有

(3-26)(3-27)從而可得結(jié)構(gòu)圖如圖3-7所示。64目前六十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點65目前六十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點由式(3-28)可知，假使輸出矩陣C中有某一列全為零，譬如說第2列中c12,c22,…,cm2均為零，則在y(t)中將不包含這個自由分量，亦即不包含x2(t)這個狀態(tài)變量，很明顯，這個x2(t)不可能從y(t)的測量值中推算出來，即x2(t)是不能觀的狀態(tài)。從狀態(tài)矢量空間而言，只有x(t)=[x10x3…

xn]T是能觀測子空間，其余的是不能觀子空間。(3-28)將式(3-26)代入輸出方程式(3-27)，得66目前六十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點綜上所述，可得能觀性判據(jù)如下:在系統(tǒng)矩陣A為對角線型的情況下，系統(tǒng)能觀的充要條件是輸出矩陣C中沒有全為零的列。若第i列全為零，則與之相應(yīng)的xi(t)為不能觀的。67目前六十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點(2)A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣這時，狀態(tài)方程的解為以三階為例68目前六十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點從而(3-29)由式(3-29)可知，當(dāng)且僅當(dāng)輸出矩陣C中第一列元素不全為零時，y(t)中總包含著系統(tǒng)的全部自由分量而為完全能觀。69目前六十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點約旦標(biāo)準(zhǔn)型的系統(tǒng)具有串聯(lián)型的結(jié)構(gòu)，如圖3-8所示。從圖中也可看出，若串聯(lián)結(jié)構(gòu)中的最后一個狀態(tài)變量能夠測量到，則驅(qū)動該狀態(tài)變量的前面的狀態(tài)變量x2,x3也必然能夠觀測到，因此只要c11,c21,c31不全為零就不可能出現(xiàn)與輸出無關(guān)的孤立部分，系統(tǒng)就一定是能觀的。70目前七十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點因此，在系統(tǒng)矩陣為約旦標(biāo)準(zhǔn)型的情況下，系統(tǒng)能觀的充要條件是輸出矩陣C中，對應(yīng)每個約旦塊開頭的一列的元素不全為零。由于任意系統(tǒng)矩陣A經(jīng)T-1AT變換后，均可演化為對角線型或約旦型，此時只需根據(jù)輸出矩陣CT是否有不全為零的列，或?qū)?yīng)約旦塊的CT的第一列是否不全為零，便可以確定系統(tǒng)的能觀性。71目前七十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2．直接從A、C陣判斷系統(tǒng)的能觀性從式(3-24)解得從式(3-19)有其中(3-30)72目前七十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點因此，根據(jù)在時間區(qū)間t0ttf測量到的y(t)，要能從式(3-30)唯一確定x0，即完全能觀的充要條件是nmn矩陣：(3-31)的秩為n。(3-32)

式(3-31)稱為能觀測性矩陣，或稱為[A,C]對。當(dāng)N滿秩，則稱[A,C]為能觀性對，也可寫成73目前七十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點§3-4離散時間系統(tǒng)的能控性與能觀性一、能控性矩陣M當(dāng)系統(tǒng)為單輸入系統(tǒng)時，式中u(k)—標(biāo)量控制作用，控制陣h為n維列矢量G—系統(tǒng)矩陣(nn);

x—狀態(tài)向量(n1)。采樣周期T為常數(shù)，式中未予表示。離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下(3-33)74目前七十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點

根據(jù)§3-1能控性定義，在有限個采樣周期內(nèi)，若能找到階梯控制信號，使得任意一個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，那么系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，怎樣才能判定能否找到控制信號呢？先看一個實例。任意給一個初始狀態(tài)，譬如x(0)=[210]T，看能否找到階梯控制u(0),u(1),u(2)，在三個采樣周期內(nèi)使x(3)=0。設(shè)式(3-33)的75目前七十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點利用遞推法：76目前七十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點現(xiàn)令x(3)=0,從上式得三個標(biāo)量方程，求解三個待求量u(0),u(1),u(2)，寫成矩陣形式(3-34)77目前七十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點這就是說能找到u(0),u(1),u(2),使x(0)在第3步時，使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移到零，因而為能控系統(tǒng)。(3-35)即由于系數(shù)矩陣是非奇異的，其逆存在，所以方程(3-35)有解，其解為78目前七十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點有解的充分必要條件，即能控的充要條件是系數(shù)矩陣滿秩。而系數(shù)矩陣是如何構(gòu)成的呢？只要回顧一下式(3-34)，不難看出它就是(3-36)只要式(3-36)滿秩，系統(tǒng)就是能控的，將此系數(shù)矩陣稱之為能控性矩陣。仿連續(xù)時間系統(tǒng)，記以或稱為[Gh]對。79目前七十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點(3-37)一般地，初始狀態(tài)為x(0)時，式(3-33)的解為若系統(tǒng)是能控的，則應(yīng)在k=n時，從上式解得u(0),u(1),…,u(n-1)，使x(k)在第n個采樣時刻為零，即x(n)=0。從而有80目前八十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點或(3-38)或(3-39)

故方程式(3-38)有解的充要條件是能控性矩陣的秩等于n。81目前八十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點對于單輸入系統(tǒng)來講，式(3-39)中的h是n維列矢量，因此M陣是nn的系數(shù)陣。對于多輸入系統(tǒng)，h不再是n維列矢量而是nr矩陣H，r為控制信號(即輸入)u的維數(shù)，因此M是一個nnr矩陣。82目前八十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點例如：有一個三階的三輸入系統(tǒng)或為一個3(33)=39的矩陣，顯然上式是滿秩的，即M的秩等于3，系統(tǒng)是能控的。83目前八十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點(3-40)

根據(jù)式(3-38)有可以看出，它是一個具有9個待求變量而只有三個方程的方程組。84目前八十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一般地說，在輸入個數(shù)為r的n階系統(tǒng)，方程式的個數(shù)(n)總是小于未知數(shù)的個數(shù)(nr)的，在這種情況下，只要M滿秩，方程組就有無窮多組解。在研究能控性問題時，關(guān)心的問題是是否有解，至于是什么樣的控制信號，在此是無關(guān)緊要的。在多輸入系統(tǒng)中，n階系統(tǒng)的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點，一般并不一定需要n個采樣周期，即采樣步數(shù)kn。如果n階系統(tǒng)，輸入數(shù)r=n，即H也是nn方陣，而且H又是非奇異陣，那么只需一個采樣步數(shù)，x(0)就能轉(zhuǎn)移到原點。85目前八十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點如上例，H是非奇異的，故采樣步數(shù)k可以等于1。即由于x(0)已知，H滿秩，故可以唯一地確定第一步的控制信號，從而使x(0)能在第一個采樣周期即達到零狀態(tài)。在k=1時，式(3-40)為86目前八十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點二、能觀性矩陣N式中y—m維列矢量；C—mn輸出矩陣，其余同式(3-33)。離散時間系統(tǒng)的能觀性，是從下述兩個方程出發(fā)的。(3-41)

根據(jù)§3-3中能觀性定義，如果知道有限采樣周期內(nèi)的輸出y(k)，就能唯一地確定任意初始狀態(tài)矢量x(0)，則系統(tǒng)是完全能觀的?，F(xiàn)根據(jù)此定義推導(dǎo)能觀性條件。87目前八十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點(3-42)從式(3-41)，有若系統(tǒng)能觀，那么在知道y(0),y(1),…y(n-1)時，應(yīng)能確定出x(0)=[x1(0)x2(0)…xn(0)]T。從式(3-42)可得88目前八十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點寫成矩陣形式(3-43)x(0)有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于n。這個系數(shù)矩陣稱為能觀性矩陣?；蚣捶逻B續(xù)時間系統(tǒng)，記為N89目前八十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點§3-6能控性與能觀性的對偶關(guān)系能控性與能觀性有其內(nèi)在關(guān)系，這種關(guān)系是由卡爾曼提出的對偶原理確定的，利用對偶關(guān)系可以把對系統(tǒng)能控性分析轉(zhuǎn)化為對其對偶系統(tǒng)能觀性的分析。從而也溝通了最優(yōu)控制問題和最優(yōu)估計問題之間的關(guān)系。90目前九十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一、線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系有兩個系統(tǒng)，一個系統(tǒng)1為另一個系統(tǒng)2為(3-53)若滿足下述條件，則稱1與2是互為對偶的。91目前九十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點式中x1,x2—n維狀態(tài)矢量；u1,u2—各為r與m維控制矢量；y1,y2—各為m與r維輸出矢量;A1,A2—nn系統(tǒng)矩陣;B1,B2—各為nr與nm控制矩陣;C1,C2—各為mn與rn輸出矩陣。顯然，1是一個r維輸入m維輸出的n階系統(tǒng)，其對偶系統(tǒng)2是一個m維輸入r維輸出的n階系統(tǒng)。92目前九十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點從圖中可以看出，互為對偶的兩系統(tǒng)，輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和綜合點互換，對應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。圖3-11是對偶系統(tǒng)1和2的方塊結(jié)構(gòu)圖。93目前九十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點再從傳遞函數(shù)矩陣來看對偶系統(tǒng)的關(guān)系根據(jù)圖3-11b，其傳遞函數(shù)矩陣W2(s)為rm矩陣(3-55)對W2(s)取轉(zhuǎn)置(3-56)由此可知，對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣是互為轉(zhuǎn)置的。(3-54)根據(jù)圖3-11a，其傳遞函數(shù)矩陣W1(s)為mr矩陣94目前九十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點同樣可求得系統(tǒng)輸入-狀態(tài)的傳遞函數(shù)陣(sI-A1)-1B1，是與其對偶系統(tǒng)初始狀態(tài)-輸出傳遞函數(shù)陣C2(sI-A2)-1

互為轉(zhuǎn)置的。此外，還應(yīng)指出，互為對偶的系統(tǒng)，其特征方程式是相同的。即因為原系統(tǒng)的初始狀態(tài)—輸出的傳遞函數(shù)陣C1(sI-A1)-1是與其對偶系統(tǒng)輸入—狀態(tài)傳遞函數(shù)陣(sI-A2)-1B2互為轉(zhuǎn)置的。95目前九十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點二、對偶原理

系統(tǒng)1=(A1,B1,C1)和2=(A2,B2,C2)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則1的能控性等價于2的能觀性，1的能觀性等價于2的能控性?；蛘哒f，若1是狀態(tài)完全能控的(完全能觀的)，則2是狀態(tài)完全能觀的(完全能控的)。96目前九十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點證明對2而言，能控性判別矩陣(nm)的秩為n，則系統(tǒng)狀態(tài)為完全能控的。將式(3-53)的關(guān)系式代入上式有說明1能觀性判別矩陣N1的秩也為n，從而說明為完全能觀的。同理有即若2的N2滿秩，為完全能觀時，則1的M1亦滿秩而為狀態(tài)完全能控。97目前九十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點對偶原理是現(xiàn)代控制理論中一個十分重要的概念，利用對偶原理可以把系統(tǒng)能控性分析方面所得到的結(jié)論用于其對偶系統(tǒng)，從而很容易地得到其對偶系統(tǒng)能觀性方面的結(jié)論。98目前九十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點§3-7狀態(tài)空間表達式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式也不是唯一的。在實際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間表達式化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式：如約旦標(biāo)準(zhǔn)型對于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算，可控性和可觀性的分析是十分方便的；對于系統(tǒng)的狀態(tài)反饋則化為能控標(biāo)準(zhǔn)型是比較方便的；對于系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設(shè)計以及系統(tǒng)辨識，則將系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型是方便的。99目前九十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點把狀態(tài)空間表達式化成能控標(biāo)準(zhǔn)型(能觀標(biāo)準(zhǔn)型)的理論根據(jù)是狀態(tài)的非奇異變換不改變其能控性(能觀性)，只有系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的(能觀的)才能化成能控(能觀)標(biāo)準(zhǔn)型。下面討論單變量系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。100目前一百頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一、單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型則能控性判別陣中至少有n個1維列矢量是線性無關(guān)的，因此在這nr個列矢量中選取n個線性無關(guān)的列矢量，以某種線性組合仍能導(dǎo)出一組n個線性無關(guān)的列矢量，從而導(dǎo)出狀態(tài)空間表達式的某種能控標(biāo)準(zhǔn)型。對于n維定常系統(tǒng)如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，即滿足101目前一百零一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點對于單輸入單輸出系統(tǒng)，在能控判別陣中只有唯一的一組線性無關(guān)矢量，因此一旦組合規(guī)律確定，其能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式是唯一的。對于多輸入多輸出系統(tǒng)，在能控性判別陣中，從(nnr)中選擇出n個獨立的列矢量的取法不是唯一的，因而其能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式也不是唯一的。顯然，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，才能滿足上述條件。102目前一百零二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1.能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型(3-69)是能控的，則存在線性非奇異變換(3-68)若線性定常單輸入系統(tǒng)(3-67)103目前一百零三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其中(3-71)(3-73)稱形如式(3-70)的狀態(tài)空間表達式為能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型。使其狀態(tài)空間表達式(3-67)化成(3-70)104目前一百零四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其中i(i=0,1,,n-1)為特征多項式的各項系數(shù)。(3-74)i(i=0,1,,n-1)是cTc1相乘的結(jié)果，即105目前一百零五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點證明

因假設(shè)系統(tǒng)是能控的，故n1矢量b,Ab,,An-1b是線性獨立的。其中i(i=0,1,,n-1)是特征多項式各項系數(shù)。(3-75)按下列組合方式構(gòu)成的n個新矢量e1,e2,,en也是線性獨立的。106目前一百零六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點由e1,e2,,en組成變換矩陣(3-76)由有(3-77)把式(3-75)分別代入上式，有107目前一百零七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點108目前一百零八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點把上述Ae1,Ae2,,Aen代入式(3-77)，有109目前一百零九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點再證由有把式(3-75)中b=en代入，有從而證得110目前一百一十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點把式(3-75)中e1,e2,,en的表示式代入上式最后推證其中111目前一百一十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點或者寫成顯然112目前一百一十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點那么根據(jù)傳遞函數(shù)的分母多項式和分子多項式的系數(shù)，便可以直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的。

采用能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型的，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是很方便的。從式(3-78)可以看出，傳遞函數(shù)分母多項式的各項數(shù)是的最后一行的元素的負(fù)值；分子多項式的各項系數(shù)是的元素。(3-78)113目前一百一十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-12]試將下列狀態(tài)空間表達式變換成能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型114目前一百一十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點解先判別系統(tǒng)的能控性rankM=3，所以系統(tǒng)是能控的。再計算系統(tǒng)的特征多項式即根據(jù)式(3-71)，(3-72)及(3-73)，可得115目前一百一十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點116目前一百一十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點本例也可先求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)W(s)，而后再從傳遞函數(shù)W(s)的分母多項式和分子多項式的系數(shù)，寫出能控標(biāo)準(zhǔn)I型的狀態(tài)空間表達式。因此系統(tǒng)的能控Ⅰ型為采用式(3-74)可以直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)117目前一百一十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2．能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型若線性定常單輸入系統(tǒng)是能控的，則存在線性非奇異變換(3-79)(3-80)相應(yīng)的狀態(tài)空間表達式(3-79)轉(zhuǎn)換成(3-81)118目前一百一十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點(3-83)稱形如式(3-81)的狀態(tài)表達式為能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型。(3-82)其中(3-84)119目前一百一十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點式(3-82)中的0,1,,n-1是系統(tǒng)特征多項式的各項系數(shù)，亦即系統(tǒng)的不變量。式(3-84)中的0,1,,n-1是CTc2相乘的結(jié)果，即(3-85)120目前一百二十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點證明因為系統(tǒng)為能控的，所以能控判別陣是非奇異的。其變換后的狀態(tài)方程和輸出方程為令狀態(tài)變換的變換矩陣Tc2為(3-86)121目前一百二十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點利用凱萊—哈密爾頓定理將上式代入式(3-87)中，有寫成矩陣形式首先推證式(3-82)中的(3-87)122目前一百二十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點即上式兩邊左乘Tc2-1，得123目前一百二十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點即顯然，欲使上式成立，必須即因再推證式(3-83)的124目前一百二十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點試將例3-12中的狀態(tài)空間表達式變換為能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型[例3-13]解例3-12中已經(jīng)求得由式(3-82)、式(3-83)、式(3-84)與式(3-85)可得125目前一百二十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點狀態(tài)空間表達式的能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型為126目前一百二十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點二、單輸出系統(tǒng)能觀標(biāo)準(zhǔn)型與變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型的條件相似，只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀時，即有系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式才可能導(dǎo)出能觀標(biāo)準(zhǔn)型。狀態(tài)空間表達式的能觀標(biāo)準(zhǔn)型也有兩種形式，能觀標(biāo)準(zhǔn)I型和能觀標(biāo)準(zhǔn)II型，它們分別與能控標(biāo)準(zhǔn)II型和能控標(biāo)準(zhǔn)I型相對偶。127目前一百二十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1．能觀標(biāo)準(zhǔn)I型若線性定常系統(tǒng)是能觀的，則存在非奇異變換(3-88)(3-89)使其狀態(tài)空間表達式(3-88)化成(3-90)128目前一百二十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其中(3-91)稱形如式(3-90)的狀態(tài)空間表達式為能觀標(biāo)準(zhǔn)I型。(3-92)(3-93)其中i(i=0,1,…,n-1)是矩陣A的特征多項式的各項系數(shù)。129目前一百二十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點取變換陣T01直接驗證，或者用對偶原理來證明。130目前一百三十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點證明過程如下：首先構(gòu)造∑=(A,b,c)的對偶系統(tǒng)∑*(A*,b*,c*)然后寫出對偶系統(tǒng)∑*(A*,b*,c*)的能控標(biāo)準(zhǔn)II型，∑的狀態(tài)空間表達式的能觀標(biāo)準(zhǔn)I型即是∑*的能控標(biāo)準(zhǔn)II型。131目前一百三十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點式中系統(tǒng)=(A,b,c)的能控標(biāo)準(zhǔn)II型對應(yīng)的系數(shù)陣；系統(tǒng)=(A,b,c)的能觀標(biāo)準(zhǔn)I型對應(yīng)的系數(shù)陣；系統(tǒng)=(A,b,c)的對偶系統(tǒng)*(A*,b*,c*)能控標(biāo)準(zhǔn)II型對應(yīng)的系數(shù)陣。即132目前一百三十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2．能觀標(biāo)準(zhǔn)II型若線性定常單輸出系統(tǒng)(3-95)(3-96)是能觀的，則存在非奇異變換使其狀態(tài)空間表達式(3-95)變換為(3-97)133目前一百三十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點稱形如式(3-97)的狀態(tài)空間表達式為能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型。其中ai(i=0,1,,n-1)是矩陣Ａ的特征多項式的各項系數(shù)。i(i=0,1,,n-1)是T02-1b的相乘結(jié)果,i的具體計算見式(3-74)。(3-100)其中(3-98)134目前一百三十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其中分母多項式的各項系數(shù)是陣的最后一列的負(fù)值，分子多項式的各項系數(shù)是陣的元素。這個現(xiàn)象用對偶原理不難解釋。

上述變換可根據(jù)對偶原理直接由其對偶系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型導(dǎo)出，其過程與能觀標(biāo)準(zhǔn)I型類同，不再重復(fù)。和能控標(biāo)準(zhǔn)I型一樣，根據(jù)狀態(tài)空間表達式的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型，也可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)135目前一百三十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-14]試將例3-12中的狀態(tài)空間表達式變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ、Ⅱ型解求能觀性判別矩陣N其秩為3，故知此系統(tǒng)可以變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。(1)求狀態(tài)空間表達式的能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型例3-12中已經(jīng)求得136目前一百三十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點由式(3-91)、式(3-92)、式(3-93)，可得137目前一百三十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點和例3-13的狀態(tài)空間表達式的能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型相比較，可知二者之間是互為對偶的。狀態(tài)空間表達式的能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型為138目前一百三十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點顯然與例3-12得到能控Ⅰ型對偶關(guān)系。(2)求能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型狀態(tài)空間表達式的能觀標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型為由式(3-98)、式(3-99)、式(3-100)，可得139目前一百三十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點§3-8線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解前已說過，如果一個系統(tǒng)是不完全能控的，則其狀態(tài)空間中所有的能控狀態(tài)構(gòu)成能控子空間，其余為不能控子空間。如果一個系統(tǒng)是不完全能觀的，則其狀態(tài)空間中所有能觀測的狀態(tài)構(gòu)成能觀子空間，其余為不能觀子空間。但是，在一般形式下，這些子空間并沒有被明顯地分解出來。本節(jié)將討論如何通過非奇異變換即坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。140目前一百四十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點把線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解是狀態(tài)空間分析中的一個重要內(nèi)容。

在理論上它揭示了狀態(tài)空間的本質(zhì)特征，為最小實現(xiàn)問題的提出提供了理論依據(jù)。實踐上，它與系統(tǒng)的狀態(tài)反饋、系統(tǒng)鎮(zhèn)定等問題的解決都有密切的關(guān)系。141目前一百四十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一、按能控性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)(3-101)是狀態(tài)不完全能控，其能控性判別矩陣的秩則存在非奇異變換(3-102)將狀態(tài)空間表達式(3-101)變換為(3-103)142目前一百四十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其中(3-104)(3-105)(3-106)143目前一百四十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式變換為式(3-103)后，系統(tǒng)的狀態(tài)空間就被分解成能控的和不能控的兩部分。對于這種狀態(tài)結(jié)構(gòu)的分解情況如圖3-12所示。(n-n1)維子系統(tǒng)是不能控的。其中n1維子空間是能控的；144目前一百四十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點

因為u對不起作用，僅做無控的自由運動。顯然，若不考慮(n-n1)維子系統(tǒng)，便可得到一個低維的能控系統(tǒng)。145目前一百四十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點非奇異變換陣(3-107)其中n個列矢量可以按如下方法構(gòu)成：前n1個列矢量R1，R2…Rn1是能控性矩陣M中的n1個線性無關(guān)的列；另外的(n-n1)個列Rn1+1…Rn在確保Rc為非奇異的條件下，完全是任意的。146目前一百四十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-15]設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判別其能控性，若不是完全能控的，試將該系統(tǒng)按能控性進行分解。147目前一百四十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點解系統(tǒng)能控性判別矩陣所以系統(tǒng)是不完全能控的。按式(3-107)構(gòu)造非奇異變換陣Rc其中R3是任意的，只要能保證Rc為非奇異即可。148目前一百四十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式149目前一百四十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點

在構(gòu)造變換矩陣Rc時，其中(n-n1)列的選取，是在保證Rc為非奇異的條件下任選的?，F(xiàn)將R3選取為另一矢量R3=[101]T則于是150目前一百五十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其實，這一現(xiàn)象并非偶然，因為變換矩陣的前n1列是能控性判別陣中的n1個線性無關(guān)列。從兩個狀態(tài)空間表達式可以看出，它們都把系統(tǒng)分解成兩部分，一部分是二維能控子系統(tǒng)，另一部分是一維不能控子系統(tǒng)，且其二維能控子空間的狀態(tài)空間表達式是相同的，均屬能控標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型151目前一百五十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點二、按能觀性分解設(shè)線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的，其能觀性判別矩陣的秩則存在非奇異變換(3-110)152目前一百五十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點將狀態(tài)空間表達式(3-108)變換為其中(3-111)(3-112)(3-113)153目前一百五十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點和不能觀n-n1的子系統(tǒng)可見，經(jīng)上述變換后系統(tǒng)分解為能觀的n1維子系統(tǒng)圖3-13是其結(jié)構(gòu)圖。顯然，若不考慮(n-n1)維不能觀測的子系統(tǒng)，便得到一個n1維的能觀系統(tǒng)。154目前一百五十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點非奇異變換陣R0是這樣構(gòu)成的，取(3-114)其中前n1行矢量是能觀性判別陣中的n1個線性無關(guān)的行；另外的(n-n1)個行矢量在確保為非奇異的條件下，完全是任意的。155目前一百五十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-16]設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判別其能觀性，若不是完全能觀的，將該系統(tǒng)按能觀性進行分解。156目前一百五十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的。解系統(tǒng)的能觀性判別矩陣其秩為構(gòu)造非奇異變換陣，取157目前一百五十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點得其中是在保證為非奇異的條件下任意選取的。于是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式變換為158目前一百五十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點三、按能控性和能觀性進行分解1．如果線性系統(tǒng)是不完全能控和不完全能觀若對該系統(tǒng)同時按能控性和能觀性進行分解，則可以把系統(tǒng)分解成能控且能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四部分。當(dāng)然，并非所有系統(tǒng)都能分解成有這四個部分的。159目前一百五十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點若線性定常系統(tǒng)(3-115)不完全能控不完全能觀，則存在非奇異變換(3-116)把式(3-115)的狀態(tài)空間表達式變換為(3-117)160目前一百六十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點其中(3-118)(3-119)(3-120)從的結(jié)構(gòu)可以看出，整個狀態(tài)空間分為能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四個部分，分別用表示。161目前一百六十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點并且(A11,B1,C1)是能控能觀子系統(tǒng)。于是式(3-117)可以寫成(3-121)162目前一百六十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點從結(jié)構(gòu)圖可以清楚看出四個子系統(tǒng)傳遞信息的情況。式(3-117)的方塊結(jié)構(gòu)圖如圖3-14所示。163目前一百六十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點在系統(tǒng)的輸入u和輸出y之間，只存在一條唯一的單向控制通道，即uB11C1y。從而也說明，傳遞函數(shù)陣只是對系統(tǒng)的一種不完全的描述，如果在系統(tǒng)中添加(或去掉)不能控或不能觀的子系統(tǒng)，并不影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。因而根據(jù)給定傳遞函數(shù)陣求對應(yīng)的狀態(tài)空間表達式其解將有無窮多個。顯然，反映系統(tǒng)輸入輸出特性的傳遞函數(shù)陣W(s)只能反映系統(tǒng)中能控且能觀的那個子系統(tǒng)的動力學(xué)行為。但是其中維數(shù)最小的那個狀態(tài)空間表達式是最常用的，這就是最小實現(xiàn)問題。164目前一百六十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點2．變換矩陣R確定之后，只須經(jīng)過一次變換便可對系統(tǒng)同時按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解，但是R陣的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。步驟如下：(1)首先將系統(tǒng)∑=(A,B,C)按能控性分解下面介紹一種逐步分解的方法。這種方法雖然計算較繁，但較直觀，易于掌握。(3-123)取狀態(tài)變換165目前一百六十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點式中——能控狀態(tài)；——不能控狀態(tài)；——根據(jù)式(3-107)構(gòu)造的。將系統(tǒng)變換為(3-124)166目前一百六十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點對取狀態(tài)變換式中——不能控但能觀的狀態(tài)；——不能控不能觀的狀態(tài)；——根據(jù)式(3-114)構(gòu)造的的按能觀性分解的變換陣。(2)將上式中不能控的子系統(tǒng)按能觀性分解將分解為167目前一百六十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點(3)將能控子系統(tǒng)按能觀性分解對xc取狀態(tài)變換由式(3-124)有把狀態(tài)變換后的關(guān)系代入上式，有168目前一百六十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點兩邊左乘，有式中——能控能觀狀態(tài)；——能控不能觀狀態(tài)；——根據(jù)式(3-114)構(gòu)造的按能觀性分解的變換陣。169目前一百六十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點綜合以上三次變換，便可導(dǎo)出系統(tǒng)同時按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解的表達式。170目前一百七十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-17]已知系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控和不完全能觀的，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解。171目前一百七十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點解[例3-15]已將系統(tǒng)按能控性分解經(jīng)變換后，系統(tǒng)分解為從上面可見，不能控子空間僅一維，且顯見是能觀的，故無需再進行分解。172目前一百七十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點將能控子系統(tǒng)c按能觀性進行分解按能觀性分解，根據(jù)式(3-114)構(gòu)造非奇異變換陣173目前一百七十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點即將c按能觀性分解為174目前一百七十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控和能觀分解為表達式175目前一百七十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點3．結(jié)構(gòu)分解的另一種方法先把待分解的系統(tǒng)化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型，然后按能控判別法則和能觀判別法則判別各狀態(tài)變量的能控性和能觀性，最后按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四種類型分類排列，即可組成相應(yīng)的子系統(tǒng)。176目前一百七十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點例如給定系統(tǒng)=(A,B,C)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型為177目前一百七十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點按約旦標(biāo)準(zhǔn)型能控判別準(zhǔn)則和能觀判別準(zhǔn)則,判定：于是能控且能觀變量：x1，x2能控但不能觀變量：x3，x5不能控但能觀變量：x4不能控不能觀變量：x6178目前一百七十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點按此順序重新排列，就可導(dǎo)出179目前一百七十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點§3-9傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題

反映系統(tǒng)輸入輸出信息傳遞關(guān)系的傳遞函數(shù)陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀子系統(tǒng)的動力學(xué)行為。對于某一給定的傳遞函數(shù)陣將有無窮多的狀態(tài)空間表達式與之對應(yīng)，即一個傳遞函數(shù)陣描述著無窮多個內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)。從工程的觀點看，在無窮多個內(nèi)部不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，其中維數(shù)最小的一類系統(tǒng)就是所謂最小實現(xiàn)問題。180目前一百八十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點確定最小實現(xiàn)是一個復(fù)雜的問題，本節(jié)只是在前一節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上對實現(xiàn)問題的基本概念作一簡單介紹，并通過幾個具體例子介紹尋求最小實現(xiàn)的一般步驟。181目前一百八十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點一、實現(xiàn)問題的基本概念使之成立則稱該狀態(tài)空間表達式∑為傳遞函數(shù)陣W(s)的一個實現(xiàn)。應(yīng)該指出，并不是任意一個傳遞函數(shù)陣W(s)都可以找到其實現(xiàn)，通常它必須滿足物理可實現(xiàn)性條件。即(3-125)對于給定傳遞函數(shù)陣W(s),若有一狀態(tài)空間表達式∑182目前一百八十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點傳遞函數(shù)陣W(s)中的每一個元的分子分母多項式系數(shù)均為實常數(shù)。2)W(s)的元Wik(s)是s的真有理分式函數(shù)，即Wik(s)的分子多項式的次數(shù)低于或等于分母多項式的次數(shù)。當(dāng)Wik(s)的分子多項式的次數(shù)低于分母多項式的次數(shù)時稱Wik(s)為嚴(yán)格真有理分式。

若W(s)陣中所有元都為嚴(yán)格真有理分式時，其實現(xiàn)∑具有(A,B,C)的形式。183目前一百八十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點根據(jù)上述物理可實現(xiàn)性條件，對于其元不是嚴(yán)格的真有理分式的傳遞函數(shù)陣，應(yīng)首先按式(3-126a)算出D陣，使W(s)-D為嚴(yán)格的真有理分式函數(shù)的矩陣。

當(dāng)W(s)陣中只要有一個元Wik(s)的分子多項式的次數(shù)等于分母多項式的次數(shù)時，實現(xiàn)∑就具有(A,B,C,D)的形式，并且有(3-126a)然后再根據(jù)W(s)-D尋求形式為(A,B,C)的實現(xiàn)。(3-126b)即184目前一百八十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點二、能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)§3-7已經(jīng)介紹，對于一個單輸入單輸出系統(tǒng)，一旦給出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)便可以直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。本節(jié)介紹如何將這些標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)。為此，必須把mr維的傳遞函數(shù)陣寫成和單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相類似的形式。185目前一百八十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點式中n-1,n-2,,1,0—mr維常數(shù)陣；分母多項式—該傳遞函數(shù)陣的特征多項式。(3-127)即顯然W(s)是一個嚴(yán)格真有理分式的矩陣，且當(dāng)m=r=1時，W(s)對應(yīng)的就是單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。186目前一百八十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點式(3-127)形式的傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)為(3-128)(3-130)式中0r和Ir—rr階零矩陣和單位矩陣；r—輸入矢量的維數(shù)；n—式(3-127)分母多項式的階數(shù)。187目前一百八十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點與此類推，其能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)為(3-131)(3-133)式中0m和Im—mm階零矩陣和單位矩陣；m—輸出矢量的維數(shù)。188目前一百八十八頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點顯然可見，能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)的維數(shù)是nr，能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)的維數(shù)是nm。最后應(yīng)指出，多輸入多輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型并不是能控標(biāo)準(zhǔn)型簡單的轉(zhuǎn)置，這一點和單輸入單輸出系統(tǒng)不同，讀者必須注意。189目前一百八十九頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點[例3-18]試求的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。190目前一百九十頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點解首先將W(s)化成嚴(yán)格的真有理分式，可算得191目前一百九十一頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點對照式(3-127)，可得將C(sI-A)-1B寫成按s降冪排列的格式192目前一百九十二頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點將上述系數(shù)及矩陣代入式(3-128)、式(3-129)及(3-130)，便可得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣193目前一百九十三頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點194目前一百九十四頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點類似地，將i及i(i=0,1,2)代入式(3-131),式(3-132)、式(3-133)，可得能觀標(biāo)準(zhǔn)型各系數(shù)陣。195目前一百九十五頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點所得結(jié)果也進一步表明，多變量系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)之間并不是一個簡單的轉(zhuǎn)置關(guān)系。196目前一百九十六頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點三、最小實現(xiàn)

傳遞函數(shù)陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀的子系統(tǒng)的動力學(xué)行為。對于一個可實現(xiàn)的傳遞函數(shù)陣來說，將有無窮多的狀態(tài)空間表達式與之對應(yīng)。從工程角度看，如何尋求維數(shù)最小的一類實現(xiàn)，具有重要的現(xiàn)實意義。197目前一百九十七頁\總數(shù)二百二十四頁\編于八點1、最小實現(xiàn)的定義傳遞函數(shù)陣W(s)的一個實現(xiàn)(3-134)如果W(s)不存在其它實現(xiàn)使的維數(shù)小于x的維數(shù)，則稱式(3-134)