線性系統(tǒng)的頻域分析5

退出本章是本書的重點，本章的重點有：乃氏圖的繪制；伯德圖的繪制；乃奎斯特穩(wěn)定判??；系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

目前一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出基本概念1何謂乃氏（Nyquist）圖在復平面上，當由變化時，向量端點的軌跡，稱為幅相頻率特性圖即乃奎斯特圖通常又稱為極坐標圖，簡稱乃氏圖乃氏圖的優(yōu)點：它可以在一張圖上描繪出整個頻域的頻率響應。不足之處是，不能明顯地表示出開環(huán)傳遞函數(shù)中每個單獨因子的作用。0～

目前三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出2何謂尼氏（Nichols）圖尼氏圖又稱為對數(shù)幅相圖，對數(shù)幅相圖采用直角坐標系，其中取幅頻特性的對數(shù)為縱坐標，單位為分貝（dB），線性分度，取相頻特性做橫坐標單位為度（），線性分度，對數(shù)幅相圖是以頻率為參變量的。

目前五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出3何謂伯德（Bode）圖對數(shù)幅頻特性曲線以頻率為橫坐標，并采用對數(shù)分度；縱坐標表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)，單位為分貝（dB），線性分度，對數(shù)相頻特性曲線的橫坐標與對數(shù)幅頻特性曲線相同；縱坐標表示相頻特性的函數(shù)值單位為度（）線性分度，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性組成的對數(shù)坐標圖，稱之為伯德圖。目前七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出4何謂頻率響應系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應稱為頻率響應。開環(huán)系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應稱為開環(huán)頻率響應；閉環(huán)系統(tǒng)對正弦輸入穩(wěn)態(tài)響應稱為閉環(huán)頻率響應；目前九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前十頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出（1）其穩(wěn)態(tài)輸出也是與輸入信號頻率相同的正弦信號；（推倒P129）（2）穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值為，得稱為系統(tǒng)的幅頻特性；（3）穩(wěn)態(tài)輸出相對正弦輸入的相移為稱為系統(tǒng)的相頻特性，稱為相位滯后，稱為相位超前。在線性定常系統(tǒng)中，系統(tǒng)或元部件的正弦輸入信號為，當頻率由0變化到時，則其輸出量的穩(wěn)態(tài)分量的復數(shù)形式與輸入量的復數(shù)形式之比，稱為頻率特性。記為

目前十一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出5何謂最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)在s平面右半部沒有極點和零點的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在s平面右半部有極點和零點的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；反之，稱為非最小相位系統(tǒng)。目前十二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前十三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前十四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出6何謂幅角定理在s平面上任選一封閉曲線，并使上每個點不包含的零點與極點，則映射到平面上也是一條封閉曲線。當s順時針沿變化一周時，向量端點軌跡按順時針圍繞原點總圈數(shù)等于封閉曲線內包圍的零點數(shù)目與極點數(shù)目之差，其中，與是指在內的零點數(shù)與極點數(shù)。目前十五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前十六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

對的分析目前十七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出7何謂負穿越在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負實軸的段到實軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負實軸的段到實軸的上半部分，稱為負穿越；起始于（或終止于）段的負實軸的正、負穿越稱為正負半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內，當角頻率增加時，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越線稱為負穿越；目前十八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出8何謂控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性在控制系統(tǒng)的基礎上，進一步表征其穩(wěn)定程度高低的概念，稱為控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。目前十九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出5.2乃氏圖及伯特圖的繪制頻率響應法是一種圖解法，因而簡捷而準確地作出滿足工程分析和設計需要的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線是非常重要的。幅相曲線主要用于判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故只需要概略地繪制，而對于對數(shù)頻率特性——伯特圖，工程上采用簡便作圖法，即利用對數(shù)運算的特點和典型環(huán)節(jié)的頻率特性，繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性。目前二十頁\總數(shù)八十七頁\編于八點………………退出1乃氏圖的繪制（1）基本法1）作表格2）在復平面上找到相應的點，用光滑曲線連起來。表5-1

幅相表………………目前二十一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出（2）求實部、虛部分別計算的實部和虛部，在復平面上找到相應點，用光滑曲線連起來。目前二十二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出（3）找特殊點找到幾個特殊點繪制大致圖形若存在漸近線，找出漸近線，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖

目前二十三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

典型環(huán)節(jié)的乃氏圖（幅相頻率圖）的繪制1比例環(huán)節(jié)目前二十四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

2積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)目前二十五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

3慣性環(huán)節(jié)和一階環(huán)節(jié)目前二十六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

證明寫出實部與虛部各自的參量方程如下：目前二十七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

目前二十八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

4型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

目前二十九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

目前三十頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

目前三十一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

目前三十二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

目前三十三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出2伯特圖的繪制（1）將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化為典型環(huán)節(jié)的連乘積形式；（2）找出每一個典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性的交接頻率與斜率；（3）在處作20lgk，在此基礎上作積分環(huán)節(jié)，然后按轉折頻率由小至大依次作出其它環(huán)節(jié)；（4）進行必要的修正說明：在繪制Bode圖時，一般慣性環(huán)節(jié)無特殊說明不需要修正；而振蕩環(huán)節(jié)需要修正。目前三十四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出（5）分別作出每個典型環(huán)節(jié)的相頻特性，然后疊加；或者先作對數(shù)相移計算表，然后在半對數(shù)坐標紙上找到相應點再用平滑曲線連接而成。目前三十五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出1比例環(huán)節(jié)目前三十六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出2積分環(huán)節(jié)目前三十七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出3慣性環(huán)節(jié)目前三十八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出4振蕩環(huán)節(jié)目前三十九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出4振蕩環(huán)節(jié)目前四十頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前四十一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出4其他環(huán)節(jié)目前四十二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前四十三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出5.3乃氏判劇的八種形式1形式Ⅰ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當由變到時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性按逆時針方向包圍（-1，j0）點P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前四十四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前四十五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前四十六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前四十七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前四十八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出7何謂負穿越在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負實軸的段到實軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負實軸的段到實軸的上半部分，稱為負穿越；起始于（或終止于）段的負實軸的正、負穿越稱為正負半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內，當角頻率增加時，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越線稱為負穿越；目前四十九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前五十頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前五十一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出綜上所述，乃氏判據(jù)判穩(wěn)時可能發(fā)生的情況為：（Ⅰ）不包圍（-1，j0）點，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅱ）逆時針包圍（-1，j0）點次，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅲ）順時針包圍（-1，j0）點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前五十二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出問題：1在引入Nyquist判劇時，為什么只就開環(huán)極點在虛軸上的分布情況進行討論而沒有就開環(huán)零點的情況進行討論？2原點處有開環(huán)極點時為什么要補作一條虛線，虛線在實際中是否存在？補作虛線與開環(huán)傳函中的那一個環(huán)節(jié)有關系，在給出的Nyquist 判劇形式Ⅰ與形式Ⅱ中的具體關系是什么？3根據(jù)Nyquist判劇給出如下情況的分析：對于P=0的開環(huán)系統(tǒng)，若其開環(huán)頻率響應通過（-1，j0）點，則系統(tǒng)處于什么狀態(tài)？目前五十三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出2形式Ⅱ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當角頻率由0變化到＋∞時，開環(huán)頻率特性正、負穿越平面負實軸上（-1，-∞

）段的次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)極點中處于s平面右半部的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前五十四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出3形式Ⅲ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性不為負值的所有頻段內，對數(shù)相頻特性與線的正穿越與負穿越次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部的極點數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

目前五十五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前五十六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出4形式Ⅳ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在Nichols圖0dB線上方，開環(huán)頻率響應的對數(shù)幅相特性對線的正、負穿越次數(shù)差應等于，其中為s平面右半部含有的開環(huán)傳遞函數(shù)極點的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前五十七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前五十八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出5形式Ⅴ對于最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，；否則不穩(wěn)定。

6形式Ⅵ乃氏判據(jù)左手定則。乃氏判據(jù)左手定則的內容如下：將左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面內垂直且指尖向上，對于最小相位系統(tǒng)，將左手放在系統(tǒng)開環(huán)頻率特性即將包圍（-1，j0）點的最里層上，且四指指尖與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）點，則該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

目前五十九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前六十頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出7形式Ⅶ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)的開環(huán)增益增加大于原來倍，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

8形式Ⅷ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)對頻率為的信號的相角增加大于，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前六十一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出5.4穩(wěn)定裕度設計控制系統(tǒng)，要求它必須穩(wěn)定，這是控制系統(tǒng)賴以正常工作的必要條件。除此之外，還要求控制系統(tǒng)具有適當?shù)南鄬Ψ€(wěn)定性。相對穩(wěn)定性的概念：基于Nyquist判劇，當控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部無極點時，其開環(huán)頻率響應若通過點（-1，j0），則控制系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定邊緣。在這種情況下若控制系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生漂移，便有可能使控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應包圍點（-1，j0），從而造成控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在Nyquist

圖上，開環(huán)頻率響應與點（-1，j0

）的接近程度可直接表征控制系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。目前六十二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出其定性關系是：在Nyquist圖上，不包圍點（-1，j0）的情況下，若離點（-1，j0）越遠，說明具有P=0的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性程度越高；反之，越靠近點（-1，j0），則上述系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎上，進一步用以表征其穩(wěn)定程度高、低的概念，便是通常所謂的控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。目前六十三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出穩(wěn)定裕度是衡量系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的指標，有相角裕度和幅值裕度1相角裕度當系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為1時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性相角與的和定義為相角裕度，所對應的頻率稱系統(tǒng)的剪切頻率，即式中滿足目前六十四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出2幅值裕度當系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為時，系統(tǒng)開環(huán)頻率幅值的倒數(shù)定義為幅值裕度，所對應的頻率稱相位交界頻率，即如果以分貝為單位來表示幅值裕度時，有保持適當?shù)姆€(wěn)定裕度，可以預防系統(tǒng)中元件性能變化等可能帶來的不利影響。為了得到較滿意的暫態(tài)響應，一般相角裕度應當為在到之間，而幅值裕度應大于目前六十五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前六十六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出目前六十七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出5.5閉環(huán)頻率特性性能指標常用的指標有諧振峰值，系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率。1諧振峰值諧振峰值是指系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值的最大值2系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率設為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，當幅值特性下降到時，對應的頻率稱為帶寬頻率。頻率范圍稱為系統(tǒng)帶寬。

目前六十八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出5.6頻率域指標的計算對于典型二階系統(tǒng)，頻域指標可解析計算；高階系統(tǒng)頻域指標一般由經驗公式計算。1典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為有阻尼自振角頻率剪切頻率相角裕度目前六十九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出帶寬頻率諧振頻率諧振峰值典型二階系統(tǒng)的幅值裕度為無窮大目前七十頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出2高階系統(tǒng)諧振峰值的確定，工程上常采用下述經驗公式式中中間頻段目前七十一頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出例題1（教材P185，5-8）

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相特性與對數(shù)頻率特性。目前七十二頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出解：慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為找漸近線目前七十三頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出則目前七十四頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出

乃氏圖目前七十五頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出伯特圖目前七十六頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出例題2（教材P186，5-17）如圖題5-17所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。

目前七十七頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定目前七十八頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定目前七十九頁\總數(shù)八十七頁\編于八點退出例題3（教材P187，5-25）已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸近對數(shù)幅頻特性如圖題5-25所示。試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。繪制