第五章連續(xù)時間模型和BlackScholes公式演示文稿

第五章連續(xù)時間模型和BlackScholes公式演示文稿目前一頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)優(yōu)選第五章連續(xù)時間模型和BlackScholes公式目前二頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)5.1連續(xù)時間股票模型令S（t）代表某股票在t時刻的價格，假設(shè)S（t）服從幾何布朗運(yùn)動，即股票價格變動由模型

來決定。其中S代表股票價格，代表期望回報(bào)率，代表資產(chǎn)波動率，dW代表標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。5.2離散模型首先看離散資產(chǎn)價格模型。設(shè)在時刻

時的資產(chǎn)價格為

，然后設(shè)得到在0≤t≤T上離散時間的資產(chǎn)價格模型：

其次看連續(xù)資產(chǎn)價格模型，由(2)式分別表示

，得到極限形式目前三頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)由

對（3）用中心極限定理，則

可表示為具有數(shù)學(xué)期望和方差的正態(tài)隨機(jī)變量。即：

由此，在t時刻資產(chǎn)價格的動態(tài)連續(xù)時間可表達(dá)為：

還能離散地得到任意時間序列0=t0<t1<t2<…<tm的資產(chǎn)價格為：

目前四頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)資產(chǎn)價格路徑的隨機(jī)模擬

可以用（5）計(jì)算資產(chǎn)價格路徑的計(jì)算機(jī)模擬。假設(shè)以0=t0<t1<t2<…<tm=T模擬S（t）的值，則可根據(jù)公式：

來計(jì)算

故軌跡

就是離散資本幾個路徑，也可以用公式：

由于在風(fēng)險中性世界里，所以資產(chǎn)的期望收益率μ等于無風(fēng)險利率r故（7）可以重寫為：

通常以通過產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)或擬隨機(jī)數(shù)來模擬資產(chǎn)的幾個路徑，不妨設(shè)

為n資產(chǎn)價格路徑（n=1，2，…N）則由（8）可得：目前五頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)其中代表t-1到t的時間間隔，r代表無風(fēng)險利率，代表資產(chǎn)波動率，代表相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。在估計(jì)期權(quán)價格時，我們需要估計(jì)到期日的現(xiàn)金流，可以通過多次價格路徑模擬來估計(jì)。下面通過一些例子來看一看離散方法在模擬資產(chǎn)價格路徑等方面的應(yīng)用。對數(shù)正態(tài)模型

其中WT是均值為0，方差為T的隨機(jī)正態(tài)分布變量，將圍繞該直線波動，因此，如果我們（采用對數(shù)紙）描述股價的對數(shù)圖，我們可以看見這些點(diǎn)落在一條直線上，如果模型更接近現(xiàn)實(shí)的話，會有一些點(diǎn)偏離直線。目前六頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)5.3連續(xù)時間模型的分析方程

是一個隨機(jī)微分方程（SDE），大多數(shù)的SDE沒有簡潔的的封閉形式的解，但幸運(yùn)的是這個方程存在。其解就是幾何布朗運(yùn)動。

這正是具有連續(xù)時間變量T的離散模型（5.7）

這里，Bt是均值為0，方差為t的正態(tài)隨機(jī)變量。由此得到的是股價的幾何布朗運(yùn)動模型（GBM）。注意：

右邊的表達(dá)式是一個均值為

，方差為的正態(tài)隨機(jī)變量。

在幾何布朗運(yùn)動模型中，有兩個變量：波動率和漂移率，但在定價歐式看漲期權(quán)時只需要估計(jì)。公式中并沒有用到

但這兩個值如何來用股票價格估計(jì)我們還需要給出。目前七頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)幾何布朗運(yùn)動參數(shù)估計(jì)

假設(shè)有一段時間[0,T]內(nèi)的股價記錄。這段時間由n個長度相等的子區(qū)間組成，再假設(shè)已知每個子區(qū)間末的股價，將股價表示為：{：第i個子區(qū)間末的股價}，樣本觀測值為n+1個。

第一步：計(jì)算時間序列值：

由幾何布朗運(yùn)動模型值滿足如下等式：

幾何布朗運(yùn)動模型

具有下面的性質(zhì)：1、

是一個正態(tài)隨機(jī)變量，方差為，均值為0；2、這些差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。目前八頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)第二步：計(jì)算系列數(shù)值

的均值和方差。

令表示均值，則

樣本方差表示為： U的觀測值均值為

方差為第二步：解方程

和

得到

很容易得到：目前九頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)5.4Black-Scholes公式我們先介紹與B-S期權(quán)定價理論有關(guān)的一些預(yù)備知識，這些知識主要是圍繞著股票價格的變化過程而展開的，內(nèi)容包括維納過程、伊藤過程、伊藤引理、幾何布朗運(yùn)動、對數(shù)正態(tài)分布等等這些內(nèi)容是理解期權(quán)定價和更加復(fù)雜的衍生證券定價的基礎(chǔ)。維納過程

在介紹維納過程之前，先簡單介紹一下馬爾科夫過程。它是一種特殊的隨機(jī)過程，在該過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài)。當(dāng)變量遵從馬爾科夫過程時，變量在相鄰時間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。馬爾科夫過程的重要特征是：變量的隨機(jī)變化是獨(dú)立同分布的。

維納過程是馬爾科夫過程的特殊形式。如果變量服從維納過程，則該變量的期望為0，方差為1.股票價格模型通常用維納過程表達(dá)。在物理學(xué)中，這種過程也被稱為布朗運(yùn)動。目前十頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)如果變量z=z(t)服從維納過程，則其增量必須滿足如下兩個基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：

之間滿足關(guān)系

其中為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)值。

性質(zhì)2：對任何兩個不同的時間間隔

的值相互獨(dú)立。

由性質(zhì)1，得出服從期望值為0，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。性質(zhì)2意味著變量z=z(t)服從馬爾科夫過程。

再由性質(zhì)1，當(dāng)

目前十一頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)一般維納過程

變量x服從一般維納過程的定義如下：dx=adt+bdz（3）a是一般維納過程的預(yù)期漂移率，b是波動率。

式（3）由兩項(xiàng)組成，如果不考慮bdz，則有dx=adt或x=x0+at。其中x0為x在0時刻的值，經(jīng)過t時刻后，x增加值為at。

如果僅考慮bdz，則dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在變量x軌跡上的噪聲或者波動，這些噪聲或波動是維納過程的b倍。將adt和bdz一并來考慮，則有dx=adt+bdz。經(jīng)過時間增量之后，x的增量為

。將（1）代入上式，有如前所述，是自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中隨機(jī)抽取的值，因此服從正態(tài)分布，期望值是，方差是，標(biāo)準(zhǔn)差是

目前十二頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)伊藤過程和伊藤引理

如果上面隨機(jī)過程中的a與b是x和t的函數(shù)，則可得到伊藤過程:dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz（5）

其中dz是維納過程。伊藤過程中的預(yù)期漂移率和波動率隨時間而變化。

定理（伊藤引理）假設(shè)變量x服從伊藤過程，設(shè)G=G(x,t)是x的二次連續(xù)可微函數(shù)，則G(x,t)遵從如下過程：

目前十三頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)證明：由二元函數(shù)的泰勒展開公式有：

因?yàn)?/p>

由該式有結(jié)果：

根據(jù)（6）有

將（6）（7）和（8）代入（5），得到令

得到

目前十四頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)再將dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到：由伊藤定理可知，如果x,t服從伊藤過程，則x,t的函數(shù)G也服從伊藤過程，不過漂移率和波動率分別為：目前十五頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)不支付紅利股票價格的行為過程

如果假設(shè)股票價格服從一般維納過程，則有不變的期望漂移率和波動率，這不符合實(shí)際。所以，一般假設(shè)股票價格變化的比例dS/S服從一般維納過程，即：

因此，股票價格S可用漂移率和波動率的伊藤過程描述，即：

其離散形式為：如果為常數(shù)，則稱式（10）為幾何布朗運(yùn)動。幾何布朗運(yùn)動是最廣泛的描繪股票價格行為的模型。如果S服從伊藤過程，則S和t的函數(shù)G也服從伊藤過程。目前十六頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)注意，S和G都受dz的影響，我們定義G=lnS，因?yàn)椋?/p>

則（12）可簡化為因?yàn)?/p>

為常數(shù)，所以（13）也是維納過程，其漂移率是

波動率是。因此lnS在t與T時刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為

方差為

。這意味著：

目前十七頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)5.5Black-Scholes公式的推導(dǎo)修正的模型

構(gòu)造一個只包括股票和現(xiàn)金的簡單組合，假設(shè)買了a股價格為S0的股票，現(xiàn)金為b元，則投資額為：

經(jīng)過時間t后，投資的資金將變?yōu)?/p>

用無風(fēng)險利率r貼現(xiàn)該值，得到

，將（5.11）變?yōu)?/p>

并代入上式得到：

所以：所以能夠用投資組合未來價值的折現(xiàn)值計(jì)算π0，即修正后的股價模型滿足：因此修正的股價模型是：目前十八頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)二叉樹模型參數(shù)的確定

目的：在衍生證券定價中，根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動情況確定二叉樹模型中的參數(shù)（待定參數(shù)為：N，rf，u，d）簡單的：N，rf

①周期數(shù)N自定，若衍生證券的有效期限為T，則每周期時間長度為

②無風(fēng)險利率rf，若按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則單周期的無風(fēng)險利率為

麻煩的：u,d

由風(fēng)險中性概率的存在性，記

得

①從衍生證券定價的二叉樹模型出發(fā)推導(dǎo)B-S公式目前十九頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)但風(fēng)險中性概率是未知的，這個方程提供了p,u,d之間的一個關(guān)系，另一個關(guān)系方程需要從股票價格的統(tǒng)計(jì)量來得到。股票的連續(xù)復(fù)利增長率（對數(shù)收益率）

再假定的風(fēng)險中性概率下，增長率的期望為：

增長率的方差為

當(dāng)T=1時，年增長率的方差為: ②

目前二十頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)股票波動率——股票年增長率的標(biāo)準(zhǔn)差

這個統(tǒng)計(jì)量在現(xiàn)實(shí)中可由股票數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)方法得到，于是成為關(guān)于p、u、d的第二個關(guān)系方程。聯(lián)立方程①②有

目前二十一頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)常見參數(shù)選擇方式←第三個方程的給出（1）JR樹 p=q=0.5

（2）CRR樹 u=1/d

在這個模型當(dāng)中，方程①②被另外兩個方程所代替：

這樣結(jié)合ud=1可得：目前二十二頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)（3）Trigeorgis樹 ud=1

與CRR樹類似，但僅將方程①用

代替，結(jié)合方程②與ud=1可解出：

對這些參數(shù)確定方式，在數(shù)值計(jì)算中繼續(xù)討論。目前二十三頁\總數(shù)二十九頁\編于七點(diǎn)二叉樹模型的極限形式——BS公式二叉樹主要是刻畫股票價格變化過程

此時股票對數(shù)收益率

為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量

的和，而其期望與方差分別為

故期望與方差為：當(dāng)