第一量子力學基礎演示文稿

第一量子力學基礎演示文稿目前一頁\總數七十八頁\編于六點優(yōu)選第一量子力學基礎目前二頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/253

結構化學是在原子、分子的水平上，深入到電子層次，研究物質的微觀結構及其宏觀性能關系的科學。宏觀物體的運動可用經典力學解釋，微觀粒子的運動遵循量子力學。對高速運動物體的研究導致了相對論的誕生；對微觀體系的運動的研究導致了量子力學的誕生，相對論與量子力學是二十世紀物理學的兩大支柱。

1927年，海特勒和倫敦運用量子力學成功解釋了氫分子的成因，標志著量子化學的誕生，使化學由經驗科學向理論科學過渡。目前三頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/254§1-1量子力學產生的背景一、經典物理學的困難與舊量子論的誕生1.黑體輻射與普朗克（ planck）的量子論

任何物體都能受激吸收能量，又能自發(fā)輻射能量。物體低溫時能吸收什么波長的電磁波，高溫時會發(fā)射同樣波長的電磁波。吸收光的本領越強的物體就越黑，高溫時發(fā)光的本領就越強，因而越白。黑體：一種能100%吸收照射到它上面的各種波長的光，同時也能發(fā)射各種波長光的物體。目前四頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/255

進入金屬球小孔的輻射，經過多次吸收、反射，使射入的輻射全部被吸收。當空腔在吸收能量的同時也不斷從小孔輻射能量，物別是受熱時會更明顯。通過小孔逸出的電磁波是一個連續(xù)譜，比同溫度下任何其它物體表面的輻射都強，即為黑體輻射。

絕對的黑體是不存在的，帶有一個微孔的空心金屬球，非常接近于黑體。目前五頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/256黑體在不同溫度下輻射的能量分布曲線

①隨著溫度（T）的增加，總輻射能量E（即曲線下的面積）急劇增加。

②隨著溫度（T）的增加，E的極大值向高頻移動；曲線的峰值對應于輻射最強的頻率，相應的波長隨溫度升高而發(fā)生位移?！S恩位移定律——斯芯蕃公式目前六頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/257Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯）用經典電動力學和統(tǒng)計力學進行分析，把分子物理學中能量按自由度均分的原則用到電磁輻射上，推導出黑體輻射平衡時，頻率在-d范圍內強度公式：

對作圖應為一拋物線，在長波處很接近實驗曲線，在短波長處與實驗結果（能量趨于零）顯著不符（紫外災難）。Wein（維恩）用經典熱力學進行解釋，假設輻射按波長的分布類似于Maxwell的分子速率分布，所得公式在短波處與實驗比較接近，但長波處與實驗曲線相差很大。目前七頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2581900年，普朗克(M.Planck)量子化假設：

①黑體內分子、原子做簡諧振動，稱諧振子，黑體是由不同頻率的諧振子組成。諧振子的能量是不連續(xù)的，只能取某一最小的能量單位0的整數倍，0被稱為能量子，它正比于振子頻率：

E=n0

0=hγ0

γ0為諧振子的頻率，h為普朗克（planck）常數

h=6.626×10-27erg.sec=6.626×10-34J.s

目前八頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/259②諧振子的能量變化不連續(xù)，能量變化是0的整數倍。E=n20-n10=（n2-n1）0

普朗克用瑞利-金斯相同的方法推導出：

既能計算能量分布曲線的極大值，導出維恩位移定律，推出斯芯潘公式；又能在高溫低頻時還原成瑞利-金斯的結果，說明高頻時能量密度趨于零。目前九頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2510

2．光電效應與光子學說(光的粒子性)光電效應：光照在金屬表面上，金屬發(fā)射出電子的現象。金屬中的電子從光獲得足夠的能量而逸出金屬，稱為光電子，由光電子組成的電流叫光電流。①在有兩個電極的真空玻璃管兩極分別加上正負電壓。當光照在正極上，沒有電流產生；而當光照在負極上則產生電流，光電流強度與光的強度成正比。目前十頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2511

②對于每一種金屬電極，僅當入射光的頻率大于某一頻率時，才有電流產生，稱臨閾頻率，與金屬性質有關。③光電效應產生的電子的初動能隨光的頻率增大而增加而與光的強度無關。④入射光照射到金屬表面立即有電子逸出，二者幾乎無時間差。ν0ν0Ek目前十一頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2512

根據光波的經典圖象，光波的能量與它的強度（振幅的平方）成正比，而與頻率無關。因此只要有足夠的強度，任何頻率的光都能產生光電效應，而電子的動能將隨著光強的增加而增加，與光的頻率無關，這些經典物理學家的推測與實驗事實不符。

1905年愛因斯坦（A.Einstein）依據普朗克的能量子的思想，提出了光子說，圓滿地解釋了光電效應。

目前十二頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2513①光的能量是量子化的，最小能量單位是光子，。②光為一束以光速運動的光子流，光的強度I正比于光子的密度ρ，ρ為單位體元內光子的數目。③光子具有質量，根據質能聯系定律：

光子的質量與光的頻率或波長有關，但光子沒有靜止質量，因為根據相對論原理：

目前十三頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2514④光子有動量P

⑤光子與電子碰撞時服從能量守恒和動量守恒。

——光電方程或愛因斯坦關系式光照射到金屬上，當金屬中的一個電子受到一個光子撞擊時，產生光電效應，光子消失，并把它的能量轉移給電子。電子吸收的能量一部分用于克服金屬對它的束縛力，其余表現出光電子的動能。目前十四頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2515

當hγ<W（脫出功）時，光子沒有足夠的能量使電子逸出金屬，不發(fā)生光電效應。當hγ=W時，這時的頻率是產生光電效應的臨閾頻率（γ0）。當hv>W時,從金屬中發(fā)射的電子具有一定的動能,它隨頻率的增加而增加,與光強無關。但增加光的強度可增加光束中單位體積內的光子數，因而增加發(fā)射電子的速率。只有把光看成是由光子組成的才能理解光電效應，而只有把光看成波才能解釋衍射和干涉現象,光表現出波粒二象性。目前十五頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25163．氫原子光譜與玻爾的氫原子模型

當原子被電火花、電弧或其它方法激發(fā)時，能夠發(fā)出一系列具有一定頻率（或波長）的光譜線，這些光譜線構成原子光譜。

目前十六頁\總數七十八頁\編于六點目前十七頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2518萊曼系（Lyman）

n1=1

n2=2，3...

遠紫外區(qū)

巴爾麥線系（Balmer）

n1=2n2=3，4...Hα，Hβ，Hγ，

Hδ為可見區(qū)，其余為近紫外區(qū)帕邢系（Paschen）

n1=3n2=4，5...

近紅外區(qū)

布拉開系（Brackett）

n1=4n2=5，6...遠紅外區(qū)

普豐德系（Prfund）

n1=5

n2=6，7...

遠紅外區(qū)

為里德堡常數，

=1.09677576×107m-1

目前十八頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25191913年玻爾理論（舊量子論）

①原子存在具有確定能量的狀態(tài)—定態(tài)（能量最低的叫基態(tài)，其它叫激發(fā)態(tài)），定態(tài)不輻射。②定態(tài)（E2）→定態(tài)（E1）躍遷,輻射能量。

——玻爾頻率規(guī)則③電子軌道角動量

(=)n=1,2,3,……

目前十九頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2520目前二十頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2521目前二十一頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2522

當氫原子核外電子在半徑為r的圓形軌道上以速度為v運動時，受到的離心力與核對電子的庫侖引力相等。

為電子質量為真空電容率n=1，2，3，...

當n=1,r=52.9pm為氫原子基態(tài)的半徑，稱為玻爾半徑(a0)目前二十二頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2523氫原子的總能量：目前二十三頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2524氫原子的半徑和能量都是量子化的。若電子在兩能級間躍遷吸收或發(fā)射的電磁波滿足：玻爾理論不僅成功地解釋了當時已知的氫原子光譜n1=2,3,4,…的巴爾麥線系、帕刑線系、布喇開線系，而且還預測到n1=1的賴曼線系的存在。1915年賴曼線系在遠紫外區(qū)被發(fā)現。1922獲諾貝爾物理學獎。

目前二十四頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2525二、實物粒子的波粒二象性1.德布羅意假說(粒子的波動性)實物粒子：靜止質量不為零的微觀粒子。如電子、質子、中子、原子、分子等。

1924年德布羅意（deBroglie）提出實物粒子也具有波粒二象性：λ為物質波的波長，P為粒子的動量，h為普郎克常數,ε為粒子能量，γ為物質波頻率。

目前二十五頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25262.物質波的實驗證實—電子衍射

1927年，戴維遜(Dawison)—革末(Germer)的鎳單晶體電子衍射實驗，湯姆遜(G.P.Thomson)的多晶體電子衍射實驗發(fā)現，電子入射到金屬晶體上產生與光入射到晶體上同樣的衍射條紋，證實了德布羅意假說。目前二十六頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2527例2（1）求以1.0×106m·s-1的速度運動的電子的波長。

這個波長相當于分子大小的數量級，說明分子和原子中電子運動的波動性顯著的。（2）求1.0×10-3kg的宏觀粒子以1.0×10-2m·s-1的速度運動時的波長。

這個波長太小，觀察不到波動效應。目前二十七頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2528例3

計算動能為300eV的電子的德布羅意波長.

解:已知h=6.62610-27erg.secm=9.1110-28g1eV=1.60210-12erg

由

因此

目前二十八頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2529實物微粒波代表什么物理意義呢？1926年，玻恩（Born）提出實物微粒波的統(tǒng)計解釋。空間任何一點上波的強度（振幅絕對值的平方）和粒子出現的幾率成正比，稱為幾率波。機械波是介質質點的振動，電磁波是電場和磁場的振動在空間的傳播，而實物微粒波的強度反映粒子幾率出現的大小，稱幾率波。較強的電子流可在短時間內得到電子衍射照片，但用很弱的電子流，讓電子先后一個一個地到達底片，只要時間足夠長，也能得到同樣的衍射圖形。電子衍射不是電子之間相互作用的結果，而是電子本身運動的所固有的規(guī)律性。

？？電子的波性是和微粒行為的統(tǒng)計性聯系在一起的。目前二十九頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2530原子和分子中的電子其運動具有波性，其分布具有幾率性。原子和分子的運動可用波函數描述，而電子出現的幾率密度可用電子云描述。

目前三十頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25313.不確定關系（測不準原理）測不準原理是由微觀粒子本質特性決定的。1927年海森堡（（Heisenberg）提出：一個粒子不能同時具有確定的坐標和動量（也不能將時間和能量同時確定），它要遵循測不準關系。電子束和光一樣通過一狹縫可以發(fā)生衍射現象。一束以速度v沿y方向前進的電子束,通過寬度為d的狹縫,在屏幕E(x方向)上產生衍射條紋。在x1和-x1處出現第一對衍射條紋（暗線）,其所對應的衍射角α滿足光的狹縫衍射定律：即狹縫上下邊緣到達x1處的光程差

目前三十一頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2532現僅考慮電子到達屏幕出現第一級極小的范圍(x1和-x1間),電子的動量在x方向的分量px：電子的動量在x方向的不確定程度電子的位置在x方向的不確定程度(狹縫的寬度)可得:

根據德布羅意關系式根據上述的電子衍射條件，于是

考慮到其他各級衍射應有：目前三十二頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2533如果粒子的位置完全確定時，，則其動量完全不確定，反之，必有。海森堡的不確定關系式

測不準關系

ΔE為粒子所處能量狀態(tài)的不確定量，Δt為粒子在此能量狀態(tài)停留的時間，即平均壽命。只有粒子在某能量狀態(tài)的壽命無限長時，它的能量才是完全確定的。目前三十三頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2534例（1）質量為0.01kg的子彈，運動速度為1000ms-1，若速度的不確定程度為其運動速度的1%，則其位置的不確定程度為：

可以用經典力學處理（2）運動速度為1000ms-1的電子，若速度的不確定程度為其運動速度的1%，則其位置的不確定程度為：不可以用經典力學處理目前三十四頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2535不確定關系式的應用：①可定性說明原子中電子為什么不會掉進原子核里去。②可定性說明氫原子核外電子不可能處在玻爾軌道上運動。③關于譜線自然寬度的解釋。目前三十五頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2536§1-2量子力學基本原理

1925-1926年科學家提出了兩個描述微觀運動規(guī)律的力學理論：薛定諤（SchrodingerE）的波動力學,數學工具是微分方程；海森堡的矩陣力學，數學工具是線性代數。兩者是同一種力學規(guī)律的兩種不同的描述。

30個代狄拉克（DiracPAM）把它們用更普遍的形式表述出來，稱為量子力學。1932年海森堡、1933年薛定諤和狄拉克力學的貢獻獲諾貝爾物理學獎。

目前三十六頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2537量子論發(fā)展簡表1900蒲朗克（M.Planck）提出能量量子化的觀念解釋黑體輻射。1905愛因斯坦提出光量子（即光子）觀念解釋光電效應。1909愛因斯坦由蒲郎克黑體輻射公式研究輻射的能量均方起伏，他發(fā)現輻射同時具有波動和粒子的特性。1913波爾提出氫原子模型解釋氫原子光譜。1916索末斐（A.Sommerfeld）提出更廣的量子化條件。1918波爾提出對應原理（correspondenceprinciple）。1922

6月12日到22日，波爾在哥丁根演講，索末斐，海森堡，包利（Pauli）等參加。1923德布羅意（deBroglie）提出物質波（matterwave）觀念。1924～1925初愛因斯坦推廣波色統(tǒng)計（BoseStatistics）得到理想氣體的統(tǒng)計法。他發(fā)現理想氣體的能量均方起伏也同時具有波動和粒子的特性。目前三十七頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25381925年5月，海森堡在海姑蘭島（Heligoland）完成矩陣力學（matrixmechanics）第一篇論文。9月，波恩（M.Born）和約旦（P.Jordan）完成一篇矩陣力學的系統(tǒng)陳述。11月，波恩，海森堡和約旦合作完成一篇矩陣力學涵蓋極廣的論文。狄拉克（P.A.M.Dirac）完成量子力學的基本公式。1926年1月到6月，薛丁格（E.Schr?dinger）完成五篇論文，其中四篇建立了波動力學（wavemechanics），另一篇證明波動力學與矩陣力學在數學上等效（equivalent）。6月，波恩提出波動函數的或然率詮釋（probabilityinterpretation）。9月，薛丁格應邀到哥本哈根討論量子力學的詮釋。12月，狄拉克和約旦提出變換理論（transformationtheory）。1927年2月，海森堡提出測不準原理（uncertaintyprinciple）。波爾提出互補性（comple-mentarity）的觀念。10月24日到29日，第五次薩爾未會議（Solvayconference）召開，愛因斯坦和波爾等人討論量子力學的詮釋。目前三十八頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2539

量子力學是描述微觀粒子運動規(guī)律的科學，微觀粒子的主要特征是能量量子化。量子力學是一個公理體系，建立在若干基本假設的基礎上。這些假設是不能被證明的，但從這些基本假設出發(fā)，可推導出一些重要結論，用以解釋和預測許多實驗事實。經過半個多世紀的考驗，說明作為這些基本假設是正確的。目前三十九頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2540一、波函數與微觀粒子的狀態(tài)1.波函數假設假設Ⅰ：對于一個量子力學體系，可以用坐標變量q和時間變量t的函數ψ（q,t）來描述，這一函數稱為波函數。它隱含著微觀體系的運動狀態(tài)，又稱狀態(tài)函數或態(tài)函數，簡稱態(tài)。一個粒子的體系，波函數：ψ=ψ（x,y,z,t）或：ψ=ψ（q,t）三個粒子的體系，波函數：

ψ=ψ（x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t）或ψ=ψ（q1,q2,q3,t）或ψ=（1,2,3,t）

不含時間的波函數（x,y,z）稱為定態(tài)波函數。目前四十頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2541

空間某點波的強度與波函數絕對值的平方成正比，即在該點附近找到粒子的幾率正比于ψ*ψ，稱為幾率波。原子、分子等體系中將ψ稱為原子軌道或分子軌道；對于單個粒子，ψ*ψ代表粒子的概率密度（幾率密度），就是電子云；ψ*ψdτ為空間某點附近體積元dτ中電子出現的幾率；在整個空間找到一個粒子的概率為：

ψ*ψdτ=1

玻恩（M.Born）物質波的統(tǒng)計解釋粒子的波動性（即德布羅意波）表現在粒子在空間出現幾率的分布的波動，這種波也稱作“幾率波”。

目前四十一頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2542波函數可以是復變函數，例如ψ=f+ig的共軛函數為ψ*=f-ig

=(f-ig)(f+ig)=f2+g2與

所描述的幾率密度分布是相同的。

例1證明證：目前四十二頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25432.合格（品優(yōu)）波函數由于表示幾率密度的物理意義，波函數必須：①單值的，在空間每一點ψ只能有一個值；②連續(xù)的（可微的），ψ的值不出現突躍；ψ對x，y，z

的一級微商也是連續(xù)函數；③有限的（平方可積的），ψ在整個空間的積分為一個有限數，通常要求波函數歸一化，具有歸一性,即：

目前四十三頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25443.波函數的歸一性

如果波函數不是歸一的，可想辦法使它歸一化。選取ψ?=cψ,c為常數，令

ψ?=cψ就是合格的波函數。例2

指出下列那些是合格的波函數(粒子的運動空間為

）(a)sinx(b)e-x(c)1/(x-1)(d)f(x)=ex(0≤x≤

1);f(x)=1(x>1)

(b)合格目前四十四頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2545exp

線性算符：若算符對任意函數f(x)和g(x)，滿足：

則為線性算符。為線性算符。二、力學量和算符1．算符

一個運算符號G作用到一函數ψ上，如果得到一新函數Φ，那么G就稱為算符（operator）。算符即表明一種運算或一種操作或一種變換的符號。例如：目前四十五頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2546

如果算符和滿足則稱算符是可交換的。*如果算符滿足f(x)=af(x)，其中a為常數，則稱a是算符的一個本征值，f(x)為算符的屬于本征值a的本征函數，上述方程稱為本征方程。目前四十六頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2547例3：

,,exp,中那些是線性算符

和是線性算符.例4:下列函數,那些是的本征函數？并求出相應的本征值。

(a)eimx(b)sinx(c)x2+y2(d)(a-x)e-x解答:(a)eimx=-m2eimx,其相應的本征值為-m2

(b)sinx=-sinx,其相應的本征值為-1目前四十七頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25482．力學量算符（1）力學量與算符關系假設假設Ⅱ微觀體系每一個可觀察的力學量都對應于一個線性厄米算符。（2）構成力學量算符的規(guī)則：①時間、空間坐標的算符：,

力學量f=f(q,t)，則。②動量算符:對于單粒子一維運動的動量算符

③寫出物理量的經典力學表達式，表示成坐標、動量、時間的函數，然后把其中的物理量用算符代替。目前四十八頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2549（3）一維空間運動粒子的能量算符

H=T+V

體系的哈密頓算符：

對于三維空間：

其中拉普拉斯（Laplacian）算符

所以目前四十九頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2550（4）算符本征值假設當對量子體系的某一力學量進行測量時，每次可得一個數值q，q和體系狀態(tài)與該力學量的算符Q之間有以下關系：

上式為算符Q的本征方程，q是算符Q的本征值，是算符Q的本征函數。

目前五十頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2551（5）力學量的本征值和平均值微觀體系處于狀態(tài)ψ（q,t），力學量G有確定值g的條件是體系處于本征態(tài)：

如果ψ（q,t）不是的本征態(tài)，則力學量G無確定值，但有一平均值。

若波函數是歸一化的目前五十一頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2552（6）角動量算符一質量為m的粒子圍繞點O運動,其角動量

按照矢量差乘的定義有:

直角坐標下量子力學算符目前五十二頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2553

球極坐標形式:

*球極坐標與直角坐標的變換關系:x=rsinθcosφ

；y=rsinθsinφ

；z=rcosθ

與算符是可以交換的，根據量子力學定理，一對可交換的量子力學算符具有共同的本征函數集。而與、是不可交換的,、與之間也是不可交換的。目前五十三頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25543.量子力學態(tài)疊加原理一個量子力學體系，在ψ1描述的狀態(tài)下測得的物理量G有一個確定值g1，在ψ2狀態(tài)下有確定值g2，則ψ=c1ψ1+c2ψ2狀態(tài)下G的值是不確定的?？赡苁莋1，也可能是g2，不會有其它值；測量得到g1、g2的相對概率也是完全確定的。假設Ⅲ如果用ψ1，ψ2，ψ3……ψn描寫一個微觀體系的n個可能狀態(tài)，則由它們的線性疊加所得波函數也描寫這個體系的一個可能狀態(tài)。目前五十四頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2555

如果ψ已經歸一化，表示狀態(tài)ψi對組合狀態(tài)的貢獻。如果ψi是某個力學量算符的本征態(tài)，體系G的平均值為：

目前五十五頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2556

經典波也具有疊加性，如果一個波ψ可以由n個子波疊加而成，表明這個合成的波含有各種成分的子波。量子力學中態(tài)的疊加在數學形式上與經典波的疊加相同，物理本質上有根本區(qū)別。經典波指n個波系互相干涉合成一個波系；量子力學中態(tài)的疊加指一個體系的n個不同態(tài)之間的相互干涉。態(tài)疊加與經典波疊加的區(qū)別目前五十六頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25574．量子力學的基本方程—薛定諤方程假設Ⅳ微觀體系的運動方程是含時間的的薛定諤方程，振幅方程是定態(tài)薛定諤方程。（1）含時間的薛定諤方程即體系的勢能不隨時間變化，即體系的總能量不隨時間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。目前五十七頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2558（2）定態(tài)薛定諤方程當體系的哈密頓算符不含時間變量，薛定諤方程為哈密頓算符的本征方程：

即：

本征值E為體系的總能量，其本征函數為體系與本征值E對應的定態(tài)波函數。5.微觀粒子除作空間運動外還作自旋運動。

目前五十八頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2559§1-3量子力學基本原理的簡單應用一、一維無限深勢阱中的粒子1．一維無限深勢阱模型粒子在一維空間（x）運動：V(χ)=0(0<χ<l)V(χ)=∞(χ≤0,χ≥l)勢函數如一口無限深井，粒子被束縛在x軸的0→l區(qū)域?！蕖辺0o→ⅠⅡⅢVV目前五十九頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25602．薛定諤方程的求解（1）體系的哈密頓算符在勢箱內：在勢箱外：由于V(x)=∞，(x)=0（2）勢箱內的薛定諤方程

二階、線性、常系數、齊次微分方程

目前六十頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2561（3）求解微分方程的通解二階、線性、常系數、齊次微分方程的通解：根據歐拉公式：于是其通解為：

即：目前六十一頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2562（4）根據邊界條件討論微分方程的特解

必須是連續(xù)的，邊界處應有(0)=0,(l)=0。

①

②(l)=0,即因為B0,否則會使x無論取何值都為0，即得方程的0解，即在勢箱內找到離子的概率為0。只有

(n=1,2,3,...)目前六十二頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2563n的取值不能為0，若n=0

；因為E=0使即在勢箱中找到離子的概率為0，與事實不符。

n為正、負時En不變，只相差一個符號，在量子力學中表示同一個態(tài)。所以n的負值可舍去，n稱為量子數。

的特解:

（n=1,2,3,…）

量子化的本征值和本征函數目前六十三頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2564（5）用波函數的歸一化條件，確定系數B。

得到：目前六十四頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/25653．一維勢箱中粒子的計論（1）能量量子化

要使薛定諤方程的解有確定意義且滿足體系的特定條件（邊界條件），能量必需是量子化的，只能取分立值。

n為能量的量子數，n=1時為基態(tài)，n=2時為第一激發(fā)態(tài)，n=3時為第二激發(fā)態(tài)。普朗克和波爾的量子化條件是人為引入的；本例中能量量子化是解方程中自然得到的。目前六十五頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2566（2）零點能

n=1的狀態(tài)是能量最低的狀態(tài)，稱基態(tài)。能量為零點能。粒子永遠運動著，零點能是不確定關系的必然結果。（3）離域效應體系能量En與勢箱長度平方成反比，勢阱越寬，箱中粒子的活動范圍越大，體系能量越低。由于活動范圍增大引起的能量降低效應稱為離域效應。共軛多烯Л電子在整個共軛體系上運動，共軛體系越大，Л電子能量越低，分子越穩(wěn)定。目前六十六頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2567（4）En的能級間隔規(guī)律

（5）波函數的正交歸一性是歸一化的,n與m是正交的。目前六十七頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2568對于勢箱波函數:將波函數的正交性與歸一性合并表示為:目前六十八頁\總數七十八頁\編于六點2023/5/2569（6）波函數和節(jié)點波函數對x作圖，對x作圖：P27圖1.7

目前六十九頁\總數七十