線性控制理論控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性演示文稿

線性控制理論控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性演示文稿1目前一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)優(yōu)選線性控制理論控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性目前二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)3內(nèi)容提要

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本章主要介紹狀態(tài)空間分析法中系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定、外部穩(wěn)定李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定的基本概念和定理李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法的應(yīng)用利用MATLAB判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)4知識(shí)要點(diǎn)：

內(nèi)部穩(wěn)定、外部穩(wěn)定，李氏意義下的穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定，克拉索夫斯基法判穩(wěn)，變量－梯度法。目前四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)54.1系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性可分為基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性。1892年俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫（A.M.Lyapunov）就如何判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，提出了李雅普諾夫第一法和第二法。第一法的基本思路是先求解系統(tǒng)的線性化微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。稱為間接法。目前五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)6第二法的基本思路是不需要求解系統(tǒng)的微分方程式（或狀態(tài)方程式）就可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析和判斷，稱為直接法。它通過(guò)構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不但能用來(lái)分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且也能用來(lái)判別非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)7外部穩(wěn)定性：系統(tǒng)在零初始條件下通過(guò)其外部狀態(tài)，即系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系所定義的（零狀態(tài)響應(yīng)）。適用于線性系統(tǒng)。內(nèi)部穩(wěn)定性：系統(tǒng)在零輸入條件下，由內(nèi)部狀態(tài)變化所定義。適用于線性、非線性系統(tǒng)。（零輸入響應(yīng)）

對(duì)于同一線性系統(tǒng)。只有在一定條件下，兩種定義才具有等價(jià)性。

李雅普諾夫方法：適用于線性、非線性、時(shí)變系統(tǒng)。目前七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)8

包括零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)和經(jīng)典理論中穩(wěn)定性問(wèn)題一樣，考慮外部穩(wěn)定性問(wèn)題。而零輸入響應(yīng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，即研究齊次方程由任意非零初態(tài)引起的響應(yīng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，這是一種內(nèi)部穩(wěn)定性問(wèn)題。

1892年，俄國(guó)人李雅普諾夫發(fā)表了《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》的博士論文，提出了分析穩(wěn)定性的兩種有效方法。第一種方法，通過(guò)對(duì)線性化系統(tǒng)特征方程的根的分析來(lái)判斷穩(wěn)定性，稱為間接法。此時(shí)，非線性系統(tǒng)必須先線性近似，而且只適用于平衡狀態(tài)附近。第二種方法，從能量的觀點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，稱為直接法。顯然，第二種方法對(duì)線性、非線性系統(tǒng)都適用。在狀態(tài)空間中，目前八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)94.1.1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性1.外部穩(wěn)定性系統(tǒng)的輸入和輸出間的描述就是外部描述，當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)，單輸入單輸出的線性時(shí)變系統(tǒng)，其輸入—輸出描述可表示為（4-1）式中，是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，它是在時(shí)刻加入函數(shù)后，系統(tǒng)在時(shí)刻t的輸出，是系統(tǒng)的輸入信號(hào)，是系統(tǒng)的輸出信號(hào)。目前九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)10對(duì)于線性定常系統(tǒng)，式（4-1）可以寫(xiě)成

相應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為就是單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（4-2）目前十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)11對(duì)多輸入多輸出的線性時(shí)變系統(tǒng)，系統(tǒng)的初始條件為零，在時(shí)刻每一個(gè)輸入端加入一個(gè)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的每一個(gè)輸出端在時(shí)刻t都有一個(gè)脈沖響應(yīng)，比如在第j個(gè)輸入端加入一個(gè)函數(shù)，在第i個(gè)輸出端就有一個(gè)脈沖響應(yīng)，，將這些脈沖響應(yīng)函數(shù)組成一個(gè)矩陣，就是多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的脈沖矩陣，即目前十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)12當(dāng)初始條件為零，系統(tǒng)在輸入向量的作用下，輸入輸出描述可表示為

其中，—系統(tǒng)的輸出向量。（4-3）目前十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)13對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為零的輸入—輸出描述可表示為（4-4）相應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為其中，—系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)陣；—傳遞函數(shù)矩陣。目前十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)14定義4-1

一個(gè)零初始狀態(tài)的線性系統(tǒng)稱之為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，對(duì)于任意有界輸入，其輸出是有界的。

注意，這里必須假定系統(tǒng)的初始條件為零。因?yàn)橹挥性谶@種假定下，系統(tǒng)的輸入—輸出描述才是惟一的和有意義的。下面，給出一些常用的判據(jù)。，，目前十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)15定理4-1

對(duì)零初始狀態(tài)r維輸入和m維輸出的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，時(shí)刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)k，使對(duì)一切，中所有元均滿足關(guān)系式

（4-5）目前十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)16證明（1）單輸入單輸出情形充分性證明：令輸入為有界函數(shù)，即滿足則由基于脈沖響應(yīng)的輸出關(guān)系式，可以得到由定義可知系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定。目前十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)17必要性證明：采用反證法，已知系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，設(shè)存在某個(gè)，使有（4-6）則可構(gòu)造如下一個(gè)有界輸入

（4-7）

目前十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)18其對(duì)應(yīng)的輸出如下（4-8）即輸出為無(wú)界，與已知系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的假設(shè)矛盾。因此，反設(shè)不成立，證得（4-9）目前十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)19（2）多輸入多輸出情形注意此時(shí)系統(tǒng)輸出的任一分量，均有（4-10）

且有限個(gè)有界函數(shù)之和仍為有界。因此，利用單輸入單輸出情形討論，即可證得結(jié)論。目前十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)20定理4-2對(duì)零初始狀態(tài)r維輸入和m維輸出連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，令初始時(shí)刻，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)k，使脈沖響應(yīng)矩陣所有元均滿足關(guān)系式

等價(jià)地，傳遞函數(shù)矩陣為真或嚴(yán)真有理分式陣時(shí)，的每一元素的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。

（4-11）

目前二十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)21外部穩(wěn)定性有界輸入有界輸出穩(wěn)定性；線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；零初始條件。定義：初始條件為零的系統(tǒng)，任何一個(gè)有界輸入作用下系統(tǒng)的輸出也是有界的，則系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。BIBO穩(wěn)定：BoundedinputBoundedoutput目前二十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)22*.單輸入單輸出系統(tǒng)（模的有界性）目前二十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)23*.多輸入多輸出系統(tǒng)（模的有界性）可用每個(gè)分量的模的有界性表征。目前二十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)242．內(nèi)部穩(wěn)定性

穩(wěn)定性問(wèn)題是系統(tǒng)自身運(yùn)動(dòng)的一種動(dòng)態(tài)屬性，在研究運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，常限于研究無(wú)外部輸入作用時(shí)的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)通常稱為自治系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，A(t)—nn時(shí)變矩陣；

目前二十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)25當(dāng)輸入為零，任給初始狀態(tài)，自治狀態(tài)方程（4-12）

的解為其中，—狀態(tài)由任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)。目前二十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)26定義4-2如果由時(shí)刻任意非零初始狀態(tài)

引起狀態(tài)的零輸入響應(yīng)對(duì)所有為有界，且滿足漸近屬性，即成立，則稱連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻為內(nèi)部穩(wěn)定。定理4-3對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變自治系統(tǒng)(4-12)，系統(tǒng)在時(shí)刻是內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)所有為有界，并滿足漸近屬性，（4-13）

目前二十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)27定理4-4對(duì)維連續(xù)時(shí)間線性定常自治系統(tǒng)

系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣指數(shù)函數(shù)滿足漸近屬性

即下式成立（4-16）（4-14）

（4-17）目前二十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)28內(nèi)部穩(wěn)定實(shí)際上是研究系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的穩(wěn)定性，它和后面將要介紹的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析是一致的。目前二十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)29例

單入單出系統(tǒng)初始狀態(tài)x0，分析系統(tǒng)的外部與內(nèi)部穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)在輸入u的作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為

y1為零輸入響應(yīng)，y2為零狀態(tài)響應(yīng)。1）根據(jù)外部穩(wěn)定性的定義，有x0=0，若系統(tǒng)對(duì)任何有界輸入

則該系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性。即零狀態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩或衰減響應(yīng)。（系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部。）零極點(diǎn)對(duì)消？能控且能觀？最小實(shí)現(xiàn)？目前二十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)30系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定，即漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足下式2）根據(jù)內(nèi)部穩(wěn)定性的定義，有u=0，系統(tǒng)由任意非零初態(tài)x0引起的響應(yīng)xu(t)為對(duì)于線性定常系統(tǒng)，滿足上式的條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部?？梢?jiàn)，對(duì)于同一系統(tǒng)，只有在一定條件下，外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性兩種定義才具有等價(jià)性。目前三十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)313．內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系系統(tǒng)外部穩(wěn)定性反映了輸出的穩(wěn)定性，內(nèi)部穩(wěn)定則是反映了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的穩(wěn)定，它們之間有什么樣的內(nèi)在關(guān)系，這對(duì)工程應(yīng)用是有實(shí)際意義的。本節(jié)限于連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，討論和給出內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的等價(jià)條件。目前三十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)32定理4-5對(duì)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)

其中，—n維狀態(tài)向量；—r維輸入量；

—m維輸出向量。若系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)必為BIBO穩(wěn)定即外部穩(wěn)定。（4-18）目前三十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)33定理4-6對(duì)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)式（4-18）,系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定即外部穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)必為內(nèi)部穩(wěn)定即漸近穩(wěn)定。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解中指出，傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中能控能觀測(cè)部分。因此，系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定即極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部的事實(shí)，只能保證系統(tǒng)的能控能觀測(cè)部分特征值均具有負(fù)實(shí)部，不能保證系統(tǒng)的能控不能觀測(cè)、不能控能觀測(cè)和不能控不能觀測(cè)各部分特征值均具有負(fù)實(shí)部。由此，系統(tǒng)為BIBO穩(wěn)定不能保證系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定。目前三十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)34由定理4-5知，系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定意味著系統(tǒng)外部穩(wěn)定。而由定理4-6可知，在系統(tǒng)聯(lián)合完全能控和完全能觀測(cè)條件下，系統(tǒng)外部穩(wěn)定意味著系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定。系統(tǒng)外部穩(wěn)定和系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定等價(jià)的充分必要條件是系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控和完全能觀測(cè)。目前三十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)35外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性之間的關(guān)系

單輸入單輸出系統(tǒng)1.若傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消不存在公因子相消，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)特征值相同。極點(diǎn)→外部穩(wěn)定性；特征值→狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣→狀態(tài)軌跡→內(nèi)部穩(wěn)定性；內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性目前三十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)362.若系統(tǒng)存在公因子相消-零極點(diǎn)對(duì)消

傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)少于系統(tǒng)特征值，由于可能消去的是正實(shí)部的極點(diǎn)，則系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性，但不一定具有內(nèi)部穩(wěn)定性。G(s)的極點(diǎn)只是矩陣A的特征值的子集。內(nèi)部穩(wěn)定外部穩(wěn)定外部穩(wěn)定內(nèi)部穩(wěn)定目前三十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)37結(jié)論（線性定常系統(tǒng)）：★4.若系統(tǒng)狀態(tài)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)輸出是穩(wěn)定的。1.內(nèi)部穩(wěn)定外部穩(wěn)定2.外部穩(wěn)定內(nèi)部穩(wěn)定3.若系統(tǒng)能控能觀，則內(nèi)部穩(wěn)定外部穩(wěn)定

只用傳遞函數(shù)的極點(diǎn)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性不一定真正反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部可能有一些狀態(tài)越界，導(dǎo)致系統(tǒng)飽和或出現(xiàn)危險(xiǎn)。目前三十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)38李雅普諾夫穩(wěn)定性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性指的是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)下受到擾動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)“足夠長(zhǎng)”的時(shí)間以后，系統(tǒng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的能力。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是相對(duì)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的。自治系統(tǒng)的靜止?fàn)顟B(tài)就是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。目前三十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)39

自治系統(tǒng)的一般形式可用顯含時(shí)間變量t

的狀態(tài)方程來(lái)描述式中，—n維狀態(tài)向量；—線性或非線性、定?；驎r(shí)變的n維向量函數(shù)初始狀態(tài)相應(yīng)的解式中，—狀態(tài)向量的初始值；—初始時(shí)刻。

（4-23）目前三十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)401.平衡狀態(tài)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，若對(duì)所有，狀態(tài)滿足，則稱該狀態(tài)為平衡狀態(tài)，記為。故有下式成立由（4-24）在狀態(tài)空間中所確定的點(diǎn)，稱為平衡點(diǎn)。由定義式可見(jiàn)，平衡狀態(tài)將包含在這樣一個(gè)代數(shù)方程組中。對(duì)不同類型的系統(tǒng)平衡點(diǎn)求解如下（4-24）

目前四十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)41(1)線性定常系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

方程(4-23)化成平衡狀態(tài)應(yīng)滿足代數(shù)方程。解此方程，當(dāng)A是非奇異時(shí)，則系統(tǒng)存在惟一的一個(gè)平衡點(diǎn)。當(dāng)A是奇異時(shí)，則系統(tǒng)的平衡點(diǎn)可能不止一個(gè)。（a）A為非奇異陣，原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)（b）A為奇異陣，還有其他平衡狀態(tài)目前四十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)42例： 注意：在t0時(shí)刻的平衡狀態(tài)，指t≥t0時(shí)，所有滿足A(t)x=0的狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，若無(wú)輸入作用，則系統(tǒng)一直處于該狀態(tài)。

由Ax=0，可知平衡狀態(tài)為x1∈R,x2=0原點(diǎn)必為一個(gè)平衡狀態(tài)。目前四十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)43(2)非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)方程的解可能有多個(gè)，視系統(tǒng)方程而定。如其平衡狀態(tài)應(yīng)滿足式(4-24)，即得該系統(tǒng)存在三個(gè)平衡狀態(tài)：目前四十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)44例：

由平衡狀態(tài)定義，令f(x1,x2)=0，可求得平衡狀態(tài)目前四十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)45注：★1、線性系統(tǒng)的任意平衡狀態(tài)均可通過(guò)坐標(biāo)變換將其移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，其穩(wěn)定性是一致的。

不失一般性的，我們認(rèn)為線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)確定為xe=0，也就是說(shuō)我們只取坐標(biāo)原點(diǎn)作為平衡點(diǎn)進(jìn)行研究。

2、對(duì)線性定常系統(tǒng)，可以認(rèn)為是研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而對(duì)其他系統(tǒng)，只能認(rèn)為是研究某一平衡態(tài)下的穩(wěn)定性。目前四十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)46

2.范數(shù)的概念李雅普諾夫穩(wěn)定性定義中采用了范數(shù)的概念。1）范數(shù)n維狀態(tài)空間中，向量x的長(zhǎng)度稱為向量x的范數(shù)，用||x

||表示，則目前四十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)472）向量的距離長(zhǎng)度稱為向量x與xe的距離，寫(xiě)成當(dāng)?shù)姆稊?shù)限定在某一范圍之內(nèi)時(shí)，則記

上式有其幾何意義，在三維狀態(tài)空間中表示以xe為球心、以為半徑的一個(gè)球域，可記為。目前四十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)48

3.李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性定義與工程上經(jīng)典的定義不完全一致，在概念上有一些區(qū)別。下面分別介紹這些定義并指出它們之間的聯(lián)系與差異。圖4-1球域目前四十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)49

如圖所示三個(gè)系統(tǒng)，均處于平衡狀態(tài)，考察其受擾動(dòng)作用，自平衡狀態(tài)偏離后的系統(tǒng)響應(yīng)。（a）自由響應(yīng)有界；（b）自由響應(yīng)有界，且最終返回原來(lái)初態(tài)；（c）自用響應(yīng)無(wú)界。(a)(b)(c)李雅普諾夫把以上三種情況分別定義為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、不穩(wěn)定。目前四十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)501）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義4-3

對(duì)于系統(tǒng)，若任意給定實(shí)數(shù)，都存在另一實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解滿足，(t≥t0)則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，其中是與有關(guān)的實(shí)數(shù)；若與t0無(wú)關(guān)，則稱是一致穩(wěn)定的。（4-26）目前五十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)51幾何意義上述定義中，范數(shù)劃出了一個(gè)球域，它能將解的所有各點(diǎn)都包圍在內(nèi)。由此可以找到另一個(gè)對(duì)應(yīng)球域，它的范數(shù)為，其中包含了初始狀態(tài)x0允許取值的范圍。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性是指從發(fā)出的軌線，在的任何時(shí)刻總不會(huì)超出。目前五十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)52對(duì)于定常系統(tǒng)，δ與t0無(wú)關(guān)，此時(shí)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)一定是一致穩(wěn)定的。圖4-2李氏穩(wěn)定性示意圖目前五十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)532）漸近穩(wěn)定性定義4-4對(duì)于系統(tǒng)，若任意給定實(shí)數(shù)，存在，使當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解滿足

且對(duì)于實(shí)數(shù)和任意給定的實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)地存在實(shí)數(shù)，總有則稱平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。（4-27）（4-28）目前五十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)54幾何意義

定義4-4指出，如果xe滿足李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，并且從球域內(nèi)出發(fā)的任意一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，不僅不會(huì)超出球域之外，而且最終收斂于xe，則為漸近穩(wěn)定。顯然，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定性有更強(qiáng)的性質(zhì)，工程上常常要求漸近穩(wěn)定，而把不是漸近穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)與不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)同樣看待。目前五十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)55定義4-4

另一表述：如果平衡狀態(tài)x0不僅是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，且從球域S(δ)出發(fā)的任意解x，時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，不僅不會(huì)超出球域S(ε)，而且最終收斂于平衡狀態(tài)xe或其鄰域，即則稱平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。幾何含義注意，漸近穩(wěn)定首先應(yīng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。目前五十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)56x1x2s(δ)s(ε)x0漸近穩(wěn)定

工程上往往喜歡漸近穩(wěn)定，因?yàn)橄Ｍ蓴_除去后，系統(tǒng)又會(huì)回到原來(lái)的工作狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)正是我們?cè)O(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)所期望的，也就是前面所說(shuō)的平衡狀態(tài)。

無(wú)論是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定、漸進(jìn)穩(wěn)定，都屬于系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近一小范圍內(nèi)的局部性質(zhì)。因?yàn)橄到y(tǒng)只要在包圍xe的小范圍內(nèi)，能找到δ和ε滿足定義中條件即可。至于從s(δ)外的狀態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)，卻完全可以超出s(ε)。因此，上面涉及的是小范圍穩(wěn)定或小范圍漸近穩(wěn)定。目前五十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)57

而從實(shí)用觀點(diǎn)出發(fā)，僅僅判知系統(tǒng)是小范圍漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)不一定能正常工作，一旦實(shí)際存在的干擾，使系統(tǒng)的初始狀態(tài)偏離而超出s(δ)的范圍，就會(huì)導(dǎo)致x有可能不返回xe。解決辦法是確定漸近穩(wěn)定的最大范圍。然后把實(shí)際干擾的大小限制在此范圍內(nèi)。實(shí)際上，此范圍的確定非常困難，且限制干擾的大小，也不一定能做到。因此，工程上對(duì)大范圍漸近穩(wěn)定更感興趣。目前五十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)58圖4-3漸近穩(wěn)定性的幾何解釋和變化軌跡目前五十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)593）大范圍漸近穩(wěn)定性定義4-5如果系統(tǒng)在任意初態(tài)下的每一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，都收斂于，那么系統(tǒng)的平衡狀態(tài)叫做大范圍漸近穩(wěn)定的。實(shí)質(zhì)上，大范圍漸近穩(wěn)定是把狀態(tài)解的運(yùn)動(dòng)范圍和初始狀態(tài)的取值范圍擴(kuò)展到了整個(gè)狀態(tài)空間。對(duì)于狀態(tài)空間中的所有各點(diǎn)，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，則該平衡狀態(tài)稱為大范圍漸近穩(wěn)定的。目前五十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)60由各狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)的軌跡都收斂于xe，這類系統(tǒng)的狀態(tài)空間中不存在其它漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，這也是大范圍漸近穩(wěn)定系統(tǒng)的必要條件。對(duì)于線性系統(tǒng)，由于其滿足疊加原理，所以系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。一般來(lái)說(shuō)，漸近穩(wěn)定是個(gè)局部的性質(zhì)。在控制工程中，通?？偸窍Ｍ到y(tǒng)具有大范圍穩(wěn)定的特性。目前六十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)61大范圍漸近穩(wěn)定

如果系統(tǒng)在任意初始條件下的解x

，當(dāng)t→∞的過(guò)程中，收斂于平衡狀態(tài)xe或其鄰域，則平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的，且其范圍包含整個(gè)狀態(tài)空間，則稱xe是大范圍漸近穩(wěn)定，或稱全局漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。

大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是：狀態(tài)空間中系統(tǒng)中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。（經(jīng)典控制理論當(dāng)中，只有漸近穩(wěn)定才是穩(wěn)定）例：

可知零狀態(tài)必然是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，而若零狀態(tài)漸近穩(wěn)定，因?yàn)樗窍到y(tǒng)唯一的孤立平衡狀態(tài)，則必然是大范圍漸近穩(wěn)定的?？梢?jiàn)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無(wú)關(guān)。目前六十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)624）不穩(wěn)定性

定義4-6如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)>0和任一實(shí)數(shù)δ>0，當(dāng)時(shí)，總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，使則稱平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。幾何意義：對(duì)于某個(gè)給定的球域，無(wú)論球域取得多么小，內(nèi)部總存在著一個(gè)初始狀態(tài)x0，使得從這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會(huì)超出球域。，(t≥t0)(4-29)目前六十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)63圖4-4不穩(wěn)定幾何解釋和軌線在二維空間中，不穩(wěn)定的幾何解釋和軌線變化如圖4-4所示。目前六十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)64對(duì)于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)的軌跡，雖然越出了，但是并不意味著軌跡一定趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處例如對(duì)于非線性系統(tǒng)，軌跡還可能趨于以外的某個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。當(dāng)然，對(duì)于線性系統(tǒng)，從不穩(wěn)定平衡狀態(tài)出發(fā)的軌跡，理論上一定趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。目前六十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)65幾種典型情況就可用能量觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)明其穩(wěn)定性：圖4-5(a)平衡點(diǎn)所具有的勢(shì)能是最小的，其附近的勢(shì)能都比它大，也就是說(shuō)，平衡點(diǎn)附近的勢(shì)能變化率為負(fù)，所以該平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，而且是大范圍漸近穩(wěn)定的。圖4-5(b)平衡點(diǎn)所具有的勢(shì)能最大，其附近各點(diǎn)的勢(shì)能都比它小。目前六十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)66換句話說(shuō)，平衡點(diǎn)附近的能量對(duì)平衡點(diǎn)的變化率是增加的，為正，所以該平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。圖4-5(c)各點(diǎn)所具有的能量都相同，這就是通常說(shuō)的隨遇平衡，在李亞普諾夫意義下，任意點(diǎn)都是大范圍穩(wěn)定。圖4-5(d)是局部漸近穩(wěn)定的，圖4-5(e)為局部不穩(wěn)定。圖4-5平衡狀態(tài)穩(wěn)定性示意圖目前六十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)67局部漸近穩(wěn)定局部不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定局部穩(wěn)定目前六十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)681.線性定常系統(tǒng)：任一孤立平衡狀態(tài)，都可通過(guò)坐標(biāo)變換移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)，分析原點(diǎn)的穩(wěn)定性具有代表性。2.非線性系統(tǒng)：各個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性不同，應(yīng)該分別分析各平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性。3.穩(wěn)定只要求狀態(tài)軌跡在球域s(ε)中，而漸近穩(wěn)定要求x最終收斂于或無(wú)限接近于平衡狀態(tài)xe。4.實(shí)際中希望xe為大范圍漸近穩(wěn)定。5.對(duì)于線性系統(tǒng)：若平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則一定是大范圍漸近穩(wěn)定。6.在經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性概念與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念是有一定的區(qū)別的，例如，在經(jīng)典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)；在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)。

結(jié)論（重要）目前六十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)69例解令u=0，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為

xe1=任意值目前六十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)70輸入信號(hào)為0時(shí)，狀態(tài)方程的解為

在t→∞的過(guò)程中，由于系統(tǒng)的解x不是收斂于平衡狀態(tài)

xe，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的。實(shí)際上，只要每個(gè)特征值均具有負(fù)實(shí)部，則每個(gè)狀態(tài)分量的零輸入解將衰減為0，即收斂于0平衡狀態(tài)，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。★

實(shí)際上，由于是線性系統(tǒng)，分析原點(diǎn)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性即可。目前七十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)71例直接用定義判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性解：令u=0，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)0輸入的狀態(tài)解為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定目前七十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)72系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定，系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的總輸出=輸入激勵(lì)的響應(yīng)。系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定。A陣特征值λ1=-2，λ2=-3，可知漸近穩(wěn)定，外部穩(wěn)定。實(shí)際上可以直接判斷：目前七十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)73注意：1、對(duì)于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定等價(jià)于大范圍漸近穩(wěn)定。但對(duì)于非線性系統(tǒng)，一般只考慮吸引區(qū)為有限的給定范圍的漸近穩(wěn)定。2、穩(wěn)定含義之間的區(qū)別經(jīng)典控制理論(線性系統(tǒng)）不穩(wěn)定(Re(s)>0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)<0)Lyapunov意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定目前七十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)74在經(jīng)典控制理論中，只有線性系統(tǒng)穩(wěn)定性才有明確的意義，對(duì)于非線性系統(tǒng)，只能研究一些局部具體問(wèn)題。李雅普諾夫給運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性下了嚴(yán)格的定義，概括了線性及非線性等各類系統(tǒng)的一般情況。4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

前面介紹的李氏穩(wěn)定理論，主要給出系統(tǒng)穩(wěn)定的幾種定義，本節(jié)討論李雅普諾夫第一法和第二法，以及普遍意義的穩(wěn)定性判別定理。目前七十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)754.2.1李雅普諾夫第一法

李雅普諾夫第一法又稱間接法。它的基本思路是通過(guò)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，只需解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判斷。對(duì)于非線性不很?chē)?yán)重的系統(tǒng)，則可通過(guò)線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據(jù)其特征根來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

目前七十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)761.線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解的特性取決于系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，在討論線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，按照經(jīng)典理論的思路，可以不必求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，而直接由系統(tǒng)矩陣A的特性值判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定理4-7線性定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即，(i＝1，2，…，n)（4-30）目前七十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)77例

判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性解：直接判斷系統(tǒng)狀態(tài)x1不穩(wěn)定。系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定。目前七十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)78例判斷系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性和輸入輸出穩(wěn)定性極點(diǎn)-3具有負(fù)實(shí)部，是輸入輸出穩(wěn)定的。解：1）外部穩(wěn)定性（輸入輸出穩(wěn)定性）目前七十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)792）內(nèi)部穩(wěn)定性分析由

系統(tǒng)非漸近穩(wěn)定，但是輸入輸出穩(wěn)定。因?yàn)榇嬖诹銟O點(diǎn)對(duì)消，消掉了具有正實(shí)部的特征值λ=2。目前七十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)802.線性時(shí)變系統(tǒng)對(duì)于系統(tǒng)，由于矩陣不再是常數(shù)矩陣，故不能應(yīng)用特征值判據(jù)，需用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中各元素均趨于零，不論取何值，當(dāng)時(shí)，中每項(xiàng)均趨于零，因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。若采用范數(shù)的概念來(lái)分析穩(wěn)定性問(wèn)題，則將帶來(lái)極大方便，故首先引出矩陣范數(shù)的定義。目前八十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)81

定義4-7

如果把矩陣A的全體看作是一個(gè)向量空間，那么也可把每一個(gè)矩陣視為向量空間中的一個(gè)向量。這樣，矩陣A的范數(shù)可定義為上式的結(jié)果也是一個(gè)標(biāo)量，表示將矩陣中每個(gè)元素取平方和后再開(kāi)方。（4-31）

目前八十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)82應(yīng)用范數(shù)的概念討論系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，可以這樣敘述：如果趨近于零，及矩陣中各元素均趨近于零，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是漸近穩(wěn)定的。目前八十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)83

定理4-8

線性時(shí)變系統(tǒng)，其狀態(tài)解為，根據(jù)李氏穩(wěn)定性定義，有下列穩(wěn)定性充分條件：若存在某正常數(shù)N(t0)，對(duì)于任意t0和t≥t0，有≤N(t)則系統(tǒng)穩(wěn)定；有≤N

（4-32）

（4-33）

目前八十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)84則系統(tǒng)一致穩(wěn)定；有則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。若存在某常數(shù)N>0，C>0，則對(duì)任意t0和t≥t0，有

則稱系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定。（4-34）

（4-35）

≤目前八十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)85按照李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的諸定義證明前三項(xiàng)結(jié)論是很容易的。對(duì)于最后一項(xiàng)，實(shí)際上是二、三兩項(xiàng)的組合，因?yàn)椤堋躈

滿足了一致穩(wěn)定條件；又因?yàn)樗杂袧M足了漸近穩(wěn)定條件。（4-36）

（4-37）

（4-38）

目前八十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)863.非線性定常系統(tǒng)

實(shí)際系統(tǒng)常常是非線性的，為了便于研究，常常用微偏線性化的方法處理，也就是用與它近似的線性系統(tǒng)代替它。但是，運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性有嚴(yán)格的定義，不是一個(gè)可以用某種近似計(jì)算來(lái)處理的工程問(wèn)題。那么，用一個(gè)線性系統(tǒng)近似地代替非線性系統(tǒng)，會(huì)不會(huì)在運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題上得出錯(cuò)誤的結(jié)論呢？這是一個(gè)需要嚴(yán)格論證的問(wèn)題。目前八十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)87

定理4-9

設(shè)非線性定常系統(tǒng)的自治狀態(tài)方程為，對(duì)狀態(tài)向量有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，在平衡狀態(tài)處展成泰勒級(jí)數(shù)，則得式中，雅可比矩陣，它定義為（4-39）（4-40）

目前八十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)88其中，包含對(duì)的二次及二次以上的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。取展開(kāi)式的一次近似式，得線性化方程為(1)若的特征值都具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)是在的足夠小鄰域內(nèi)漸近穩(wěn)定的。線性化過(guò)程中被忽略的高于一階的項(xiàng)不會(huì)使運(yùn)動(dòng)變成不穩(wěn)定。(2)若的特征值中，至少有一個(gè)具有正的實(shí)部，則不論被忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)如何，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)總是不穩(wěn)定的。目前八十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)89(3)若的特征值中，沒(méi)有正的實(shí)部但至少有一個(gè)實(shí)部為零，此時(shí)原非線性系統(tǒng)不能用線性化方程來(lái)判斷其穩(wěn)定性，平衡狀態(tài)小范圍局部穩(wěn)定性取決于被忽略的高階項(xiàng)，若要研究原系統(tǒng)穩(wěn)定性，必須分析原始非線性方程。目前八十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)90例4-1設(shè)非線性系統(tǒng)方程為則在的平衡點(diǎn)，其線性化方程的矩陣為目前九十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)91特征方程為特征根為一對(duì)虛根，，對(duì)應(yīng)臨界情況，它不代表原非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性。目前九十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)92例

分析系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性。

2.線性化3.求線性化后的特征根4.由勞斯判據(jù)可知，系統(tǒng)的特征根全部具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定。解：1.求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)目前九十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)93李雅普諾夫第一法的意義和貢獻(xiàn)在于它使線性化研究方法有了堅(jiān)實(shí)可靠的理論基礎(chǔ)，從而使線性化研究方法在工程上成為現(xiàn)實(shí)可行的。目前九十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)94線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析定理

線性定常離散系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣G陣的所有特征值的模全部位于根平面的單位圓內(nèi)，即目前九十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)95例試確定系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性

G陣的所有特征值的模都小于1，加上系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)，因此此離散系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。解求離散系統(tǒng)的特征值目前九十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)964.2.2李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法又稱李雅普諾夫直接法。運(yùn)用此法可以在不求出狀態(tài)方程解的條件下，直接確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通常，求非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解是很困難的，所以直接法顯出更大的優(yōu)越性，它不但適用于任意階系統(tǒng)，而且是確定非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性的更為一般的方法。目前九十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)971.李雅普諾夫第二法中的二次型函數(shù)在李雅普諾夫第二法理論分析中，用到了一類重要的標(biāo)量函數(shù)，即二次型函數(shù)。1）二次型函數(shù)的定義及其表達(dá)式（1）二次型函數(shù)的定義代數(shù)式中常見(jiàn)的一種多項(xiàng)式函數(shù)為其中每項(xiàng)的次數(shù)都是二次的，這樣的多項(xiàng)式稱為二次齊次多項(xiàng)式或二次型。以上是對(duì)只含有兩個(gè)變量

目前九十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)98x和y的二次函數(shù)來(lái)說(shuō)的；如果將變量個(gè)數(shù)擴(kuò)展到n，仍具有相同的含義。定義4-8

設(shè)R是n維實(shí)空間，是它的一組基，x∈R，且則變量的二次齊次多項(xiàng)式稱為R內(nèi)關(guān)于基的一個(gè)二次齊次式或二次型。（4-41）

目前九十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)99由于多項(xiàng)式的同類項(xiàng)可以合并，在式（4-41）中，當(dāng)i≠j時(shí)，與為同類項(xiàng)，合并后可再平分系數(shù)分項(xiàng)，整理成對(duì)稱系數(shù)，即例如

可見(jiàn)，任一二次型都可以整理成相應(yīng)交叉項(xiàng)系數(shù)相等的對(duì)稱形式。目前九十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)100（2）二次型的矩陣表達(dá)式將二次型（4-41）式寫(xiě)成（4-42）目前一百頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)101其中是由各項(xiàng)系數(shù)排成的一個(gè)n×n矩陣，稱為二次型（4-42）的矩陣。因?yàn)閍ij=aji，故A=AT為一對(duì)稱矩陣。顯然，二次型完全由矩陣確定。因此，二次型和它的矩陣是相互惟一決定的。矩陣的秩稱為二次型的秩。目前一百零一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)102例4-2

可見(jiàn)，任一二次型通過(guò)整理，都可以化成式（4-42）的矩陣形式，但它們代表一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。目前一百零二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)103（3）二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，如它是二次型中最簡(jiǎn)單的一種形式。根據(jù)線性代數(shù)理論，二次型具有以下性質(zhì)：①二次型經(jīng)線性非奇異變換后變成另一個(gè)二次型，但它們的矩陣都是對(duì)稱矩陣，且秩相同。

目前一百零三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)104②任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)非奇異線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣是對(duì)角陣。③二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的。④二次型函數(shù)（設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣），必存在一個(gè)正交矩陣，通過(guò)變換目前一百零四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)105使之化為（4-43）

其中，—對(duì)稱陣的特征值，且均為實(shí)數(shù)。目前一百零五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1062）標(biāo)量函數(shù)的定號(hào)性設(shè)是歐氏狀態(tài)空間中非零向量，是向量的標(biāo)量函數(shù)。(1)如果對(duì)所有在域中的非零向量，有，且在處有，則在域內(nèi)稱為正定的，即例如，正定。（4-44）

目前一百零六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)107(2)如果標(biāo)量函數(shù)除了在原點(diǎn)以及某些狀態(tài)處等于零外，在域內(nèi)其余狀態(tài)處都是正的，則稱為正半定的，即例如，正半定。(3)如果是正定的，則稱為負(fù)定的，即例如，負(fù)定。（4-45）

（4-46）

目前一百零七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)108(4)如果是正半定的，則稱為負(fù)半定的，即（4-47）例如，負(fù)半定(5)如果在域內(nèi)，即可正也可負(fù)，則稱為不定的。例如，不定。目前一百零八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1093）二次型標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性判別準(zhǔn)則對(duì)于為實(shí)對(duì)稱矩陣的二次型函數(shù)的定號(hào)性，可以用賽爾維斯特(Sylvester)準(zhǔn)則來(lái)判定。（1）正定：二次型函數(shù)為正定的充要條件是，陣的所有各階首主子行列式均大于零，即（4-48）

目前一百零九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)110（2）負(fù)定：二次型函數(shù)為負(fù)定的充要條件是陣的各階首主子行列式滿足，即（3）正半定：二次型函數(shù)為正半定的充要條件是陣的各階首主子行列式滿足目前一百一十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)111（4）負(fù)半定：二次型函數(shù)為負(fù)半定的充要條件是陣各階首主子行列式滿足

（5）實(shí)對(duì)稱矩陣的定號(hào)性，由賽爾維斯特準(zhǔn)則知，二次型的定號(hào)性由陣的主子式來(lái)判別，故定義陣的定號(hào)性與一致，則陣定號(hào)性的討論目前一百一十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)112可代表定號(hào)性的討論。設(shè)二次型函數(shù)，則定義如下：當(dāng)是正定的，稱是正定的，記為；當(dāng)是負(fù)定的，稱是負(fù)定的，記為；當(dāng)是正半定的，稱是正半定的，記為；當(dāng)是負(fù)半定的，稱是負(fù)半定的，記為。目前一百一十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)113例4-3

已知，試判定是否正定。解

陣的各階主子式為

所以是正定的。目前一百一十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1144）李雅普諾夫函數(shù)李氏第二法是從能量觀點(diǎn)出發(fā)得來(lái)的，它的基本思想是建立在古典的力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)中一個(gè)直觀的物理事實(shí)上。如果系統(tǒng)的總能量（含動(dòng)能和勢(shì)能）隨時(shí)間增長(zhǎng)而連續(xù)地衰減，直到平衡狀態(tài)為止，那么振動(dòng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，那么當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)積蓄的能量隨時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減，直到平衡狀態(tài)處達(dá)到最小值。目前一百一十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)115

若能找到一個(gè)完全描述上述過(guò)程的所謂能量函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題也就容易解決了。可是，由于系統(tǒng)的形式是多種多樣的，不能找到一種定義“能量函數(shù)”的統(tǒng)一形式和簡(jiǎn)便方法。為了克服這一困難，李雅普諾夫引出了一個(gè)虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，這個(gè)函數(shù)具有能量的含義，但比能量更為一般，它有如下一些基本特征：

目前一百一十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)116①能量函數(shù)一定是狀態(tài)變量的函數(shù)。因?yàn)闋顟B(tài)變量可以對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行完全描述，因此能量函數(shù)也一定是狀態(tài)變量的函數(shù)。②是正定的③具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。根據(jù)以上特征構(gòu)造一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，然后根據(jù)的符號(hào)特征來(lái)判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，如果能找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)，直接利用及的符號(hào)特征判別出平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性，則這標(biāo)量函數(shù)就稱為李雅普諾夫函數(shù)。目前一百一十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1172.李雅普諾夫第二法

定理4-10

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)為。如果存在一個(gè)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，在圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)域內(nèi)，使得對(duì)于非零狀態(tài)和所有，滿足條件：①是正定且有界，②是負(fù)定且有界，則系統(tǒng)原點(diǎn)的平衡狀態(tài)在域內(nèi)是一致漸近穩(wěn)定的。

目前一百一十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)118如果對(duì)狀態(tài)空間中所有非零初始狀態(tài)滿足上述條件，且當(dāng)時(shí)，有，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍一致漸近穩(wěn)定的。目前一百一十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)119定理的幾點(diǎn)解釋：（1）定理的物理意義：一個(gè)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)過(guò)程，是因?yàn)槠鋬?nèi)部?jī)?chǔ)存能量的緣故。例如，位移動(dòng)能、旋轉(zhuǎn)動(dòng)能、電能、磁能。李雅普諾夫函數(shù)實(shí)際上是參照了物理系統(tǒng)的一般能量函數(shù)形式而構(gòu)成的，它突出了兩個(gè)特點(diǎn)：一是物理系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量顯然總是正值，即；二是若能量是在不停地消耗，則。當(dāng)能量最終耗盡，此時(shí)系統(tǒng)又回到平衡狀態(tài)。此觀點(diǎn)明顯符合漸儲(chǔ)能元件電容C電感L質(zhì)量M轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J彈簧K能量方程Cu2/2Li2/2Mv2/2Jω2/2Kx2/2物理變量電壓u電流i速度v轉(zhuǎn)速ω長(zhǎng)度變化x目前一百一十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)120近穩(wěn)定性的定義。（2）定義的幾何意義：設(shè)x是n維向量，若存在表征能量的函數(shù)，取一常值，顯然在狀態(tài)所處的維空間中圍成一個(gè)封閉的超曲面。當(dāng)時(shí)，，于是這時(shí)的也使封閉超曲面擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)空間，而將的所有狀態(tài)均包含在內(nèi)。討論二維空間的情況，設(shè)李氏函數(shù)為二次標(biāo)準(zhǔn)型，則有目前一百二十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)121若令，取一系列常值，則能量函數(shù)代表了不同能量的等值線，其幾何形狀為以原點(diǎn)為中心、以為半徑的同心圓族。越逼近圓心，半徑越小，代表的能量越小，當(dāng)時(shí)，收斂于原點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，有，所以圓族可以擴(kuò)展到整個(gè)狀態(tài)平面。若，表示隨著時(shí)間的推移，狀態(tài)軌線與等值線不斷相交，且從每個(gè)圓外向圓內(nèi)穿過(guò)，最后當(dāng)時(shí)，收斂于原點(diǎn)，如圖4-6。目前一百二十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)122圖4-6能量等值線族于點(diǎn)型軌線（3）該定理給出了漸近穩(wěn)定的充分條件，即如果能找到滿足定理?xiàng)l件的，則系統(tǒng)一定是一致漸近穩(wěn)定的。但如果找不到這樣的，也并不意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，何況對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)。要想找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)可能是十分困難的。退一步說(shuō)，即使能否定李氏函數(shù)的存在，也不能就此斷定系統(tǒng)目前一百二十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)123不穩(wěn)定。（4）李雅普諾夫函數(shù)的存在形式并不是惟一的，其中最簡(jiǎn)單的形式是二次型函數(shù)但在一般情況下，不一定都是這種簡(jiǎn)單形式，只有線性系統(tǒng)才具有二次型的形式。（5）此定理的適用范圍十分廣泛，對(duì)于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)及定常系統(tǒng)都具有同等作用，是一個(gè)最基本的穩(wěn)定性判據(jù)定理。目前一百二十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)124說(shuō)明：

能量及能量的變化率表明，一旦系統(tǒng)因干擾偏離xe(x1≠0，x2≠0)，若系統(tǒng)具有正能量，將產(chǎn)生自由運(yùn)動(dòng)。若沿著狀態(tài)矢量的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，系統(tǒng)能量又具有負(fù)的變化速度。這意味著，隨時(shí)間增長(zhǎng)，能量將不斷耗散，從而趨于能量最小的平衡狀態(tài)xe

，直至能量消耗殆盡，最后回到能量等于0的平衡狀態(tài)xe，因此系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。反之，如果在運(yùn)動(dòng)中，系統(tǒng)能量具有正的變化速度，系統(tǒng)將不斷從外界吸收能量，能量越來(lái)越大，肯定不穩(wěn)定。目前一百二十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)125

李雅普諾夫第二法又稱直接法，從能量的觀點(diǎn)來(lái)研究物理系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。其基本思想是：系統(tǒng)所具有能量是狀態(tài)矢量x的標(biāo)量函數(shù)。平衡狀態(tài)具有的能量最小。

對(duì)于一般系統(tǒng)，引入一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)，一般與狀態(tài)變量和時(shí)間有關(guān)V（x，t）；若不顯含t

，記為V（x）。

李氏第二法利用系統(tǒng)的能量函數(shù)V（x）和的正負(fù)去判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二者均是x的標(biāo)量函數(shù)。目前一百二十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)126判據(jù)一

xe是平衡狀態(tài)，如果存在一個(gè)對(duì)t具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)且滿足以下條件

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為此外，若||x||→∞，有V(x,t)→∞，則系統(tǒng)在xe處大范圍漸近穩(wěn)定。1）V(x,t)>0,正定；2） ,負(fù)定；則系統(tǒng)在xe處漸近穩(wěn)定。x1x2xe目前一百二十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)127例4-4a為正實(shí)數(shù)，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：若應(yīng)用李氏第一法：1.求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)2.線性化3.求線性化后的特征根4.由于系統(tǒng)的特征根實(shí)部為0，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定性無(wú)法判斷，只能用李氏第二法。目前一百二十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)128解二：用李氏第二法1）求平衡狀態(tài)2)選取V(x)為正定的二次型

由判據(jù)一可知,系統(tǒng)在0平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；由于||x||→∞，有V(x,t)→∞，系統(tǒng)也是大范圍漸近穩(wěn)定。目前一百二十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)129例

給定線性時(shí)變系統(tǒng)，判定其原點(diǎn)xe=0是否是大范圍漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。

t≥0解取正定矩陣則系統(tǒng)李亞普諾夫函數(shù)，及其對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)分別為目前一百二十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)130例

試確定離散系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。由于離散系統(tǒng)不存在能量函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，而是代之以能量函數(shù)的增量解取正定實(shí)對(duì)稱矩陣P為則系統(tǒng)能量函數(shù)為系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的目前一百三十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)131例4-5

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解方程為線性方程，寫(xiě)成矩陣形式為

由于矩陣為非奇異常數(shù)矩陣，所以系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是惟一的，位于原點(diǎn)?，F(xiàn)在也選目前一百三十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)132取標(biāo)準(zhǔn)二次型為李氏函數(shù)，即按定理4-10要求，不能作為該系統(tǒng)的李氏函數(shù)，也就是說(shuō)，應(yīng)用這個(gè)來(lái)判別，由定理4-10得不出系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。其原因在于要求是負(fù)定的，這就提出了一個(gè)問(wèn)題：能否根據(jù)負(fù)半定的條件，直接判定系統(tǒng)穩(wěn)定性？李雅普諾夫給出定理4-11的形式。（正定）（負(fù)半定）

目前一百三十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)133定理4-11

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，假定平衡狀態(tài)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，在圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)域內(nèi)，使得對(duì)于非零狀態(tài)和所有，滿足條件：①是正定且有界，②是負(fù)半定且有界，③對(duì)任意和所有，在時(shí)不恒等于零，則系統(tǒng)原點(diǎn)的平衡狀態(tài)在域內(nèi)是一致漸近穩(wěn)定的。

目前一百三十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)134如果對(duì)狀態(tài)空間中所有非零初始狀態(tài)滿足上述條件，且當(dāng)時(shí)，有，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理4-11的證明從略。但強(qiáng)調(diào)說(shuō)明如下。目前一百三十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)135定理4-11中為什么附加了條件③就可以滿足漸近穩(wěn)定的要求呢？這是因?yàn)槭敲枋瞿芰亢瘮?shù)的衰減變化速率的，系統(tǒng)若要穩(wěn)定，負(fù)的變化率就必須保持，直至衰減到0。若條件②只要求是負(fù)半定的，則在時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)于有兩種可能的情況：（1）恒等于零，此時(shí)，表示能量保持常量不再變化，即意味著狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡保持在等值線上不會(huì)趨向原點(diǎn)。非線性系統(tǒng)中的極限環(huán)便屬于這種目前一百三十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)136情況（二維相平面）。此時(shí)系統(tǒng)一定不是漸近穩(wěn)定的，見(jiàn)圖4-7（a）。圖4-7軌線相切于能量等值線目前一百三十六頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)137（2）不恒等于零，只在某個(gè)時(shí)刻暫時(shí)為零，而其它時(shí)刻均為負(fù)值。這表示能量的衰減不會(huì)終止，故狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌線不會(huì)停留在某一定值上，必須要趨向于原點(diǎn)，所以系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的，見(jiàn)圖4-7（b）。按照定理4-11條件③討論例4-5中負(fù)半定的情況，即。當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)式中，*表示任意非零值。目前一百三十七頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)138由于此時(shí)有上式說(shuō)明，由于的變化率不等于零，即的值不會(huì)停留在某一常值上，故中是暫時(shí)的［見(jiàn)圖4-7（b）中切點(diǎn)］，不會(huì)恒等于零。因此，也不會(huì)恒于零。按照定理4-11，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。目前一百三十八頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)139例

分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為xe=02)選擇能量函數(shù)由判據(jù)二可知，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。目前一百三十九頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)1403)考察在系統(tǒng)方程的非零狀態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡上是否恒為零。假設(shè)意味只有零平衡狀態(tài)才滿足。

與假設(shè)條件矛盾，故假設(shè)情況不會(huì)發(fā)生在方程的解運(yùn)動(dòng)軌跡上。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。目前一百四十頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)141

定理4-12

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，假定平衡狀態(tài)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，滿足條件：

(1)是正定且有界，

(2)是負(fù)半定且有界，則系統(tǒng)原點(diǎn)的平衡狀態(tài)在域內(nèi)是李雅普諾夫意義下的一致穩(wěn)定。定理4-12的證明從略，但強(qiáng)調(diào)說(shuō)明如下。

目前一百四十一頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)142由于定理包含了在某一值恒等于零的情況，其含義同定理4-11中的說(shuō)明“（1）”，此時(shí)的，系統(tǒng)的能量不再變化，故系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不會(huì)趨于原點(diǎn)，而保留在某個(gè)極限環(huán)上，處于穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)。故系統(tǒng)滿足李氏意義下的一致穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定。目前一百四十二頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)143例4-6

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選二次型正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即可見(jiàn)，在任意給定的值上均保持為零。系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。

目前一百四十三頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)144

定理4-13

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，且平衡點(diǎn)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)。且滿足條件：①是正定的，②是正定的，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

目前一百四十四頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)145

定理4-13的證明從略，但強(qiáng)調(diào)說(shuō)明如下:當(dāng)存在是正定的，表示系統(tǒng)的能量在不斷增大，故系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必將發(fā)散至無(wú)窮大，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例4-7

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。目前一百四十五頁(yè)\總數(shù)二百一十五頁(yè)\編于八點(diǎn)146解顯然，原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選二次型標(biāo)量函數(shù)為可能的李氏函數(shù)，即