數(shù)學(xué)競賽講座

數(shù)學(xué)競賽講座1抽屜標(biāo)準(zhǔn)抽屜標(biāo)準(zhǔn)常見形式一，把n+k（k≥1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中最少有兩個(gè)物體。二，把mn+k（k≥1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，一定存在一個(gè)抽屜中最少有m+1個(gè)物體。三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，那么后在一個(gè)抽屜里最少放入了m1+1個(gè)物體，或在第二個(gè)抽屜里最少放入了m2+1個(gè)物體，……，或在第n個(gè)抽屜里最少放入了mn+1個(gè)物體四，把m個(gè)物體以任意方式全部放入n個(gè)抽屜中，有兩種情況：①當(dāng)n|m時(shí)（n|m表示n整除m），一定存在一個(gè)抽屜中最少放入了個(gè)物體；②當(dāng)n不能整除m時(shí)，一定存在一個(gè)抽屜中最少放入了[]+1個(gè)物體（[x]表示不超出x最大整數(shù)）五，把無窮多個(gè)元素分成有限類，則最少有一類包含無窮多個(gè)元素。注：背下來上面幾個(gè)形式?jīng)]有必要，但應(yīng)該清楚這些形式即使不一樣，卻都表示一個(gè)意思。了解它們含義最主要。在各種競賽題中，往往抽屜標(biāo)準(zhǔn)考得不少，但通常不會(huì)很顯著讓人看出來，結(jié)構(gòu)抽屜才是抽屜標(biāo)準(zhǔn)中最難東西。通常來說，題目中一旦出現(xiàn)了“總有”“最少有”“總存在”之類詞，就暗示著我們：要結(jié)構(gòu)抽屜了。2容斥原理容斥原理經(jīng)常使用，其實(shí)說簡單點(diǎn)，就是從多往下減，減過頭了在加回來，又加多了再減，減多了再加……，最終得到正確結(jié)果。對(duì)于計(jì)數(shù)中輕易出現(xiàn)重復(fù)題目，我們經(jīng)常采取容斥原理，去掉重復(fù)情況。容斥原理基本形式：其中|A|表示集合A中元素個(gè)數(shù)。3遞推方法許多競賽題目正面計(jì)算十分困難，于是我們避開正面計(jì)算，先考慮n-1時(shí)情況，在計(jì)算n時(shí)情況比n-1時(shí)情況增添了多少，然后寫出一個(gè)遞推式，這么就能夠利用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行處理，但通常要求依照遞推式求通項(xiàng)能力要比較強(qiáng)，是和擅長數(shù)列同學(xué)使用。沒什么詳細(xì)解釋，多多練習(xí)吧4映射計(jì)數(shù)個(gè)人認(rèn)為映射計(jì)數(shù)絕對(duì)是計(jì)數(shù)方法中最經(jīng)典一個(gè)，經(jīng)常能將復(fù)雜至極問題簡單化，變成人人都會(huì)做普通題目。不過想熟練掌握往往是不輕易，要求有大量習(xí)題積累，才能形成建立映射能力。明確概念：對(duì)于y=f(x)單射：不一樣x對(duì)應(yīng)不一樣y，即|x|≤|y|滿射：每個(gè)y最少有一個(gè)x映射，即|x|≥|y|雙射：即是單射又是滿射，即|x|=|y|倍數(shù)映射：|x|=m|y|注：雙射即通常說一一映射，有人將雙射了解為m=2倍數(shù)映射或其余映射，這是不正確。不要從感覺上去了解。雙射應(yīng)該是“單射”“滿射”綜合。利用映射解題，通常是建立雙射，將要證實(shí)問題轉(zhuǎn)化為其余問題，不過計(jì)算總數(shù)不變。而我們不但要會(huì)建立雙射，也應(yīng)會(huì)建立單射和滿射，因?yàn)轱@然建立單射和滿射是證實(shí)不等關(guān)系極好方法，不能夠忽略。利用倍數(shù)映射處理題目，我現(xiàn)在還沒碰到多少，但還是要時(shí)刻記著有這么一個(gè)方法。一，建立雙射集合{1，2，……，}有多少個(gè)元素和為奇數(shù)子集？將正整數(shù)n寫成若干個(gè)1與若干個(gè)2之和，和項(xiàng)次序不一樣認(rèn)為是不一樣寫法，全部寫法種數(shù)記為A(n)；將正整數(shù)n寫成若干個(gè)大于1正整數(shù)之和，和項(xiàng)次序不一樣認(rèn)為是不一樣寫法，全部寫法種數(shù)記為B(n)，求證：A(n)=B(n+2)注：此題即為很好映射計(jì)數(shù)例子。因?yàn)榧幢悴挥糜成湮覀兡軌虬袮(n)求出來，再把B(n+2)求出來，然后比較后會(huì)發(fā)覺二者相等，但這顯然是超大工作量，假如使用了映射計(jì)數(shù)，我們只需用一些技巧，在A(n)和B(n+2)中建立雙射，此題即得到證實(shí)。二，建立單射或滿射注：映射計(jì)數(shù)可能會(huì)有一定難度，假如以為掌握不了也不要?dú)怵H，只要多練，時(shí)間一長自然就會(huì)了。不等式與最值1平均不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)注意：利用平均不等式需注意各項(xiàng)均為正數(shù)！題外話：有很多同學(xué)十分“痛恨”這兩個(gè)符號(hào)，總是看不懂，其實(shí)這兩個(gè)符號(hào)是絕對(duì)好用，而且以后會(huì)經(jīng)常碰到，在大學(xué)書本中更是家常便飯，多看幾次自然也就習(xí)慣了。例求證：分析：為了湊出a+b+c+d，方便充分利用條件，將4a+1,4b+1,4c+1,4d+1視作整體，利用平均不等式。2柯西不等式及其變形設(shè)(i=1,2,…,n)，則其中等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)為定值注：這個(gè)式子在競賽中極為慣用，只需簡記為“積和方小于方和積”。等號(hào)成立條件比較特殊，要緊記。另外應(yīng)注意在這個(gè)式子里不要求各項(xiàng)均是正數(shù)，所以應(yīng)用范圍較廣。慣用變形一：(i=1,2,…,n)，則注：要求bi為正數(shù)慣用變形二：若(i=1,2,…,n)，則注：要求ai，bi均為正數(shù)。當(dāng)然，這兩個(gè)式子雖慣用，不過記不記并不太主要，只要將柯西不等式原始式子記得很熟，這兩個(gè)式子其實(shí)是一眼就能看出來，這就要求我們對(duì)柯西不等式要做到活學(xué)活用。例：若最小值。并指出等號(hào)成立條件。分析：因?yàn)閍,b,c,d各項(xiàng)系數(shù)不一樣，而且現(xiàn)有1次項(xiàng)，又有2次項(xiàng)，顯然要用柯西不等式。而且使用柯西不等式不受-7c這項(xiàng)影響。使用時(shí)，注意寫明等號(hào)成立條件，檢驗(yàn)最小值能否取到。柯西不等式推廣——赫爾德不等式若(i=1,2,…,n)，p>1，q>1且則注：這個(gè)式子成立前提挺多，不難看出當(dāng)p=q=2時(shí)，這個(gè)式子即為柯西不等式。3排序不等式4琴生不等式首先來了解凸函數(shù)定義通常，設(shè)f(x)是定義在(a,b)內(nèi)函數(shù)假如對(duì)于定義域內(nèi)任意兩數(shù)x1，x2都有則稱f(x)是(a,b)內(nèi)下凸函數(shù)，通常說凸函數(shù)，也就是下凸函數(shù)，比如y=x2，從圖像上即可看出是下凸函數(shù)，也不難證實(shí)其滿足上述不等式。假如對(duì)于某一函數(shù)上述不等式等號(hào)總是不能成立，則稱此函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)。注：凸函數(shù)定義為我們提供了極為方便地證實(shí)一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù)方法。這個(gè)方法經(jīng)常使用。另外利用二階求導(dǎo)也能夠判斷一個(gè)函數(shù)為凸函數(shù)，凸函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)是非負(fù)數(shù)。凸函數(shù)具備慣用性質(zhì)性質(zhì)一：對(duì)于(a,b)內(nèi)凸函數(shù)f(x)，有注：此即常說琴生不等式性質(zhì)二：加權(quán)琴生不等式對(duì)于(a,b)內(nèi)凸函數(shù)，若，則注：加權(quán)琴生不等式很主要，當(dāng)初，即為原始琴生不等式。注：另外，對(duì)于上面關(guān)于凸函數(shù)和琴生不等式部分，假如將不等號(hào)全部反向，則得到便是凹函數(shù)，以及凹函數(shù)琴生不等式。例設(shè)xi>0（i=1,2,…,n），，求證：注：不但要用琴生不等式，注意知識(shí)綜合利用。5利用二次函數(shù)性質(zhì)通常來說，許多題目是包括x，y，z三個(gè)量證實(shí)題，因?yàn)槎魏瘮?shù)性質(zhì)十分好用，所以湊出一個(gè)關(guān)于其中一個(gè)字母二次函數(shù)，進(jìn)而利用二次函數(shù)性質(zhì)能夠處理最值問題。例設(shè)x,y,z≥0，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-3xyz最大最小值。提醒：將x=1-y-z代入，整理成關(guān)于y二次函數(shù)，最值即為，整理后不難得到z=0和z=1式分別取到最大值和最小值0，然后只需舉一例證實(shí)能夠取到即可。2．求4．對(duì)于給定正整數(shù)，求最小正整數(shù)，使得：假如，。就有.5．設(shè)求最小實(shí)數(shù)使得，其中6．設(shè)且.求證：7．設(shè)且.求證:8.求證：9．求證：對(duì)原命題加強(qiáng)，證實(shí)：10．設(shè)求最大、最小值。11．設(shè)求最小值12．求最小正數(shù)，使得有.13．設(shè)且求最小值。14．設(shè)令，，求f最大值和最小值。15．若則三角函數(shù)一、慣用公式因?yàn)槭侵v競賽，這里就不再重復(fù)過于基礎(chǔ)東西，比如六種三角函數(shù)之間轉(zhuǎn)換，兩角和與差三角函數(shù)，二倍角公式等等。不過因?yàn)楝F(xiàn)在教材中慣用公式刪得太多，有些還是不能不寫。先從最基礎(chǔ)開始（這些必須熟練掌握）：半角公式積化和差和差化積萬能公式三倍角公式三、三角函數(shù)求值給出一個(gè)復(fù)雜式子，要求化簡。這么題目經(jīng)?？迹彝ǔ；鰜矶际且粋€(gè)詳細(xì)值。要熟練應(yīng)用上面慣用式子，個(gè)人認(rèn)為和差化積、積化和差是競賽中最慣用，假如看到一些不慣用角，應(yīng)該考慮用和差化積、積化和差，通常情況下直接使用不了時(shí)候，能夠考慮先乘一個(gè)三角函數(shù)，然后利用積化和差化簡，最終再把這個(gè)三角函數(shù)除下去舉個(gè)例子求值：提醒：乘以，化簡后再除下去。求值：來個(gè)復(fù)雜設(shè)n為正整數(shù)，求證另外這個(gè)題目也能夠用復(fù)數(shù)知識(shí)來處理，在復(fù)數(shù)那一章節(jié)里再講四、三角不等式證實(shí)最慣用公式通常就是：x為銳角，則；還有就是正余弦有界性。數(shù)列1給遞推式求通項(xiàng)公式(1)常見形式即通常求解方法注：以下各種情況只需掌握方法即可，沒有必要記住結(jié)果，不然數(shù)學(xué)就變成無意義機(jī)械勞動(dòng)了。①若p=1，則顯然是以a1為首項(xiàng)，q為公差等差數(shù)列，若p≠1，則兩邊同時(shí)加上，變?yōu)轱@然是認(rèn)為首項(xiàng)，p為公比等比數(shù)列②，其中f(n)不是常數(shù)若p=1，則顯然an=a1+，n≥2若p≠1，則兩邊同時(shí)除以pn+1，變形為利用疊加法易得，從而注：還有一些遞推公式也能夠用通常方法處理，不過其余情況我們通常使用其余更方便方法，下面我們?cè)俳榻B一些屬于數(shù)學(xué)競賽中“高級(jí)方法”。(2)不動(dòng)點(diǎn)法當(dāng)f(x)=x時(shí)，x取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟傎愔刑幚磉f推式基本方法。經(jīng)典例子：注：我感覺通常非用不動(dòng)點(diǎn)不可也就這個(gè)了，所以記住它解法就足夠了。我們假如用通常方法處理此題也不是不能夠，只是又要待定系數(shù)，又要求倒數(shù)之類，太復(fù)雜，假如用不動(dòng)點(diǎn)方法，此題就很輕易了令，即，令此方程兩個(gè)根為x1，x2，若x1=x2則有其中k能夠用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：假如有能力，能夠?qū)表示式記住，p=若x1≠x2則有其中k能夠用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：假如有能力，能夠?qū)表示式記住，q=(3)特征根法特征根法是專用來求線性遞推式好方法。先來了解特征方程通常例子，經(jīng)過這個(gè)來學(xué)會(huì)使用特征方程。①特征方程為x2=px+q，令其兩根為x1，x2則其通項(xiàng)公式為，A、B用待定系數(shù)法求得。②特征方程為x3=px2+qx+r，令其三根為x1，x2，x3則其通項(xiàng)公式為，A、B、C用待定系數(shù)法求得。注：經(jīng)過這兩個(gè)例子我們應(yīng)該能夠得到特征方程解線性遞歸式通常方法，能夠試著寫出對(duì)于通常線性遞歸式特征方程和通項(xiàng)公式，鑒于3次以上方程求解比較困難，且競賽中也不多見，我們僅需掌握這兩種就夠了。(4)數(shù)學(xué)歸納法簡單說就是依照前幾項(xiàng)規(guī)律猜出一個(gè)結(jié)果然后用數(shù)學(xué)歸納法去證。這么題雖說有不少不過要提升不完全歸納水平實(shí)在不易。大家應(yīng)該都會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法，所以這里不詳細(xì)說了。但需要記得有這么一個(gè)方法，適當(dāng)時(shí)候能夠拿出來用。(5)聯(lián)絡(luò)三角函數(shù)三角函數(shù)是個(gè)很奇妙東西，看看下面例子看起來似乎摸不著頭腦，只需聯(lián)絡(luò)正切二倍角公式，馬上就迎刃而解。注：這需要我們對(duì)三角函數(shù)中各種公式用得很熟，這么題目競賽書中能見到很多。例數(shù)列定義以下：，，求通項(xiàng)注：這個(gè)不太好看出來，試試大膽猜測，然后去驗(yàn)證。(6)迭代法先了解迭代含義f右上角數(shù)字叫做迭代指數(shù)，其中是表示反函數(shù)再來了解復(fù)合表示，假如設(shè)，則，就能夠?qū)⑶驠(x)迭代轉(zhuǎn)變?yōu)榍骹(x)迭代。這個(gè)公式很輕易證實(shí)。使用迭代法求值基礎(chǔ)。而在數(shù)列中我們能夠?qū)⑦f推式看成，所以求通項(xiàng)和求函數(shù)迭代就是一樣了。我們盡可能找到好g(x)，方便讓f(x