2022高中數(shù)學2-1第2課時余弦定理同步導學案北師大版必修5

第2課時余弦定理知能目標解讀經(jīng)過對隨意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理，理解用數(shù)量積推導余弦定理的過程，并領(lǐng)會向量在解決三角形的胸懷問題時的作用認識余弦定理的幾種變形公式及形式會從方程的角度來理解余弦定理的作用及合用范圍，并會用余弦定理解決“已知三邊求三角形的三角”及“已知兩邊及其夾角求三角形中其他的邊和角”等問題能嫻熟應(yīng)用余弦定理解三角形以及現(xiàn)實生活中的實際問題重點難點點撥重點：余弦定理的證明及其應(yīng)用難點：辦理三角形問題適合地選擇正弦定理或余弦定理學習方法指導一、余弦定理余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，那么有如下結(jié)論：a2=b2c2-2bccoA,b2=a2c2-2accoB,c2=a2b2-2abcoC即三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍這一結(jié)論叫做余弦定理，它揭露了隨意三角形邊角之間的客觀規(guī)律也是解三角形的重要工具注意：1）在余弦定理的每一個等式中含有四個量，利用方程的思想，能夠知三求一2）余弦定理也為求三角形的相關(guān)量（如面積，外接圓，內(nèi)切圓等）提供了工具，它能夠用來判斷三角形的形狀，證明三角形中的相關(guān)等式，在一定程度上，它比正弦定理的應(yīng)用更為寬泛對于公式的變形：將余弦定理稍加變形，能夠獲得此外的形式，我們稱為余弦定理的推論掌握這些表達形式，能夠幫助我們深入理解和靈活應(yīng)用余弦定理coA=b2c2a2，coB=a2c2b2，coC=a2b2c22bc2ac2ab由上述變形，聯(lián)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可知道：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角為鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角為銳角從這一點說，余弦定理能夠看作勾股定理的推廣，而勾股定理則是余弦定理的特例二、余弦定理的證明教材中給出了用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法，是平面向量知識在解三角形中的應(yīng)用此外，對余弦定理的證明，還能夠應(yīng)用解析法、幾何法等方法證明證明：方法1：（解析法）如下圖，以A為原點，△ABC的邊AB所在直線為軸，成立直角坐標系則A（0,0）,CbcoA,binA,Bc,0,由兩點間的距離公式得

22BC=（bcoA-c）bin

A-0

2,即a2=b2c2-2bccoA同理可證b2=a2c2-2accoB,c2=a2b2-2abcoC方法2：（幾何法）如圖當△ABC為銳角三角形時，過C作CD⊥AB于D，則CD=binA,AD=bcoA,BD=AB-AD=c-bcoA222222Ac-bcoA2在Rt△BCD中，BC=CDBD,即a=bin所以2=22-2bccoAabc同理可證b2=a2c2-2accoB,c2=a2b2-2abcoC如圖，當△為鈍角三角形時，過C作垂直于的延伸線，垂足為，ABCCDABD則AD=bcoA,CD=binAcoBD=AD-AB=bA-c在Rt△BCD中222222A（bcoA-c）2,BC=CDBD,即a=bin所以a2=b2c2-2bccoA同理可證：b2=a2c2-2accoB,c2=a2b2-2abcoC三、余弦定理的應(yīng)用余弦定理主要合用以下兩種題型:1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時只有一解；2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理，必有一解注意：在應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長時，容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理中波及的是邊長的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時需要特別注意三角形三邊長度應(yīng)知足的基本條件知能自主梳理余弦定理（1）語言表達：三角形任何一邊的平方等于減去的積的（2）公式表達:a2=;b2=;c2=變形:coA=;coB=;coC=余弦定理及其變形的應(yīng)用應(yīng)用余弦定理及其變形可解決兩類解三角形的問題，一類是已知兩邊及其解三角形，另一類是已知解三角形［答案］11其他兩邊的平方和這兩邊與它們夾角的余弦兩倍2b2c2-2bccoAa2c2-2accoB22-2coC3b2c2a2a2c2b2a2b2c2abab2bc2ac2ab2夾角三邊思路方法技巧命題方向已知三邊解三角形［例1］在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和inC［剖析］在三角形中，大邊對大角，所以a邊所對角最大［解析］∵a＞c＞b,∴A為最大角,由余弦定理得，coA=b2c2a2=325272＝1，2bc2352又∵0°＜A＜180°,∴A=120°，∴in=in120°=3A2由正弦定理a＝c得，sinAsinCinC=csinA=53532=a714∴最大角A為120°，inC=5314［說明］（1）求inC也可用下面方法求解：coC=a2b2c2=723252=11，2ab27314∴C為銳角in=2C=1（112＝531414在解三角形時，有時既可用余弦定理，也可用正弦定理變式應(yīng)用1在△ABC中，已知bc：ca：ab=4：5：6，求△ABC的最大內(nèi)角［解析］設(shè)bc=4,ca=5,ab=6＞0則abc=,解得a=,b=,c=∴a是最大邊，即角A是△ABC的最大角由余弦定理，得coA=b2c2a2=-1,2bc20°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角為120°命題方向已知兩邊及一角解三角形［例2］△ABC中，已知b=3,c=33,∠B=30°,解三角形［剖析］由題目可知以下信息：①已知兩邊和其中一邊的對角②求此外的兩角和另一邊解答此題可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的邊和角，也可由余弦定理列出對于邊長a的方程，求出邊a,再由正弦定理求角A，角C［解析］解法一：由余弦定理b2=22-2acco,acB得32=a2332-2a×33×co30°,a2-9a18=0,得a=3或6當a=3時，∠A=30°,∠C=120°=asinB61當a=6時，由正弦定理in=2=1Ab3∴∠=90°,∴∠=60°AC解法二：由bcin30°=33×1=33知此題有兩解22由正弦定理inC=csinB=3313,2=b32∴∠C=60°或120°，當∠C=60°時，∠A=90°,由勾股定理a=b2c2=32(33)2=6當∠C=120°時，∠A=30°，△ABC為等腰三角形，a=3［說明］知兩邊和一角解三角形時有兩種方法：（1）利用余弦定理列出對于第三邊的等量關(guān)系成立方程，運用解方程的方法求出此邊長直接用正弦定理，先求角再求邊用方法（2）時要注意解的情況，用方法（1）就防止了取舍解的麻煩變式應(yīng)用2在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且coA=1,若a=4,bc=6,且4bb22222222222ca1（bc）2bca11sinCcsinCcbcacbca2bc42bc42sinBb2sinB2b2bc2b2bc52628212a2a1a22a122a12aa813csinCc15135132562022a2a2a2a124asinAasin2A33csinCcsin2A33321322a2c2b2a24a2a2a322sinA42asinAasinA4244432ac2a·2a46446b2c2a2bc1211142521213b>c,332bc2bc23222·4·5·22∴最大角為=3，若A為銳角，則A=60°，又C<B<A,∴ABC<180°，這顯然不可能，∴A為鈍角21∴coA=-,設(shè)c=,則b=2,a=4∴x2x22x421，2xx2=-2∴=3，故三邊長為3，5，7三、解答題6在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,且a=6,coA=7,求△ABC的面積8［解析］∵b2-bc-2c2=0,∴b2-b-2=0,cc解得b=2,即b=2c由余弦定理，得a2=b2c2-2bccoA,即b2c2-7bc=6,與b=2cc4聯(lián)立解得b=4,c=2∵coA=7,8∴inA=1cos2A=15,8115△ABC22課后加強作業(yè)一、選擇題1在△ABC中，b=5,c=53,A=30°,則a等于（）B.4［答案］A［解析］由余弦定理，得2bccoA=b2c2-a2,∴2×5×53×co30°＝52＋（53）2-a2,∴2=25,∴=5aa2在△ABC中，已知a2=b2c2bc,則角A為（）A3B6C2D或2333［答案］C［解析］∵a2=b2c2bc,∴coA=b2c2a2==b2c2b2c2bc,2bc2bc又∵0<A<π,∴A=233在△ABC中，若a=31,b=3-1,c=10,則△ABC的最大角的度數(shù)為（）°°°°［答案］C［解析］顯然10＞31＞3-1,2222＝－1∴coC=31331110=-,∴C=120°21·3424△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊長分別為a，b，,設(shè)向量c62a2b2c2ab132a2222224-4324ABBC492536193232ab2ab2233325735ABBCABBCABBC19146321114422101642216161672483544243393293940210322213371133711334131919222913322232C22552522322425a2c2b226222ac2abcbsinA2sin7543122ac2ac2sinAsinBsinCsinBsin4522bsinC2sin602361bsinA3333csinA53.4543102232，周長sinBsin4522a714a419672為20cm，求此三角形各邊長［解析］設(shè)三角形的三