土木工程測量講義誤差理論

《測量學》

第五章

測量誤差基本知識491§5-1測量誤差概念一、測量誤差產(chǎn)生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性492一、測量誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生測量誤差的三個因素：儀器原因—儀器精度的局限性,軸系殘余誤差等；人的原因—判斷力和分辨力的限制,經(jīng)驗缺乏等；外界影響—氣象因素如溫度變化,風力,大氣折光等

。結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件—上述三大因素總稱為觀測條件觀測精度—在觀測條件基本相同的情況下進行的觀測，稱為“等精度觀測”；否則，稱為“不等精度觀測”。

493二、測量誤差的分類與處理原則（一）系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，如果誤差的出現(xiàn)在符號(正負號)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響有一定(數(shù)學或物理)的規(guī)律性。如能夠發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可進行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494按測量誤差產(chǎn)生原因和對觀測成果的影響，分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。495

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺檢定,尺長改正

鋼尺溫度誤差Dt

鋼尺檢定,溫度改正

水準儀視準軸誤差

i

中間法水準,前后視等距

經(jīng)緯儀視準軸誤差C

盤左盤右觀測,取平均值

對系統(tǒng)誤差采取措施舉例：誤差來源采取措施在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計學規(guī)律。（三）粗差由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產(chǎn)生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯誤)，應(yīng)避免和舍棄粗差。偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標瞄準、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測。496（二）偶然誤差（四）誤差處理原則497粗差

—細心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測值剔除。系統(tǒng)誤差

—找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。三、偶然誤差的特性偶然誤差的定義設(shè)某一量的真值為X，對該量進行n

次觀測，得n個觀測值，產(chǎn)生n個真誤498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值與觀測值之差定義為“真誤差”,真誤差屬于偶然誤差,但真值必須已知才能求得真誤差。測量的觀測和計算中,在一般情況下真值是不知道的，只能根據(jù)幾何條件等間接知道真值,例如三角形三個內(nèi)角之和為180°(真值),而三個內(nèi)角的觀測值之和也可以作為一個獨立的觀測值，據(jù)此求得三內(nèi)角之和的真誤差(稱為三角形角度閉合差)。

多次觀測中尋找偶然誤差的規(guī)律：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角,三角形內(nèi)角之和的真值為180°，觀測值為三個內(nèi)角之和

(i+i+i)，因此其真誤差(三角形閉合差)為：i

=180°–

(

i

+

i+

i)觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果列于表5-1,據(jù)此分析三角形內(nèi)角和的真誤差i

的分布規(guī)律。499

表5-1

偶然誤差的統(tǒng)計4910誤差區(qū)間

dΔ"負誤差正誤差誤差絕對值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差不超過一定數(shù)值；漸降性：誤差絕對值小的出現(xiàn)的頻率大，誤差絕對值大的出現(xiàn)的頻率??；對稱性：絕對值相等的正負誤差頻率大致相等；抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，由于正負相消，偶然誤差的平均值趨近于零。用公式表示為：4911三角形閉合差的頻率直方圖正態(tài)分布曲線以及標準差和方差4912在統(tǒng)計理論上如果觀測次數(shù)無限增多(n→∞)，而誤差區(qū)間dΔ又無限縮小，則頻率直方圖成為一條光滑的曲線，在統(tǒng)計學中稱為偶然誤差的“正態(tài)分布曲線”,其數(shù)學方程式為：式中參數(shù)σ稱為“標準差”,其平方σ

2

稱為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：標準差的計算式：§5-2評定測量精度的標準一、中誤差4913用標準差衡量測量觀測成果的精度，在理論上是嚴格和合理的。但在實際測量工作中，不可能對某一量進行無窮多次觀測。因此，定義：根據(jù)有限次觀測的偶然誤差，用標準差計算式求得的稱為“中誤差”，其計算式為：選擇兩組三角形內(nèi)角之和的觀測值，求得三角形角度閉合差，分別按上式在表5-2中計算中誤差，得到：第1組:

m1=

±2.7″

第2組:

m2=

±3.6″可見第1組的觀測精度高于第2組。按觀測值的改正值計算中誤差4914表5-2m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值誤差的正態(tài)分布曲線的比較：m1=

2.7m2=

3.64915不同中誤差的正態(tài)分布曲線

4916二、相對誤差三、極限誤差（容許誤差）某些觀測值的精度如果僅用誤差衡量，還不能正確反映其質(zhì)量，例如，距離測量誤差應(yīng)與長度成正比。觀測值的中誤差除以觀測量，稱為“相對誤差”。例如200m距離的測距中誤差為2cm,測距的相對誤差為1∶10000;

500m距離測距中誤差也為2cm，則測距相對誤差為1∶25000；后者精度高于前者。根據(jù)正態(tài)分布方程式，可以表示誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ的概率：將上式積分，得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間,則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率：4917分別以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然誤差的絕對值不大于中誤差、2倍中誤差、3倍中誤差的概率：由此可見，大于2倍中誤差出現(xiàn)的概率小于5％，大于3倍中誤差出現(xiàn)的概率小于0.3％。因此，測量工作中以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“允許誤差”或“限差”。4918§5-撤3觀測慌值的腔算術(shù)唱平均鄉(xiāng)豐值及狹改正擁值一、鍛算術(shù)冬平均幅值在相同煩的觀測滔條件下仰，對某痕一量進量行n次觀領(lǐng)測，群觀測腹值為li(i=躍1～n),取其算術(shù)平芹均值作為洲該量甜的最平可靠透的數(shù)囑值（臣故也從稱“最或面然值”）：算術(shù)疤平均陵值為稱何是勻該量艷最可雁靠的富數(shù)值舌？可拒以用緊偶然供誤差登的特良性來賞證明鹽：證明陪算術(shù)味平均賴值是抬最或常然值4919按真粥值計古算各栗個觀都測值顏的真卵誤差疲：將上列趣等式相偶加，并除記以n,得到臉：故算從術(shù)平易均值敏比較接近泰于真才值，紫而成為最可丘靠的數(shù)研值：二、幕觀測駛值的克改正救值最或然松值與觀繁測值之啞差稱為則“觀測賠值的改渴正值”(簡稱改正值)v:4920對［vv怕]求極小艘值：算術(shù)猴平均滾值符究合最枝小二虜乘法第原理取改至正值魯總和減：說明：系一組觀目測值取矛算術(shù)平踢均值后螺，各個卻觀測值谷的改正值之榜和恒羊等于真零，此待可以睛作為些計算顏的檢仿核?！?-4觀測值畏的精度著評定在同費樣觀予測條輩件下騎對某政一量您進行n次觀療測，礦求得吐算術(shù)惹平均值及觀防測值的賞各個改顯正值v，據(jù)此計碑算觀測流值的中浴誤差：4921對比踩按真英誤差Δ計算中徹誤差的艷公式：紹兩者差較別僅在斯于以（n－1）代替n，以天代替斜真值X：兩式取撒總和并顧喘及偶助然誤鳳差的正相消壁性，驢可以蠶證明底：因此可以按觀測笛值的改殿正值計產(chǎn)算中誤珠差算術(shù)雪平均花值計旱算的增實用微公式由于滿各個漠觀測芳值相鑄差很民小，礦為計竊算方原便令越其數(shù)撤值的艙相同據(jù)部分旺為l0,差異壟部份泳為Δl，即li=l0+Δli,算術(shù)平階均值的拖實用公殿式：4922按各嘗個觀非測值板的改畏正值浙計算取觀測泊值中衰誤差噴的公注式：按觀且測值額的改率正值疤計算執(zhí)中誤儀差的慕算例（一談段水謊平距藥離的末多次爭觀測飼）4923次序觀測值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算術(shù)平均值及觀測值中誤差1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017(m)觀測值中誤差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26計算破算術(shù)莖平均哥值及液其中約誤差莊的小揚結(jié)：一、敞已言知真掀值X,進行n次觀奧測，恐則計痕算觀敞測值是的真姿誤差顆與中解誤差冤。二、真蝴值不知,則進行n次觀測組，計算紗算術(shù)平炒均值、筐改正值籍及其中濱誤差。4924中誤鋸差：真誤差攀：中誤差沾：改正值撿：算術(shù)繼平均狠值：§5機-5誤差迷傳播清定律4925一、觀逆測值的合函數(shù)測量所栗采集的閉數(shù)據(jù)(量)并非興都是到直接叢觀測驕值，虛而是抵觀測牲值的勒函數(shù)織。觀蓄測值墾的誤按差使坑其函禁數(shù)也捏具有沖一定罩的誤升差。派例如兩：和差的函數(shù)—例如算薪術(shù)平均莫值例如珍斜距蔽改平例如期分段精量距敗相加例如圖累上量長筆度,化為實睡地長度倍函罵數(shù)—線性函抵數(shù)—和差宅函數(shù)—二、一洽般函數(shù)澤的中誤偉差4926舉例選說明羞：矩轟形地欺塊，棕量長昌度a、寬糟度b，求其面油積P。面積是態(tài)觀測值盞長度a和寬度b的函拉數(shù)，刊函數(shù)結(jié)式為禍：對函數(shù)拴式中的普自變量a、b求偏微辱分:將微分斗元素以嶺偶然誤赴差Δi代替面積孔誤差(圖中旗陰影剪面積)具有直觀的百幾何意定義4927對于于上述亡地塊耍的長練度和巧寬度灣進行n次觀詠測：上列n個等式欲平方后阻取其總予和，并冒除以n,得到：根據(jù)洞偶然暖誤差戀的抵筍償性厚，得艱到：按照中胳誤差的吊定義，脫上式可鏡改寫為求面積甲中誤差公式：對于惱一般羽函數(shù)激（包臟括和態(tài)差函滾數(shù)、脫倍函福數(shù)、效線性蛙函數(shù)送）：4928誤差大傳播電定律—一般邀函數(shù)旋的中奮誤差認計算式中xi為自變齡量(獨立觀授測值)，設(shè)mi為觀好測值嘩的中外誤差項，Z為獨紅立變寧量的脂函數(shù)浮。則Z的中抵誤差坡為：式中鐮為短各個肅變量悠的偏導數(shù)。4929三、邀線性炭函數(shù)告和倍猴函數(shù)圈的中汁誤差線性函知數(shù)：自變買量的鉆偏導墾數(shù)：按照禍誤差迫傳播震定律料，得孟到線冶性函冷數(shù)的匪中誤造差：算術(shù)平標均值呆也概屬于觀唇測值的撐線性函秤數(shù)，根規(guī)據(jù)誤差傳播定幣律：4930由于乘是等慮精度栽觀測,因此m1=m2=…=mn=m由此可掌見，算旨術(shù)平均高值的中卵誤差比金觀測值狐的中誤差小冶倍。如果恒線性紀函數(shù)市只有窗一個央自變千量：,則成殲為倍函數(shù)，其嶺中誤猾差為返：上式中固的系數(shù)k，即為誤醋差擴大倆的倍數(shù)州。4931函數(shù)辣式為慨：D=前50顧0d實地距精離和量卡距中誤潛差為：該距炕離及抵其中宅誤差倒可以鉗寫成帽：例：量得碑比例濤尺為1∶50張0的地形仆圖上兩知點間長詳度d=13怖4.7mm,圖上量茅距中誤渠差為0.2mm,換算為辭實地距第離D和量距遷中誤差mD。其他線兵性函數(shù)璃，例如亭和差函堵數(shù)：4932其中誤敬差均為加：和差題函數(shù)茄的中苦誤差鍵計算吼方式壯也可祝用于鏡多種慮獨立評誤差們來源的觀年測值踐中誤鏟差的鉛計算田。例朝如用汁測角紐奉儀器拖觀測頃水平播方向時，禍同時媽受到村對中熔、瞄朱準、待讀數(shù)咬、儀陷器誤東差、丟大氣萬折光等誤差黑影響，好觀測水研平方向諷的偶然澡誤差是根這些誤趙差的代山數(shù)和：故觀測殘水平方夕向的中日誤差為叫：誤差識傳播握定律吧小結(jié)第一梢步：茫寫出哀包含撿各個泊自變裳量(獨立觀搏測值)的函裳數(shù)式第二淘步：艇寫出命全微隨分式(計算岸對各蒜個自她變量俊的偏逼導數(shù))第三急步：滑按誤剪差傳伐播定岸律寫街出中矛誤差夸關(guān)系矮式注意搶：誤差傳糟播定律槽只適用委于將各西個獨立奮觀測值售作為自正變量升。如姿果觀閑測值曲之間謀是相煤關(guān)的傘，則乳得到的結(jié)栽果將凳是不四嚴格僵的。4933函數(shù)式拒：函數(shù)杯中誤唉差：§5輩-6誤差傳什播定律告的應(yīng)用4934一、距本離測量劫的精度光電跌測距編的誤典差來鍋源有世：儀淡器誤夕差、具氣溫主氣壓磚測定抵誤差邀、儀錢器對離中誤升差、粒傾斜粉改正傲垂直斥角測釋定誤繞差等砌。這務(wù)里僅刃討論博前二競者，壞即儀法器頻診率調(diào)銜制誤澇差df、測定稅相位的能誤差dΔφ以及氣研象測定禿誤差影阻響折射霜率dn。斜距測學定的函嗚數(shù)式對各緣瑞個自云變量求偏質(zhì)導數(shù)妹得到真誤差謹關(guān)系式用誤差口傳播定避律得到齊光電測漿距中誤溜差的估菌算式：4935上式題根號簽內(nèi)第嫌一項公為測構(gòu)定相轉(zhuǎn)位誤謹差的睡影響貨，它燦與距異離長般短無溪關(guān)，選稱為株“常誤差a”；第二希、第三補相為氣流象測定她誤差與聲頻率誤摸差的影削響，它層們均與椒距離長寄度成正畜比，稱記為“比例誤儉差b”。械因此,光電測鞭距的誤蔽差估算縫式：上式常竭作為測沒距儀本惹身的精姓度指標近，a的單位精為mm，b為百破萬分游率，靜即每股公里寄的毫段米數(shù)(mm/km)。二、角任度測量悟的精度DJ組6級經(jīng)緯胃儀和6秒級全滿站儀一范測回方睡向觀測賤值中誤差m=±愁6″，水平良角為兩吳個方向患觀測值布之差，診故半測回水揭平角則觀測改的中顫誤差漫為：4936一測回男水平角喜取盤左憤盤右角我度的平堆均值，斥故半測杜回水平撲角值的捏中誤差迎為：盤左、筐盤右水公平角值信之差的伐中誤差超為：以2倍中誤吹差作為朱極限誤棟差為±34乒″(一般規(guī)緊定40″承)多邊形爆水平角猛觀測角遷度閉合遷差的規(guī)里定多邊形羊內(nèi)角(水平逼角β)之和制在理鉆論上墻應(yīng)為(n-2)18慘0°,由于名水平角觀削測中的蘭偶然誤綢差，產(chǎn)銀生角度請閉合差暖：4937每個貸角度愁的測瞧角中拴誤差弟為mβ,則n個角嘆度之豪和的狐中誤衣差:以2倍中船誤差拴作為畫極限館誤差,則n邊形茅的角慎度的豬允許拖閉合起差例：設(shè)劣水平角娃觀測的逮中誤差mβ=±1槐8″,則三角飾形的允許角鉛度閉迎合差縣：三、煩水準涂測量郊的精乳度水準測接量高差急測定的餅計算式h=a-b,設(shè)用S3水準儀衰在水準笨尺讀數(shù)偽的中誤至差m=±1mm，則一次去測定亮高差茄的中鞏誤差央：4938兩次測吼定高差拼之差Δh=h1-h2,則高差鄉(xiāng)豐之差的中誤差勞：以2倍中設(shè)誤差不作為波極限漢誤差,則允進許的較高差醒之差為±4mm水準包路線膜高差腳測定蜘的精鳳度4939在一條頂附合水綿準路線獄進行水元準測量,共設(shè)n個測殺站,其高喉差的總和梁：設(shè)水準進尺讀數(shù)縮慧誤差為m,每次高怪差測定鬼中誤差政為mh,則線路計的高差度總和的鈔中誤差載：設(shè)水吳準線越路長燙度為L,各測站毯前、后企視平均憤長度為d,單位長度黎的高獅差測直量中盒誤差織為m0,則：，，L以公個里為找單位m0為每公潮里高差測量央中誤差4940上式說講明：水班準測量知的精度圓與水準臣路線的茶長度的壁平方根成正擋比。水準測禁量的等咳級以每卡公里高從差測量跳的中誤雷差mo作為精屯度指標余：水準測量等級一等二等三等四等

mo±1

mm±2

mm±6

mm±10

mm據(jù)此,可以按影水準測柏量等級栗和設(shè)計姻水準路悔線長度,估算水準歲測量君全程攏的高揚差中牛誤差煤。例申如,路線攤長5k牲m的四卷等水準測康量的精涂度：四、坐裕標計算元的精度4941兩點度之間,如果已想測定其在水平距策離D和方攪位角α,則可擴按下恰式計嫂算其根坐標眨增量領(lǐng)：對觀教測值(自變量)D和α求偏導租數(shù),得到沫函數(shù)橫式的纏全微嗚分：按誤芹差傳屯播定瞎律,將上式叼轉(zhuǎn)換為葵坐標增單量的中箱誤差表耐達式4942坐標床增量喪的中徹誤差:上式題右邊吵根號矛內(nèi)第汁一項刺為縱京向誤圈差,是由毀距離尤誤差窯造成,第二項阿為橫向玩誤差,是由角鼻度誤差頁造成。師由縱橫垃坐標增量男誤差辜或縱鳥橫向祖誤差多，形孟成兩立點間司的相候?qū)c依位誤當差：一、荷不等強精度匪觀測正與觀蒜測值惑的權(quán)4943§5-硬7加權(quán)平等均值及萬其中誤下差同一量確的一系蜓列等精蛋度觀測吼值可以辦取其算貫術(shù)平均徹值，而同據(jù)一量注的一糊系列緣瑞不等壁精度稈觀測梁值則冠應(yīng)取粥其加權(quán)戒平均腸值。“權(quán)”(P)意為衡板量輕重,觀測酸值的烈中誤另差(m)小,則權(quán)大;反之影則權(quán)任小。定義權(quán)肚與中誤糖差的平添方成反鈴比：C為任俱意常貫數(shù)。蕉等于1的權(quán)京稱為牙“單鐮位權(quán)食”,權(quán)等于1的中誤差照稱為“單位挎權(quán)中穿誤差”(mo)。因此,權(quán)和桃中誤宵差的標另一爐種表鴨達式呢為：4944為了承使“抹權(quán)”填的概呆念簡丹單明耽了，條取一表次觀究測、診一個首測回促或單僅位長憑度（骨例如1墊km）等名的測輛量誤石差作她為單斧位權(quán)湯中誤悠差。俱例如吧，以屯一測拉回的乓水平駝角觀炸測中奪誤差mβ為測角危的單位牛權(quán)中誤挖差,則n測回取竟其算術(shù)疼平均值鬼的