獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用Word版含解析

3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其實(shí)施步驟．(重點(diǎn))2．能利用條形圖、列聯(lián)表探討兩個(gè)分類變量的關(guān)系．(易混點(diǎn))3．了解K2的含義及其應(yīng)用．(重點(diǎn))4．通過對(duì)數(shù)據(jù)的處理，來提高解決實(shí)際問題的能力．(難點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想提升邏輯推理的素養(yǎng)．2．借助k2公式培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．3．借助條形圖培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng).1．分類變量及2×2列聯(lián)表(1)分類變量變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2.等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)eq\f(a,a＋b)和eq\f(c,c＋d)相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)定義：利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．(2)K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k.③如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．思考：有人說：“我們有99%的把握認(rèn)為吸煙和患肺癌有關(guān)，是指每100個(gè)吸煙者中就會(huì)有99個(gè)患肺癌的．”你認(rèn)為這種觀點(diǎn)正確嗎？為什么？[提示]觀點(diǎn)不正確.99%的把握說明的是吸煙與患肺癌有關(guān)的程度，不是患肺癌的百分?jǐn)?shù)．1．下列變量中不屬于分類變量的是()A．性別 B．吸煙C．宗教信仰 D．國籍B[“吸煙”不是分類變量，“是否吸煙”才是分類變量．故選B.]2．下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x282533總計(jì)b46則表中a，b處的值分別為________．52,60[∵a＋21＝73，∴a＝52.b＝a＋8＝52＋8＝60.]3．根據(jù)下表計(jì)算：不看電視看電視男3785女35143K2的觀測(cè)值k≈________(保留3位小數(shù))．4.514[k＝eq\f(300×37×143－85×352,122×178×72×228)≈4.514.]用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系【例1】在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關(guān)系．[解]2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360總計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)＝eq\f(43,64)＝0.671875.eq\f(c,c＋d)＝eq\f(27,60)＝0.45.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．1．作2×2列聯(lián)表時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類別．注意應(yīng)該是4行4列，計(jì)算時(shí)要準(zhǔn)確無誤．2．利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表，然后根據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱()A．8 B．9C．14 D．19C[由10×26＝18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．用等高條形圖分析兩變量間的關(guān)系【例2】為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：陽性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736對(duì)照組92837總計(jì)383573試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？[解]等高條形圖如圖所示：其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系．利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖所示的是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖中可以看出()A．性別與喜歡理科無關(guān)B．女生中喜歡理科的比例約為80%C．男生比女生喜歡理科的可能性大些D．男生中不喜歡理科的比例約為60%C[由題圖可知女生中喜歡理科的比例約為20%，男生中喜歡理科的比例約為60%，因此男生比女生喜歡理科的可能性大些．故選C.]由K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)[探究問題]1．在K2運(yùn)算后，得到K2的值為29.78，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥7.879)≈0.005，哪種說法是正確的？[提示]兩種說法均正確．P(K2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)；而P(K2≥7.879)≈0.005的含義是在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)．2．你能說一下用K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的依據(jù)嗎？[提示]獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”成立，計(jì)算隨機(jī)變量K2的值，如果K2值很大，說明假設(shè)不合理．K2越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．【例3】隨著生活水平的提高，人們的休閑方式也發(fā)生了變化．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了n個(gè)人，其中男性占調(diào)查人數(shù)的eq\f(2,5).已知男性中有一半的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)，而女性中只有eq\f(1,3)的人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)完成下列2×2列聯(lián)表：運(yùn)動(dòng)非運(yùn)動(dòng)總計(jì)男生女生總計(jì)n(2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的人數(shù)至少有多少？[思路點(diǎn)撥](1)依據(jù)2×2列聯(lián)表的定義填表；(2)計(jì)算K2，利用臨界值建立不等關(guān)系，求n的值．[解](1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下：運(yùn)動(dòng)非運(yùn)動(dòng)總計(jì)男性eq\f(1,5)neq\f(1,5)neq\f(2,5)n女性eq\f(1,5)neq\f(2,5)neq\f(3,5)n總計(jì)eq\f(2,5)neq\f(3,5)nn(2)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，則P(K2≥k0)≈3.841.由于K2的觀測(cè)值k＝eq\f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)·\f(2n,5)－\f(n,5)·\f(n,5)))eq\s\up12(2),\f(2n,5)·\f(3n,5)·\f(2n,5)·\f(3n,5))＝eq\f(n,36)，故eq\f(n,36)≥3.841，即n≥138.276.又由eq\f(1,5)n∈Z，故n≥140.故若在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”，那么本次被調(diào)查的至少有140人．1．(變結(jié)論)根據(jù)(2)的結(jié)論，本次被調(diào)查的人中，至少有多少人的休閑方式是運(yùn)動(dòng)？[解]根據(jù)(2)的結(jié)論，本次被調(diào)查的人中，至少有eq\f(2,5)×140＝56(人)的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．2．(變條件)若增加條件n＝100，問能否在犯錯(cuò)誤不超過0.1的前提下，可認(rèn)為“性別與休閑方式有關(guān)”？[解]由(2)可知，當(dāng)n＝100時(shí)，K2的觀測(cè)值k＝eq\f(100,36)≈2.78>2.706.故在犯錯(cuò)誤不超過0.1的前提下，我們可以認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)．解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的步驟獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的求解策略(1)等高條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個(gè)變量的相關(guān)性．(2)K2統(tǒng)計(jì)量法：通過公式k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).先計(jì)算觀測(cè)值k，再與臨界值表作比較，最后得出結(jié)論．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若K2越大，則兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大．()(2)2×2列聯(lián)表是借助兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系．()(3)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的．()[答案](1)√(2)√(3)×2．在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說法中正確的是()A．100個(gè)心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個(gè)人患心臟病，則這個(gè)人有99%的概率打鼾C．100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人D．100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒有D[這是獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個(gè)概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知答案應(yīng)選D.]3．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是________．(4)[在四幅圖中圖(4)中兩個(gè)深色條的高相差最明顯，說明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)，故選(4)．]4．某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品總計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020