新教材人教A版必修第二冊第8章851直線與直線平行學(xué)案

8.5空間直線、平面的平行8..學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解并把握根本領(lǐng)實(shí)4，并會(huì)用其解決相關(guān)直線與直線平行問題．2．理解等角定理，并會(huì)用其解決有關(guān)問題．1．通過根本領(lǐng)實(shí)4和等角定理內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．2．通過根本領(lǐng)實(shí)4及等角定理的應(yīng)用，培育直觀想象和規(guī)律推理力量．如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′．問題：BB′與DD′平行嗎？學(xué)問點(diǎn)1直線與直線平行文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行(根本領(lǐng)實(shí)4)圖形語言符號(hào)語言直線a，b，c，假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c作用證明或推斷兩條直線平行說明根本領(lǐng)實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性1．在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，那么MN與A′C′的位置關(guān)系是________．平行[如下圖，∵M(jìn)，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，MNeq\f(1,2)AC，由正方體的性質(zhì)可得ACA′C′，∴MNeq\f(1,2)A′C′，即MN與A′C′平行．]學(xué)問點(diǎn)2空間等角定理(1)文字語言：假如空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(2)符號(hào)語言：如圖①②所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°．圖①圖②(1)假如一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同(或相反)，那么這兩個(gè)角相等；(2)假如一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且一邊的方向相同，另一邊的方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．2．AB∥PQ，BC∥QR，假設(shè)∠ABC＝30°，那么∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對(duì)B[由于AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ)．由于∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．]類型1平行線傳遞性的應(yīng)用【例1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF[證明]取B1C1的中點(diǎn)G，連接GD1，GE，那么GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1∴四邊形GEDD1是平行四邊形，GD1∥ED，GD1＝ED．∵FD1∥B1G，F(xiàn)D1＝B1∴四邊形FB1GD1是平行四邊形，∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，∴B1F∥ED，B1∴四邊形B1EDF是平行四邊形，又B1E＝eq\r(BB\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)BB1，B1F＝eq\r(B1A\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)A1D1))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)A1B1，A1B1＝BB1，∴B1E＝B1F，∴四邊形B1EDF是菱形．空間兩條直線平行的證明推斷兩條直線平行，除了平面幾何中常用的推斷方法以外，根本領(lǐng)實(shí)4，即平行線的傳遞性，也是推斷兩直線平行的重要依據(jù)．解題時(shí)要留意中位線的作用．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B[證明]如下圖，取DD1的中點(diǎn)Q，連接EQ，QC1．∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQA1D1．∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，∴B1EC1Q．又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)，∴QDC1F∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1QFD．又B1EC1Q，∴B1EFD，故四邊形B1EDF為平行四邊形．類型2等角定理的應(yīng)用【例2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1(1)求證：四邊形BB1M(2)求證：∠BMC＝∠B1M1[證明](1)∵ABCD-A1B1C1D1∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，∴AM＝A1M1且AM∥A1M∴四邊形AMM1A1∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M(2)法一：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1∥BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M∴∠BMC＝∠B1M1法二：由(1)知四邊形BB1M∴B1M1＝BM同理可得四邊形CC1M∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC∴△BCM≌△B1C1∴∠BMC＝∠B1M1證明兩角相等的方法有哪些？[提示]證明角相等，利用空間等角定理是常用的思索方法；另外也可以通過證明兩個(gè)三角形全等或相像來證明兩角相等．在應(yīng)用等角定理時(shí)，應(yīng)留意當(dāng)兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向都相同或相反時(shí)，這兩個(gè)角相等，否那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．因此，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，只說明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行是不夠的．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．如圖，三棱錐A-BCD的四個(gè)面分別是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F(xiàn)，G分別為線段AB，AC，AD上的點(diǎn)，EF∥BC，F(xiàn)G∥CD．求證：△EFG∽△BCD．[證明]∵在△ABC中，EF∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC)．又FG∥CD，∴eq\f(AF,FC)＝eq\f(AG,GD)．∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AG,GD)，∴EG∥BD．∵∠EFG與∠BCD的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向相同，∴∠EFG＝∠BCD．同理∠FGE＝∠CDB．∴△EFG∽△BCD．1．假設(shè)直線a，b，c滿意a∥b，a，c異面，那么b與c()A．肯定是異面直線B．肯定是相交直線C．不行能是平行直線D．不行能是相交直線C[假設(shè)b∥c，由a∥b，知a∥c，這與a，c異面相沖突，那么b與c不行能平行，應(yīng)選C．]2．假設(shè)∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同A．OB∥O1B1，且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不肯定平行D[當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1時(shí)，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B]3．如下圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，假設(shè)BD＝2，AC＝4，那么四邊形EFGH的周長為________．6[eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EH綉\f(1,2)BD,FG綉\f(1,2)BD))?EH＝FG＝eq\f(1,2)BD＝1．同理EF＝GH＝eq\f(1,2)AC＝2，所以四邊形EFGH的周長為6．]4．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE∶EB＝A