高考數(shù)學(xué)：圓錐曲線11大?？碱}型與近年真題匯總

高考數(shù)學(xué)：圓錐曲線11大?？碱}型與近年真題匯總

直線和圓錐曲線?？碱}型

運(yùn)用的知識(shí),

I.'*.：x=,y=其中工,『是點(diǎn)4（孫弘）.敬一.力）的中點(diǎn)坐標(biāo).

2.i.-I'.：8（..力）在直線y=fcr+b（&nO）上,

則y=hi+Ay,=tv:+b,這是M點(diǎn)縱慟枳林變換，?足兩人斗”小變換技巧之.

網(wǎng)=他-看尸+（外一力尸=一&卜+（也-%］=皿+凡）5-xj

=J（l+&2）［（&+&f-4&xJ

或杳=?演-七尸+（%-）J=JJ%-%?尸+（x-yj=v+FX>,>7）：

=J。++力）J4另?。?

3、兩條“線（：y=勺1+"4:y=K/+a用力［則&/［=-l

兩條一淺垂直.—所在的向垠n?％=。

4、I》這定理：/；JL.次Z/fV"?Zuc=0（〃工0）外兩個(gè)不同的根A』,則$,與=匕<內(nèi)=上.

aa

題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

2vJ

例物I、已知直線=與楠/C:—x十乙=1始終有交點(diǎn)，求m的取值越9

4m

//L

解，根據(jù)聲線/:y=Ax-l的方程可知.宜線忸過(guò)定點(diǎn)（0?1）?確網(wǎng)C:一—」=1過(guò)動(dòng)點(diǎn)（0,士而）」［用工4.如

4m

22

果真線/:y=k?l書(shū)用閱C:土,工=1始終仃交點(diǎn)，則而21.Urn*4,即14,"H,”H4,

A***

?律提示:通過(guò)直線的代數(shù)形式，可以看出宜戰(zhàn)的特點(diǎn):

/:y=H+ln過(guò)定點(diǎn)（0J）

/:>=￡（<+l）n過(guò)定點(diǎn)（-1.0）

/：>>2=A（.t?l）n過(guò)定點(diǎn)（1,2）

題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題

例題2、過(guò)點(diǎn)作H淺/與曲線N:./=》交3A、B網(wǎng)點(diǎn)，在'軸上是再存在點(diǎn)E（$.0）,使汨&4BE足縛

邊三角形，若存在，求出與;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：依題意如，直線的斜率存在，且不等于存

設(shè)j'i線/:y=K（x+D，k*0,A（XQI）,fi（.Vj.y2）a

由"消>'然理，得二丁+（象？一l）x+3=0

①

由宜淺和地物淺交J網(wǎng)點(diǎn)，行A=（2&2-1--4r=-4k2+l>0

即0<Y<1

②

4

2k2-I2嚴(yán)-I_1_

由韋達(dá)定理,得：*+與=-j—.N對(duì)=1。則線段AB的中點(diǎn)為（一

2az'蘇.

戰(zhàn)段的重力平分線方程為:

-2Jt\.II

歹)令y=0Cx“=F-2

???MBE為五角形,二E(-L-Lt))到亢線AB的即離d為蟲(chóng)|A8|,

2—2211

???|A8|=/(x-x)2+(y,-y)2='Vl+A'd=

Al2igjj.

Ryji+H=業(yè)含解得k=±-滿足②式此時(shí)％=-..

二k21川133

題型三：動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題

例題3、己知橢圓C：三+3=1（。>/>>0）的離心率為乂一，且在x軸

a1b22

上的頂點(diǎn)分別為Ai（20）,Aq0）.

<1）求橢圓的方程:

HI）若直線，：x=?/>2）與x軸交『點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線/」異于點(diǎn)T的任

一點(diǎn)，直線PAiJW1分別與橢回交JM,N點(diǎn)，試問(wèn)直戰(zhàn)MN是衿通過(guò)橢

IS的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論

W：<l）由」知蠅惆C的2心4，=￡=史,=l.從而柄切的力程為￡+/=1

a24,

f%

UIftttW(xy,).V(x.yj.。優(yōu)A”的價(jià)本為K.則門(mén)線AM的方程為y4（K?2）,出

p;x,-4yl?4

骼性得(l+4￡'*+l6t/+l&；-4=0v-21U.1,是力界的網(wǎng)個(gè)根..---2.r,=卅=則x,=土耳

I?1K?

,二氤?即C林力（瑞?品

同評(píng).設(shè)北線A;N的外本為k：.則的.，，N的號(hào)除為(絲一；.—二)

1*44；I+-41；

vy.~*,(/?2).v,k,(t-2)/.—_----??.,立段MN的方ft'為:，"'!=’：一''

k,+t,tx-xtx：—3

??.今產(chǎn)0.得XJ：將，，M、N的W標(biāo)代入.化葡A；用：x=-

y,-y：t

<：i>2..-.o<i<2?.??bi5!irr?<<,■,y<(V3.o>.-=V?.w/--

It3

MXI

題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題

例墳4、LlJm.6A.B.C是橢陽(yáng)E；工+￡=1(a>Z>>0)上的二之.其小。A(2jlo)是橢依的力同。.直線BC

a1bl

注橢似的中心O.”元配U.|比卜2p?j.fcil--(D求。C的淤b及橢例E的力程；Uh匕幗囤E上〃《兩力

P.Q,使得百線PC*j“陵QCKJ；l線x~yf3對(duì)稱.RfixfcPQ的第6.

帽⑺?.［前卜2|3?|.HHC過(guò)摘Bl的，，心O

，岡|AC|vACRC01-/ACO三義，A<26,0}.JC的中標(biāo)

2

為(46.

?.?A(26.0)史棲彷的人.，，：，'，..\“=2了,則桶以了出：上+二=

將e，C(A./)代人力限，冏b'=4.橘院E的方程&_L.2_-|

(n?v口或PC。1線QC%;直線人二G對(duì)稱.

.-.設(shè)在相PC的同率為&.比口&QC的￡1率為-k,yjtri線PC的方期為,

-V5=k(xy/i)>lipy=kx+-j3(l-k).illv=*1?1/'U-*)jfjy,卷川行：

x--12=0

(I-3y)/+6>/j￡(I-&)x+9N-18K-3=0???x=6是〃埒的個(gè)根.

n9*--l8Jl-3PI1.9^-1網(wǎng)-3,皿..9妙+I8A-3

即”=兩7詞■所加%=而H

,,)7-y=kx°+?t")+與-瓜1+kLk(x,+%)2&k=-\2k

Q&a+3i)

9{-l故-39七+1弘-3--3.“-.%i

‘%=同+頭b病+*‘)廚;"=

刖自繪PQ的斜率為定ffiq.

題型五：共線向量問(wèn)題

例題5、設(shè)過(guò)*LX0.3)的了I線交曲線M：5+?=1JP.Q兩點(diǎn),H押二/說(shuō).求實(shí)數(shù)/的取值花札

??apta^i?,X|?/?

解：設(shè)hti.yO.Qixj.yihQDP=//>(/\(力乎-3>=/(x?.yi-3>即,,,.

y(=3?/(y.-3)

劉利式法、韋達(dá)定理法、配詼法

y=kx+3

設(shè)力戰(zhàn)PQ的方程為：y=k?3/w0,由2,濟(jì)y等理將.得

[4X2+9/=36

(4+9%：)x2+54tv*45=OvP.Q是曲淺M上的兩點(diǎn)

.?.A=(54《尸4x45(4，9#)=144父8020叩9A‘N5①

54k45..(?，-AJ__2i_+七+

由韋達(dá)定理得:X,------------------=-------------------------

4+9A2'-4+必

542？(1+2尸,362”、4.4

-----------=-------.出---------=--------J4-—

45(4+982)A5(1+2尸9*29k2

由日制0<」r41,代入②、等評(píng)為I<3"一［.解之汨,<2<5

9K55(1+A)155

方力屐PQ的斜率不存在,即x=0時(shí)，班如12=5或2=g。

總之實(shí)效/的雙位范川足1.5.

題型六：面積問(wèn)題

^_+Z.=l<a>b>0>的離心率為亞、覆的個(gè)端點(diǎn)到4羔點(diǎn)的排離為JL

例踵6.已如確圉C：

a'b'3

<I)求物陽(yáng)c的力火:

<11)設(shè)力繾I"橢re交于A、B兩點(diǎn),。杯依點(diǎn)O刎比畿I的斯周為且.求Z^AOB曲校的般人tfl.

2

帆(I)設(shè)懦物的半科即為C,儂吆憊￡44..\b=|..?.所求橢圓方W為三+/

。33

II)設(shè)4(x/K).8(與，*)?“)當(dāng)A8J_x軸時(shí)，|AB|=b,(2)%八8Ox輪小麗力時(shí).

設(shè)仃淺八8的方程為v=liLLiilH-石.fym:=—(it:*1).

I**-"T4

把y=衣+/M代入然眼力耳.奈理得(3公)⑴/+64m<3〃J3=0.

3W!m'I2(m!-I)"

TpTJ-x/產(chǎn)：；二".=(I+R；乂&7f?(1+的

JA+I.軟+1(3*2+l)J3JtJ+l

?:

12(/'+1)(3&'+1-陽(yáng)')3(*+1X9*+1))I2F*12八zx,12

...........?■?--T.—.3，------：—=3.--------：-----(k*U)*<3*----------

(M：+l尸(.U:+lf9上、佻2+|“z上I人2x3+6

9K4-—*O

當(dāng)且僅/9犬=±,即*=±3時(shí)券-成立，［《=0時(shí)，|A8|=有.

綜I所述|人用“，=2.

；「|相|展人時(shí).△*)8面枳取最人侑S=：x卜?*x*=*.

22

題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問(wèn)題

例題7、在平曲A角/標(biāo)系xOy中,過(guò)定點(diǎn)C(0.p)作，線與幗物線d=2py(pXD相交于A.B兩點(diǎn),

-I7:點(diǎn)N是也C美J小標(biāo)原心。的*J稱心.求aANB面枳的端小心(II)是畬存於7Jy他的真找I，使得I

被以AC為(1徑的例技行弦K恒為定值？若存ft..求出1的方程：Yi不存住.說(shuō)明理1由.

1

消去y襯,2pkx?2P2.由韋達(dá)定理得%i*x2=2pk,X|X2=-2p\JJ￡S,v1a,v=+SMCN=7-?2〃|。-x,|

y=kx+p.2

_小_x2|=+公尸-4/公=pj**?+8〃」=2。,+2.

.??當(dāng)A=0?付.(〉min=241M.

（D）假設(shè)滿足條件的JIT線l存在?揖方程力尸“C的中點(diǎn)為0」與AC為直徑的附相交于點(diǎn)P、Q.PQ的中點(diǎn)

為H.則O'H1PQ。'點(diǎn)的坐標(biāo)為（+,丹上）vp'P|=mAC|=；JK；+（.Y「P）2=；〃：+/.

=3%-M_p］，|p〃『二口耳二|07/|2=1(>；+pb-；(勿-M-PY

244

故滿足條件的克紋|療

解法2.

<I)一同解法I.再由弦長(zhǎng)公式袍

|AB|=Ji+A*-x,|=Ji+/-J(.+%)，-相與=Ji+《‘?J"*'+M

=2pVl+*I-V*I+2.

2p

乂由點(diǎn)到力戰(zhàn)的距離公式用d=-l.

Ji+F

:

二;與氏=0時(shí)，（SMnv）max=2-j2p.

《II）假設(shè)滿足條件的小紋l有色.其方程為產(chǎn)a.則以AC為Jtff的例的方程為

(*-OXx-x,)-(y-p)(y-yl)=O,將直。方程y=a代入。

x~-AjX-tfl-p)(a-yj=0.

則4(4p乂ay,)=4(a§)]'"'a(Pa)-

設(shè)直線1與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x2,y2),Q(X4,y4)M

2，4-f).n+“(p-a).

伊。|=,-”=p(a-^)y^a(p-a)

令”與=0.得“=f.此時(shí)聞=/，為定值，故滿足條件的直線I存在，式方程為y二與

_22

即拋物線的通徑所在的宜戰(zhàn)。

題型八：角度問(wèn)題

僅遢8.（如圖（21）1g.MG2,0）和V<2,0）是平曲上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)。滿足：儼時(shí)|I|/W|=6.<I）求點(diǎn)尸的

軌跡方程：(H>r,|PW|-|PV|=，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

I-cosZA/P.V

解:（I）由橢圓的定義，點(diǎn)尸的軌跡是以仇I,為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2所6的橢囤

閃此半焦距-2,長(zhǎng)半軸左3,從而梯羋軸

______22

by/a2-c2=45所以粕陽(yáng)的方程為］-1?=1.

,W(-2.0lQ

2

型（“ffl（II）由|PM||/W|=----------.fy|P,WIIPN\cosMPN=IPM11W|-2.（T

I—cosMPN

因?yàn)閏osMPNx"不為例圓長(zhǎng)軸頂,點(diǎn)，故八乂V；構(gòu)成角形.在△/“「】，|,WN|=4、由余弦定理有

MW=|「必「+歸照-2|PW||PN|cosMPN.

將①代入亦得42=|P,W|J+|P,V|2-2(|P.W||P/V|-2).

故點(diǎn)尸在以KV為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2邪的雙曲線事一》2=Ik.

XV

tillI）知.點(diǎn)戶的平林義滿足二+匚=I,所以

95

ill方程組度+9y:-45,解得[…埋

]_.r2+3y2=3.飛

即“點(diǎn)坐標(biāo)為（空,直人海正）、<型,無(wú)）或"氈.無(wú)）.

22222222

題型九：四點(diǎn)共線問(wèn)題

例題9、設(shè)橢閱C:W+齊=1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)M(V2.1),H皆焦點(diǎn)為吊(72.0)

(T)求橢圓C的方程:

＜II)當(dāng)過(guò)力/(4.I)的動(dòng)fl戰(zhàn)/。橫圖CMI交與四不同點(diǎn)A8時(shí),在線網(wǎng)A8皿點(diǎn)Q.滿足|研研=|阿|而|.

濟(jì)明：點(diǎn)?？?某定直線上

W(DfilSfi：

c2=2

2j

2I.孵存/=4/=2,所求悌冏。H為工+工

—+7V?I

b”

c2=u2-b:

⑵方法

設(shè)點(diǎn)Q、A.B的中標(biāo)分別為(x.y).(&.x)、(x?.yj.

■\PAQ

設(shè)如，斗|而而|.網(wǎng)力與，記2=1=1.則義＞0112*1

PH

乂A.P,B,Q四點(diǎn)九錢(qián)，從而麗=-4而，而=2麗

|=N二生

于是

1-2

、._?+4

>?I+Z

從而

正學(xué)》……⑵

(I)

1-萬(wàn)

又也A.B在桃網(wǎng)C上，即

x：+2＞：=4.........(3)

(I)?(2)X2井結(jié)介(3).(4)W4J?2y=4

即點(diǎn)Q(凡、)總。定口餞2x+y-2=0I:

方法一

設(shè)點(diǎn)O(M、).4.3J,H(公,)力由題設(shè).網(wǎng)麗砌，畫(huà)均不為手.

PAPB

II

XP.A.Q.8網(wǎng)點(diǎn)共線.可設(shè)同i=4而.麗=4而(Jtw0.±1).于足

4-Zrl-Ay

->>■'=I-X(I)

4-fZx14-Zy

-I+A

由于A(KQJ,8(NX)。桶冽C上，(I).(2)分別代入C的力程./+2/=4、整理科

(A*+2『-4)2'-4(2N?y-2)A*14=0(3)

(xz+2y:-4)r+4(2.t+y-2)x+14=0(4)

(4>一(3)得8(2x+y-2M=O

VA*O.A2x+y-2=O

即點(diǎn)Q(?3)總a定ft稅2x+y-2=o上

題型十：范圍問(wèn)題(本質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題)

設(shè)￡、入分別是杯闋」一+『=1的左、在他

4

（I）著尸足該惆鬢1的個(gè)勸心,求麗-而的設(shè)大侑和盛，.

<II）設(shè)過(guò)"點(diǎn)”（0,2）的H線八，確囤交了不同的4小4、8.11-408為銳角（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求rwu的

斜率A的取佰范慣.

W：<1）W；.;-：M如“=2/=I,<=J5所以F（-/10）.K（J10）,設(shè)P（x.y），則

Ph]?PF,=-.t,-yj,（V3-t.-yj=t;+r:-3=<'+l--^--3=q-（3.r:-8）

因?yàn)榘?-2,2卜故與i=0,郢點(diǎn)。為根㈱如軸端.點(diǎn)時(shí).西?職仃最小他-2

Mx=±2,即點(diǎn)。為橢砌K軸瑞點(diǎn)時(shí)，西?玄仃最大值I

艇法：易知”=24=14=b,所以/<（-VIo）,工（J5.0）,設(shè)p（*.y）,則

西.職=阿.網(wǎng)3"人=網(wǎng)網(wǎng)㈣暮金紅

=；［("可+y:+(.t->/3)+/-I2（以卜同餅法）

<IIJM然紅濕1=0不滿足甩設(shè)條件.可設(shè)九線八￥=匕-2,人（馬小）,8（公,外）.

.4*3

??X+X,=---------r.X=-------r

"I?1

+-*-+-

44

由A=(4Ap-4[A.；[x3=4卜-3>0對(duì)：k或A>一半

又。"<ZAOB<90"ccosZAOfl>0<=>OAOR>0：.OAOB?yty2>0

+

乂X'、=(^i2)(U\+2)=A\x>+2k(i(?ij44二?"+■"「+4=?'+'

444

——+――->0,即-<4：.-2<k<2

22

*+lk+-

44

/7H

故由I.②得-2<AV-芋或芋v4v2

題型十一：存在性問(wèn)題（存在點(diǎn)、直線y=kx+b、實(shí)數(shù)、圓形、三角形、四邊形

等）

例1:

設(shè)桶網(wǎng)E:工+1=1<a,h>0)過(guò)M12.-Jl>,N(而.1)兩點(diǎn)，O為,公鼠點(diǎn)，

a*b1

(1)求IftBiE的方程:

“1)￡古分在陽(yáng)心，原點(diǎn)的％I,使得聞網(wǎng)他仃意條切線。格網(wǎng)E恒有各個(gè)交點(diǎn)AHHO/J1.。后?名存《.篤出該

瞄的方H,并求AB的取仙范也，若不存件說(shuō)明理由.

2,

帆(I)囚為描陰E二+二=1abXD過(guò)M<2.壺).N(76.I)^A.

a'bl

H+2=iHif!=?t2

所以，/+/=忸司所以，"、=怖第E的為L(zhǎng)+±=i

61,ll>-=484

、r??-IT三—

lab16-4

(2)G設(shè)存《於心”&大的4,僅N該網(wǎng)的任瑟條曲戈'序網(wǎng)￡7有網(wǎng)介交點(diǎn).4.8」1方，0瓦設(shè)也.同油切線

y=tc*m

""為y=h+k解。斤升/得『)2(匕?nt)2=8,即(1+2k')x'+4kna+2m'-8=0,

一-=1

84

則/\占16￡%/-4(1+2y)(2//-8)=8(&:-〃/+4)>0.圖8--。>+4>0

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