河南省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期摸底聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三理科數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷，草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則A.-2 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解得值，進(jìn)而得到答案．【詳解】由題可得，則，，故，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的條件是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求解出集合，然后再計(jì)算出，最后計(jì)算出【詳解】因?yàn)?，∴，又，所以故選【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集、交集的運(yùn)算，較為基礎(chǔ)3.已知向量，滿足，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及平方法，求解數(shù)量積.【詳解】，故選：B4.若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得之間的關(guān)系，從而可得到漸近線方程.【詳解】雙曲線離心率為，即，所以，則，故C的漸近線方程為.故選：D.5.某幾何體的三視圖如圖所示（其中俯視圖中的曲線是圓?。?，則該幾何體的表面積為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體為圓柱體的一半，結(jié)合表面積公式可得結(jié)果.【詳解】該幾何體為一個(gè)圓柱體的一半，所以表面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)幾何體的三視圖求幾何體的表面、體積問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知，則滿足（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，是單調(diào)遞增函數(shù)，，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，和比較大小，意在考查基礎(chǔ)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知，且，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，利用兩角和與差的正弦公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求出的值，利用二倍角的正切公式求出的值，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，且，可得，解?故選B.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類(lèi)，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．8.若，則下列不等式中，一定不成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法可判斷AB，利用基本不等式可判斷C，利用絕對(duì)值的意義可判斷D.【詳解】∵，則，即，故不成立；因?yàn)?，所以，即，故成立；因?yàn)?，所以，，所以，又，所以，故成立；因?yàn)?，所以，故成立．故選：．9.設(shè)，把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，恰好得到函數(shù)的圖象，則的值可以為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可知，，則，即，當(dāng)時(shí)，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換的規(guī)則，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式，分類(lèi)討論，分別求得不等式的解集，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式可知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?恒成立,綜上：故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，合理分類(lèi)討論是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11.在直角坐標(biāo)系中，拋物線：與圓：相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)間的距離為，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)拋物線與圓C的個(gè)交點(diǎn)為分別為，根據(jù)和圓的性質(zhì)，求得點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，解得，即拋物線M的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離．【詳解】由題意，設(shè)拋物線與圓的其中一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，則，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得，解得，即拋物線M的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線的方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.若函數(shù)恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)槎魏瘮?shù)最多有一個(gè)極值點(diǎn)，故先分析的部分；時(shí)，令，利用參變分離將變形為，構(gòu)造新函數(shù)，判斷的單調(diào)性，得出結(jié)論：最多僅有兩解，因此可確定：時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，時(shí)有一個(gè)極值點(diǎn).時(shí)，利用與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)(數(shù)形結(jié)合)，對(duì)應(yīng)求出的范圍；時(shí)，利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析可求出的另一個(gè)范圍，兩者綜合即可.【詳解】由題可知，當(dāng)時(shí)，令，可化為，令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的圖象如圖所示，所以當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同的解；當(dāng)，令，，解得，綜上，.【點(diǎn)睛】分析極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的時(shí)候，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，這里需要注意：并不是導(dǎo)數(shù)值為零就一定是極值點(diǎn)，還需要在該點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相異.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為，從而求得指定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為．取，可得的展開(kāi)式的系數(shù)為．故答案為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，考查指數(shù)式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，然后利用點(diǎn)斜式求得切線方程.【詳解】,則,而切點(diǎn)的坐標(biāo)為曲線在的處的切線方程為．故答案為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖像上某點(diǎn)處的切線方程的求法，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知得到，利用余弦定理求得的值.【詳解】，，，由正弦定理可得：，．故答案為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.16.已知四點(diǎn)都在以為直徑的球的表面上，若球的體積為，則異面直線與所成角的正切值為_(kāi)______________________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件得一個(gè)三棱錐，再在這個(gè)三棱錐中確定線線關(guān)系，最后根據(jù)平移以及余弦定理求結(jié)果.【詳解】的外心為的中點(diǎn)，平面，易證平面．從而球的半徑．又過(guò)作，過(guò)作，、交于，計(jì)算可得,因此，即異面直線與所成角的余弦值為，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線線角的尋找，主要找平移，即作平行線，進(jìn)而根據(jù)三角形求線線角.線面角的尋找，主要找射影，即需從線面垂直出發(fā)確定射影，進(jìn)而確定線面角.二面角的尋找，主要找面的垂線，即需從面面垂直出發(fā)確定線面垂直，進(jìn)而確定二面角.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件列方程組求出，從而可求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得,所以，故；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，，兩式相減得，所以.18.如圖，三棱柱中，，，，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，所以，再由勾股定理，證得，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，又，所以平?（2）以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，，取，則.又平面，取平面的法向量，所以.由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直判定與證明，以及二面角的計(jì)算問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理．同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19.某工廠共有男女員工500人，現(xiàn)從中抽取100位員工對(duì)他們每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)（單位：百件）頻數(shù)10453564男員工人數(shù)7231811（1）其中每月完成合格產(chǎn)品件數(shù)不少于3200件的員工被評(píng)為“生產(chǎn)能手”.由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān)？非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計(jì)男員工女員工合計(jì)（2）為提高員工勞動(dòng)的積極性，工廠實(shí)行累進(jìn)計(jì)件工資制：規(guī)定每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)在定額2600件以?xún)?nèi)的，計(jì)件單價(jià)為1元；超出件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.2元；超出件的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.3元；超出400件以上的部分，累進(jìn)計(jì)件單價(jià)為1.4元.將這4段中各段的頻率視為相應(yīng)的概率，在該廠男員工中選取1人，女員工中隨機(jī)選取2人進(jìn)行工資調(diào)查，設(shè)實(shí)得計(jì)件工資（實(shí)得計(jì)件工資=定額計(jì)件工資+超定額計(jì)件工資）不少于3100元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用列聯(lián)表求得的觀測(cè)值，即可判斷.（2）設(shè)2名女員工中實(shí)得計(jì)件工資不少于3100元人數(shù)為，1名男員工中實(shí)得計(jì)件工資在3100元以及以上的人數(shù)為，則，,根據(jù)X、Y的相應(yīng)取值求得Z的相應(yīng)取值時(shí)的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望.【詳解】（1）非“生產(chǎn)能手”“生產(chǎn)能手”合計(jì)男員工48250女員工42850合計(jì)9010100因?yàn)榈挠^測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手”與性別有關(guān).（2）當(dāng)員工每月完成合格產(chǎn)品的件數(shù)為3000件時(shí)，得計(jì)件工資為元，由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，男員工實(shí)得計(jì)件工資不少于3100元的概率為，女員工實(shí)得計(jì)件工資不少于3100元的概率為，設(shè)2名女員工中實(shí)得計(jì)件工資不少于3100元的人數(shù)為，1名男員工中實(shí)得計(jì)件工資在3100元以及以上的人數(shù)為，則，，的所有可能取值為，，，，，，，，所以的分布列為0123故.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了二項(xiàng)分布及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20.在直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)，若的兩焦點(diǎn)與其中一個(gè)頂點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.（1）求的方程.（2）已知過(guò)的兩條直線，（斜率都存在）與的右半部分（軸右側(cè)）分別相交于，兩點(diǎn)，且的面積為，試判斷，的斜率之積是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件列出方程組，求出a，b，即可得到橢圓方程．（2）設(shè)，的斜率分別為，.聯(lián)立直線OA與橢圓方程，求得及點(diǎn)到直線的距離，表示出的面積，平方化簡(jiǎn)后得到關(guān)于，的二次方程，解得.【詳解】（1）由題意可知，即，又，得.把代入的方程得，又，解得，從而，，故的方程為.（2）設(shè)，，，的斜率分別為，.聯(lián)立方程組，得，同理得，則.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，則，整理得，即，故，的斜率之積為定值，且定值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，以及三角形面積問(wèn)題，考查了橢圓中的定值問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）對(duì)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，求出?dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類(lèi)討論，解不等式即可得到的單調(diào)性；（2）因?yàn)椋?，由?）可得的最值，進(jìn)而得到的取值范圍.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減；，，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減；，，所以在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?，所以，由?）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.因?yàn)榕c，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，從而，所以，即.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以等價(jià)于，則.因?yàn)?，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求的值.【答案】(1)曲線的軌跡是以為圓