知識講解-簡單的三角恒等變換-基礎(chǔ)

2簡的角等換2【習(xí)標(biāo)1．能用二倍角公式推導(dǎo)出半角正弦、余弦、正切公式；2．掌握公式應(yīng)用的常規(guī)思路和本技巧；3．了解積化和差、和差化積公的推導(dǎo)過程，能初步運(yùn)用公式進(jìn)行互化；4．通過運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒變換，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會換元思想的作用，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力；5．通過公式的推導(dǎo)，了解它們內(nèi)在聯(lián)系和知識發(fā)展過程，體會特殊與一般的關(guān)系，培養(yǎng)利用聯(lián)系的觀點(diǎn)處理問題的能力．【點(diǎn)理要一升降冪（）公升冪公式：

1cos

，2sin

降冪公式：

2

121，2要詮：利用二倍角公式的等價變形：1cos

2

，

1cos

2cos2

2

進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．要二輔角式．形

sinxx

的角數(shù)的形sin=

2

22

xcosx2

令

cos

，則sin=a

2

2

xsin

=

a

（其中

角所在象限由

,b

的符號確定，

角的值由

t

ba

確定，或由

和cos

2

共同確定．輔角式解中應(yīng)通過應(yīng)用公式

sinx

=

a

（或

sinx

a

2

將形如sin

（

b

不同時為零）收縮為一個三角函數(shù)

ax（a22

種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)做有于函數(shù)式的化簡、求值等．【型題

類一利公對角數(shù)進(jìn)證例1．求證：

tan

2

sin11sin

【思路點(diǎn)撥】觀察式子的結(jié)構(gòu)形式，尋找式子中與【證明】

之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)，利用二倍角公式即可證明．方法一：

cos

sin

tan

2sincossin2sin

sin

方法二：

tan

sin22coscos2

sintan

sin

sin

【總結(jié)升華】代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換；對于三角變換，由于不同的三角函式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異而還會有包含的角以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異此角等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式是角恒等變換的重要特點(diǎn)．舉反：【變式1】求證：

sin

tan

tan22【證明】sin

2sin2

sin

tantan

tan

2sin22cos212

．

例．

求證1

12

(2)

xy2cos

xy22【思路點(diǎn)撥）把右邊兩角和與差的余弦公式展開、相加即得左邊把右邊兩角和與差的余弦公式展開、相加，然后觀察所得式子與要證明的式子之間的區(qū)別，最后【證明】

即可得證．（1

cos(cos

①又

cos(

cos

sin

②

①②得

12結(jié)論得證．（2

cos(

cos

sin

①又

cos(

cos

sin

②

①②得

12令

，則

x,2xcosxy2

xycoscosy2cos22結(jié)論得證．【總結(jié)升華】當(dāng)和、積互化時，角度重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，從而利于化簡求值．正因?yàn)槿绱恕昂?、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段．舉反：【變式】求證：

sin

22【證明】

cos

sin

sin(

cos

上面兩式相加得：

sin(sin(2sin

cos

令

，則

2

,

2

2結(jié)論得證．【變式】求證：

tan

3xtan22

．

sincosx2tan2coscossincosx2tan2coscos【思路點(diǎn)撥】從除恒等式左右兩邊的差異入手，將右邊的角

x，湊

3x，的式，注意到22x

3xxx，x22

，于是【證明】右邊

x2sin2sinxxxx

3x3xx3xxx

左邊．∴等式成立．【總結(jié)升華】解答中右邊分母拆角的目的是利用和（差）角公式．證明（化簡）的本質(zhì)上是一尋找差異、消除差異、追求和諧的過程，應(yīng)從消除差異入手．類二利公對角數(shù)進(jìn)化例．已

32

簡1sin

1sin

．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)化簡的基本思想，本題需消去根式，聯(lián)想到恒等sin

sin

cos2

，于是利用此公式先化簡．【解析】原式

sin

2

cos

2

sin

2

cos

2

，∵

322sin，242

，從而

sin

2

2

，

2

2

，∴原式

cos2222

2

．【總結(jié)升華局部（每個式子本身述解法是唯一解法但整體看兩個根號里面的式子相加得，相乘得cos，此可以“先平方暫時掉根號”．意到

32

0，cos

，設(shè)x

，則x＜，則

2

1sin

2

，又

342

，故

sin

2

，從而

x2cos

2

．舉反：【變式】化簡

111cos2222

．

【解析】∵

2

,2

，∴cos＞，由二倍角公得

11cos2cos22

，∴原式

12

，又

2

4

,

，∴

2

，從而

11cos2

2

．即原式

sin

2

．類三利公進(jìn)三函式求例2015湖南陽期末）已知的值；（1求

s

14

，（2求

cos(cos

的值．15【答案））16【解析】由已知

14

，所以

sin

14

，（1

cos2

11616

；（2

cos(cos(cos(

oc1)

cs

cs1cos

1o

21

．16舉反：【變式】已知sin－siny＝－

23

2，cos－cos＝，，為角，則sin(＋)的值(3

)A．1．1C.

13

D.

12【答案】【解析】∵sin－sin＝－

23

2，－cos＝，式相加得：sin＋cos＝y(tǒng)＋y3∴sin2＝sin2.又∵、均銳角，∴2＝－，∴＋＝

2

，＋＝

【變式江模擬角α終邊逆時針旋轉(zhuǎn)

6

與單位圓交于點(diǎn)

(

3,)．10105（1求

sin(2

6

)

的值，（2求

3

)

的值．33【答案））10【解析）α終邊逆時針旋轉(zhuǎn)與位圓交于點(diǎn)6

310(,)1010

，可得

sin(

6

)

10,cos()106310)2sin()361010

，3104))23105

．)sin(2)sin(2cos(2)6333341335510（2∵

25

，∴

tan(

)

．si

4)23353

)tan(2tan(2))]33

(tan)tan(2)

解得

)3144

．類四三恒變的合用【清目簡的角等換401793例2例．求函數(shù)

yxxsinxcosx

；

x

3,4

]

的值域

【思路點(diǎn)撥

sinxcos則

x

t

然把y轉(zhuǎn)為關(guān)于t的次函數(shù)用配方法求y的最值．【解析】設(shè)

sincos,

,42t2(xcos)2x)24又

x42

，t2又

2sincos

，xcosx

t2則

y

t

2

1t2=

12

t

當(dāng)t時，y

min

12當(dāng)

t

時，

y

,1【總結(jié)升華】本題給出了

in

三者之間的關(guān)系，三者知一求二，在求解的過程中關(guān)鍵是利用了

in

2

這個隱含條件．舉反：【變式1安徽模擬）已知函數(shù)

f()cos

2

xxxx)

的圖象經(jīng)過點(diǎn)

M(

1,)8

，其中常數(shù)∈．（1求a的及函數(shù)（）的最小正周期；（2當(dāng)

x

3,84

]

時，求函數(shù)f）的最值及相應(yīng)的．【思路點(diǎn)撥】首先利用正弦和余弦的倍角公式化簡三角函數(shù)為一個三角函數(shù)名稱的形式然后求期及最值．【答案）

2x

4

，即

x

8

時，

f(x)min

122

；當(dāng)

2x

7，4

時，

f(x)【解析

f()

xa2cossin由數(shù)（x的象經(jīng)過M()2222知道