普通物理熱學(xué)-李椿-電子教案

第一章溫度

?本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、深刻理解熱力學(xué)第零定律。

2、理解氣體的平衡狀態(tài)、狀態(tài)參量等概念。

3、掌握測溫原理及經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)、理想氣體溫標(biāo)，理解溫度的物理意義。

4、掌握理想氣體物態(tài)方程及其應(yīng)用。

?本章教學(xué)內(nèi)容

1、平衡狀態(tài)

2、溫度

3、氣體的物態(tài)方程

?本章重點(diǎn)

理想氣體物態(tài)方程

?本章教學(xué)學(xué)時(shí)

計(jì)劃：6學(xué)時(shí)實(shí)際：7學(xué)時(shí)（含1學(xué)時(shí)習(xí)題）

§1.平衡態(tài)狀態(tài)參量

一、平衡態(tài)

1、系統(tǒng)與外界

熱力學(xué)系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）一一由大量分子原子組成的物體或物體系。

注意：主要研究氣體系統(tǒng)，固體和液體系統(tǒng)的熱力學(xué)問題不在這里研究。

外界一一一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)所處的外部環(huán)境。

2、系統(tǒng)分類

孤立系統(tǒng)：與外界既不交換能量又不交換物質(zhì)的系統(tǒng)。

開放系統(tǒng)：與外界既交換能量又交換物質(zhì)的系統(tǒng)。

封閉系統(tǒng)：與外界交換能量而不交換物質(zhì)的系統(tǒng)。

均勻系（單相系）：系統(tǒng)的各部分完全一樣。

非均勻系（復(fù)相系）：系統(tǒng)的各部分不同且有界面。

3、平衡態(tài)

定義：在不受外界影響（外界對系統(tǒng)既不做功又不傳熱）的條件下的熱力學(xué)系統(tǒng)，宏觀性

質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。

熱力學(xué)平衡態(tài)包括力學(xué)平衡、化學(xué)平衡、熱平衡和相平衡。

這四種平衡都達(dá)到才稱熱力學(xué)平衡態(tài)。

注意：熱力學(xué)平衡態(tài)與熱平衡的區(qū)別

熱力學(xué)平衡

無熱流：熱學(xué)平衡條件，系統(tǒng)內(nèi)部溫度處處相等。

無粒子流：力學(xué)平衡條件，系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間、系統(tǒng)與外界之間應(yīng)達(dá)到力學(xué)

平衡，通常情況下反映為壓強(qiáng)處處相等。

化學(xué)平衡：化學(xué)平衡條件，即在無外場下系統(tǒng)各部分的化學(xué)組成應(yīng)是處處相等。

可以用P、V、T圖來表示。只要上述三個(gè)條件一個(gè)得不到滿足，就是非平衡態(tài)，不能用P、V、

T圖來表示。

4、討論

1）事實(shí)上，并不存在完全不受外界影響，從而使得宏觀性質(zhì)絕對保持不變的系統(tǒng)，所以平

衡態(tài)只是一種理想模型，它是在一定條件下對實(shí)際情況的抽象和近似。

2）由于永不停息的熱運(yùn)動，各粒子的微觀量和系統(tǒng)的微觀態(tài)都會不斷地發(fā)生變化。但只要

粒子熱運(yùn)動的平均效果不隨時(shí)間改變，系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)性質(zhì)就不會隨時(shí)間變化。因此，確

切地說平衡態(tài)應(yīng)該是一種熱動平衡的狀態(tài)。

3）在平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)的宏觀物理量仍會發(fā)生微小的變化，稱為漲落。組成系統(tǒng)的微觀粒

子數(shù)量極大時(shí)，這種漲落很小從而可以忽略。在熱力學(xué)中可以認(rèn)為平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的宏觀

物理量具有確定的數(shù)值。

5、平衡態(tài)的特點(diǎn)

1）單一性（0,D處處相等；

2）物態(tài)的穩(wěn)定性---與時(shí)間無關(guān)；

3）自發(fā)過程的終點(diǎn)；

4）熱動平衡，有別于力平衡。

6、非平衡態(tài)

在自然界中，平衡態(tài)是相對的、特殊的、局部的與暫時(shí)的，不平衡才是絕對的、普遍的、

全局的和經(jīng)常的。

課后P28思考題1

二、狀態(tài)參量

一一用確定的物理量作為描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量。

兒何參量：體積

力學(xué)參量：壓強(qiáng)

化學(xué)參量：質(zhì)量或物質(zhì)的量

電磁參量：電場強(qiáng)度、電極化強(qiáng)度：磁感應(yīng)強(qiáng)度，磁化強(qiáng)度

熱力學(xué)量可分成：廣延量和強(qiáng)度量

廣延量：與系統(tǒng)的總質(zhì)量成正比的量。（體積、面積等）

強(qiáng)度量：與系統(tǒng)的總質(zhì)量無關(guān)的量。（壓強(qiáng)、電場強(qiáng)度等）

§2.溫度

引進(jìn)一個(gè)新的物理量一一溫度來表示系統(tǒng)的冷熱程度。

氣體的溫度，宏觀上表現(xiàn)為氣體的冷熱程度，而微觀上看它表示的是分子熱運(yùn)動的劇烈程

度。

一、熱力學(xué)第零定律

熱接觸：系統(tǒng)間能發(fā)生傳熱的接觸。

熱平衡：兩個(gè)系統(tǒng)在發(fā)生傳熱的條件下達(dá)到的一個(gè)共同的平衡態(tài)。

熱平衡定律（熱力學(xué)第零定律）：如果兩個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的每一個(gè)都與第三個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)處

于熱平衡，則它們彼此也必定處于熱平衡。

熱平衡定律為建立溫度概念提供了實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。

注意：決定系統(tǒng)熱平衡的宏觀性質(zhì)為溫度，即溫度是決定一系統(tǒng)是否與其他系統(tǒng)處于熱平

衡的宏觀性質(zhì)，特征就在于一切互為熱平衡的系統(tǒng)都具有相同的溫度。

熱力學(xué)第零定律的物理意義

?互為熱平衡的物體之間必存在一個(gè)相同的特征，即它們的溫度是相同的。

?熱力學(xué)第零定律不僅給出了溫度的概念，而且指出了判別溫度是否相同的方法。

課后P28思考題2,3

二、溫標(biāo)

一一溫度的數(shù)值表示法

1經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)

一一在經(jīng)驗(yàn)上以某一物質(zhì)屬性隨溫度的變化為依據(jù)并用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行分度的溫標(biāo)。

以液體溫度計(jì)一攝氏溫標(biāo)為例

原理：利用液體的體積隨溫度改變的性質(zhì)制成的。即用液體的體積來標(biāo)志溫度。

選擇測溫物質(zhì)，確定測溫參量（屬性）

經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)的三要素選定固定點(diǎn)

進(jìn)行分度，即規(guī)定測溫參量隨溫度的變化關(guān)系

例：水銀溫度計(jì)

（1）水銀一測溫物質(zhì)體積隨溫度變化一測溫屬性

（2）冰點(diǎn)一0攝氏度汽點(diǎn)一100攝氏度

（3）確定測溫屬性（體積）隨溫度的變化關(guān)系：線性變化

課本P10表1T兒種常用的溫度計(jì)

缺點(diǎn)：采用同一種溫標(biāo)，選取不同的測溫物質(zhì)（或同--種物質(zhì)的不同測溫屬性）來測量同

一對象的溫度時(shí)，所得的結(jié)果也并不嚴(yán)格一致。

課后P29思考題4

例題:課后習(xí)題P31

4、的電阻溫度計(jì)的測溫泡浸在水的三相點(diǎn)槽內(nèi)時(shí)，鉗電阻的阻值為90.35Q,當(dāng)溫度計(jì)的測

溫泡與待測物體接觸時(shí),伯電阻的阻值為90.28Q,試求待測物體的溫度,假設(shè)溫度與粕

電阻的阻值成正比,并規(guī)定水的三相點(diǎn)為273.16K。

解:依題給條件可得則

故

5、在歷史上，對攝氏溫標(biāo)是這樣規(guī)定的:假設(shè)測溫屬性獺溫度［作線性變化，即，并規(guī)定冰

點(diǎn)為t=0V,汽點(diǎn)為t=100Uo設(shè)用和品分別表示在冰點(diǎn)和汽點(diǎn)時(shí)X的值，試求上式中的常

數(shù)a和6。

解：：由題給條件可知

①

②

由②一①得

，③

將③式代入①式得

2、理想氣體溫標(biāo)

一一標(biāo)準(zhǔn)溫標(biāo)（為了使溫度的測量統(tǒng)一）

氣體溫度計(jì)：

（1）定容氣體溫度計(jì)（氣體的體積保持不變，壓強(qiáng)隨溫度改變）

（2）定壓氣體溫度計(jì)（氣體的壓強(qiáng)保持不變，體積隨溫度改變）

理想氣體溫標(biāo)：

以氣體為測溫物質(zhì)，利用理想氣體狀態(tài)方程中體積（壓強(qiáng)）不變時(shí)壓強(qiáng)（體積）與溫度成

正比關(guān)系所確定的溫標(biāo)稱為理想氣體溫標(biāo)。

?定容氣體溫度計(jì)

一一定容氣體溫度計(jì)與待測系統(tǒng)達(dá)到熱平衡時(shí)的溫度值

P一一用溫度計(jì)測得并經(jīng)修正的氣體壓強(qiáng)

a一—比例系數(shù)，根據(jù)選定的固定點(diǎn)來確定

固定點(diǎn)：水的三相點(diǎn)（純冰、純水和水蒸氣平衡共存的狀態(tài)）273.16K

一一氣體在三相點(diǎn)時(shí)的壓強(qiáng)

?定壓氣體溫度計(jì)

一一氣體在三相點(diǎn)時(shí)的體積

共同特點(diǎn)：用不同氣體建立的溫標(biāo)只有微小的差別，隨著氣體壓強(qiáng)的降低這種差別逐漸消

失，而且在壓強(qiáng)趨于零時(shí)不同的溫標(biāo)趨于一個(gè)共同的極限值。

這個(gè)極限溫標(biāo)叫做理想氣體溫標(biāo)（氣體溫標(biāo)）。

定義式：（體積呸變）

或（壓強(qiáng)夕不變）

缺點(diǎn)：對極低的溫度（氣體的液化點(diǎn)以下）和高溫（100（TC是上限）就不適用。

理想氣體溫標(biāo)的最低溫度：1K

課后P29思考題7

3熱力學(xué)溫標(biāo)

一一完全不依賴于任何測溫物質(zhì)及其物理屬性。

熱力學(xué)溫度T：單位開爾文K

熱力學(xué)溫標(biāo)是無法實(shí)現(xiàn)的理論溫標(biāo)，是通過理想氣體溫標(biāo)來實(shí)現(xiàn)。

攝氏溫標(biāo)與熱力學(xué)溫標(biāo)的關(guān)系：

攝氏溫標(biāo)和華氏溫標(biāo)的換算關(guān)系：

課本P15圖1-7熱力學(xué)溫度、攝氏溫度和華氏溫度的對應(yīng)關(guān)系

溫度單位符號固定點(diǎn)的溫度值與熱力學(xué)溫度的關(guān)通用情況

系

絕對零度冰點(diǎn)三相點(diǎn)汽點(diǎn)

熱力學(xué)溫度KT0.00273.15273.16373.15國際通用

攝氏溫標(biāo)℃t-273.150.000.01100.00國際通用

華氏溫標(biāo)Ftr-459.6732.0032.02212.00英美等國

蘭氏溫標(biāo)RTK0.00491.67491.69671.67英美等國

4國際實(shí)用溫標(biāo)ITS-90

國際溫標(biāo)的三要素：

1定義固定點(diǎn)；

2規(guī)定在不同的待測溫度區(qū)內(nèi)使用的標(biāo)準(zhǔn)測溫儀器；

3給定在不同的固定點(diǎn)之間標(biāo)準(zhǔn)測溫儀器讀數(shù)與國際溫標(biāo)值之間關(guān)系的內(nèi)插求值公式。

ITS-90的優(yōu)點(diǎn)：

1更接近于熱力學(xué)溫度

2將最低溫度擴(kuò)展到0.65K

3在整個(gè)溫度范圍內(nèi)，改進(jìn)了連續(xù)性、精度和再現(xiàn)性

4在某些溫度范圍內(nèi)，對分區(qū)重復(fù)定義的處理方便了使用

5消除了大多數(shù)以沸點(diǎn)定義的固定點(diǎn)。

膨脹測溫法：玻璃液體溫度計(jì)、雙金屬溫度計(jì)

壓力測溫法：壓力表式溫度計(jì)、蒸汽壓溫度計(jì)

實(shí)用溫度計(jì)簡介電磁學(xué)測溫法：電阻溫度計(jì)、溫差熱電偶溫度計(jì)、半導(dǎo)體溫度計(jì)、頻率

溫度計(jì)

聲學(xué)測溫法：聲學(xué)溫度計(jì)、噪聲溫度計(jì)

輻射測溫法：光學(xué)高溫計(jì)、比色高溫計(jì)、輻射高溫計(jì)

自我閱讀部分：

附錄熱力學(xué)第零定律與溫度

附錄1-2水的三相點(diǎn)管

?課后作業(yè)題：P311,6

§3.氣體的狀態(tài)方程

或函數(shù)關(guān)系叫做氣體的物態(tài)方程

把處于平衡態(tài)的某種物質(zhì)的熱力學(xué)參量（如壓強(qiáng)、體積、溫度）之間所滿足的函數(shù)關(guān)系稱

為該物質(zhì)的物態(tài)方程或稱狀態(tài)方程。

一、理想氣體的狀態(tài)方程

1、玻意耳定律

一一一定質(zhì)量氣體的溫度保持不變時(shí)，它的壓強(qiáng)和體積的乘積是一個(gè)常量：

注意：

(1)溫度不變，。吶一常數(shù)；溫度改變，常數(shù)也要改變

(2)夕不太大，座不太低時(shí)適用；。越低，遵守得越好。

2、理想氣體狀態(tài)方程

根據(jù)玻意耳定律和理想氣體溫標(biāo)的定義來確定嗚溫度刑關(guān)系。

設(shè)Q為常數(shù)餡水的三相點(diǎn)時(shí)的數(shù)值。

得

在氣體壓強(qiáng)趨于零的極限情形下：

由，得

阿伏伽德羅定律：在氣體壓強(qiáng)趨于零的極限情形下，在相同的溫度和壓強(qiáng)下，1摩爾的任何

氣體所占的體積都相同。

令普適氣體常數(shù)

物態(tài)方程：

理想氣體物態(tài)方程是根據(jù)玻意耳定律、理想氣體溫標(biāo)的定義和阿伏伽德羅定律求得的，這

三者所反映的都是氣體在壓強(qiáng)趨于零時(shí)的極限性質(zhì)。

注意：壓強(qiáng)越低，物態(tài)方程近似程度越高；在壓強(qiáng)趨于零的極限情形下，一切氣體都嚴(yán)格

地遵從它。

3、普適氣體常數(shù)R

一般由4701理想氣體在冰點(diǎn)()及一個(gè)大氣壓()下的體積來推算:

算出:

課后P29思考題9,10,11,13

課本P19

［例題1］由物態(tài)方程求相對分子質(zhì)量

［例題2］由物態(tài)方程求容器體積和漏氣質(zhì)量

［例題3］低溫測量的氣體溫度計(jì)原理（了解）

4、混合理想氣體的狀態(tài)方程

道爾頓分壓定律：混合氣體的壓強(qiáng)等于各組分的分壓強(qiáng)之和。

某組分的分壓強(qiáng)：是指這個(gè)組分單獨(dú)存在時(shí)（即在與混合氣體的溫度和體積相同，并且與

混合氣體中所包含的這個(gè)組分的物質(zhì)的量相等的條件下，以化學(xué)純的狀態(tài)存在時(shí)）的壓強(qiáng)。

注意：道爾頓分壓定律只適用于理想氣體（混合氣體的壓強(qiáng)較低）

道爾頓分壓定律的公式表示：

令，得

一一混合理想氣體的物態(tài)方程

平均摩爾質(zhì)量胭

二、非理想氣體的狀態(tài)方程（了解）

1.范德瓦耳斯方程

范德瓦耳斯氣體：考慮分子間吸力和斥力的作用。

范德瓦耳斯方程：

---Imol氣體

——任意質(zhì)量的氣體

a,b--常量，可由實(shí)驗(yàn)測定

［例題5］用范德瓦爾斯方程計(jì)算，和理想氣體的物態(tài)方程計(jì)算結(jié)果比較。

2、昂尼斯方程

或

或都是溫度的函數(shù)，并與氣體的性質(zhì)有關(guān)，分別叫做第一、第二、第三、第四、……位力

系數(shù)。

當(dāng)壓強(qiáng)趨于零時(shí)，上式變?yōu)槔硐霘怏w物態(tài)方程，且/天7

?課后作業(yè)題：

P3112,13,26,27

第一章小結(jié)

一、平衡態(tài)

1、系統(tǒng)的定義和分類

2、平衡態(tài)的定義和特點(diǎn)

二、溫度

熱力學(xué)第零定律溫度的概念溫標(biāo)經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)

理想氣體溫標(biāo)熱力學(xué)溫標(biāo)國際實(shí)用溫標(biāo)

三、氣體的物態(tài)方程

1、理想氣體的物體方程

①單一成分的理想氣體

②混合理想氣體

2、非理想氣體的物態(tài)方程

①范德瓦耳斯方程

②昂內(nèi)斯方程

習(xí)題解答

1、定容氣體溫度計(jì)的測溫泡浸在水的三相點(diǎn)槽內(nèi)時(shí)，其中氣體的壓強(qiáng)為50mmHg。

(1)用溫度計(jì)測量300K的溫度時(shí)，氣體的壓強(qiáng)是多少？

(2)當(dāng)氣體的壓強(qiáng)為68mmHg時(shí)，待測溫度是多少？

解：對于定容氣體溫度計(jì)可知：

(1)

(2)

6、水銀溫度計(jì)浸在冰水中時(shí)，水銀柱的長度為4.0cm;溫度計(jì)浸在沸水中時(shí)，水銀柱的長

度為24.0cm.

(1)在室溫22.0℃時(shí)，水銀柱的長度為多少？

(2)溫度計(jì)浸在某種沸騰的化學(xué)溶液中時(shí)，水銀柱的長度為25.4cm,試求溶液的溫度。

解：設(shè)水銀柱長/與溫度械線性關(guān)系：

L=at+b當(dāng)t=Ot時(shí)則X。必

.,.b=l代入上式L=at+1

當(dāng)力乙時(shí)貝

??3=(Li~~Lg)/ti

(1)L===8.4(cm)

(2)/=(C-Lo)/a==107V

12、一定質(zhì)量的氣體在壓強(qiáng)保持不變的情況下，溫度由50C升到100C時(shí)，其體積將改變百

分之幾？

解：根據(jù)方程

則體積改變的百分比為15.5%

13、-氧氣瓶的容積是32￡,其中氧氣的壓強(qiáng)是/3%防，規(guī)定瓶內(nèi)氧氣壓強(qiáng)降到,施加時(shí)就

得充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶，今有?玻璃室，每天需用，詼勿氧氣4。?！?問一瓶

氧氣能用幾天。

解：先作兩點(diǎn)假設(shè)：

（1）氧氣可視為理想氣體（2）在使用氧氣過程中溫度T不變，則：

由可有

每天用掉的氧氣質(zhì)量為

瓶中剩余氧氣的質(zhì)量為

???（天）

19、求氧氣在壓強(qiáng)為的切、溫度為27c時(shí)的密度。

解：已知氧的俯：3題?

14、水銀氣壓計(jì)中混進(jìn)了一個(gè)空氣泡，因此它的讀數(shù)比實(shí)際的氣壓小，當(dāng)精確的氣壓計(jì)的

讀數(shù)為7M他時(shí)，它的讀數(shù)只有74物吸。此時(shí)管內(nèi)水銀面到管頂?shù)木嚯x為偏問當(dāng)此

氣壓計(jì)的讀數(shù)為734加加％時(shí)，實(shí)際氣壓應(yīng)是多少。設(shè)空氣的溫度保持不變。

解：設(shè)管子橫截面為S,在氣壓計(jì)讀數(shù)為九二74刎％和力=73為哪時(shí)，管內(nèi)空氣壓強(qiáng)分別為

0,和R，根據(jù)靜力平衡條件可知，，且p=768mmHg,l=80nim

由于7、m不變

根據(jù)方程

有，而

21、一打氣筒，每打一次可將原來壓強(qiáng)為，溫度為，體積的空氣壓縮到容器內(nèi)。設(shè)容器的

容積為，問需要打兒次氣，才能使容器內(nèi)的空氣溫度為，壓強(qiáng)為。

解：打氣后壓強(qiáng)為：，題上未說原來容器中的氣體情況，可設(shè)原來容器中沒有空氣，設(shè)所

需打氣次數(shù)為，則，

(1)

(2)

將得：次

26、按重量計(jì)，空氣是由的氮，的氧，約的就組成的(其余成分很少，可以忽略)，計(jì)

算空氣的平均分子量及在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的密度。

解：設(shè)總質(zhì)量為勿的空氣中，氧、氮、晁的質(zhì)量分別為例，m氟、氮、氮的分子量分別

為M"總%

空氣的摩爾數(shù)

則空氣的平均摩爾質(zhì)量為

即空氣的平均分子量為28.9

空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的密度

27、把的氮?dú)鈮喝?容積為的容器，容器中原來已充滿同溫同壓的氧氣。試求混合氣體

的壓強(qiáng)和各種氣體的分壓強(qiáng)，假定容器中的溫度保持不變。

解：根據(jù)道爾頓分壓定律可知又由狀態(tài)方程且溫度、質(zhì)量不變。

第二章氣體分子運(yùn)動論的基本概念

?本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、深刻理解物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和理想氣體的微觀模型。

2、理解理想氣體的壓強(qiáng)與溫度的微觀本質(zhì)。

3、了解常用的分子簡化模型，應(yīng)用勢能曲線研究分子碰撞過程。

?本章教學(xué)內(nèi)容

1、物質(zhì)的微觀模型

2、理想氣體的壓強(qiáng)

3、溫度的微觀解釋

4、分子力

5、范德瓦耳斯氣體的壓強(qiáng)

?本章重點(diǎn)

1、壓強(qiáng)公式和溫度公式

2、理想氣體的微觀模型，范德瓦耳斯氣體的壓強(qiáng)

?本章教學(xué)學(xué)時(shí)

計(jì)劃：8學(xué)時(shí)實(shí)際：7學(xué)時(shí)（含1學(xué)時(shí)習(xí)題）

§1.物質(zhì)的微觀模型

分子動理論是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)來闡明熱現(xiàn)象的規(guī)律。

1宏觀物體是由大量微粒-分子（或原子）組成的

物質(zhì)由大量分子所組成的論點(diǎn)是指宏觀物體是不連續(xù)的，它由大量分子或原子（離子）所組成的。

物。/物質(zhì)中的分子數(shù)，即阿伏伽德羅常量

二、物體內(nèi)的分子在不停地運(yùn)動著，這種運(yùn)動是無規(guī)則地，其劇烈程度

與物體的溫度有關(guān)

擴(kuò)散現(xiàn)象說明：一切物體（氣體、液體、固體）的分子都在不停地運(yùn)動著。

實(shí)驗(yàn)觀察：擴(kuò)散現(xiàn)象，布朗運(yùn)動

布朗運(yùn)動并非分子的運(yùn)動，但它能間接反映出液體（或氣體）內(nèi)分子運(yùn)動的無規(guī)則性。

無規(guī)則：由于分子之間的相互碰撞，每個(gè)分子的運(yùn)動方向和速率都在不斷地改變；任何時(shí)刻，在液體或氣體

內(nèi)部，沿各個(gè)方向運(yùn)動的分子都有，而且分子運(yùn)動的速率有大有小。

分子的熱運(yùn)動：分子的無規(guī)則運(yùn)動。（與物體的溫度有關(guān)）

漲落現(xiàn)象：偏離統(tǒng)計(jì)平均值的現(xiàn)象。

例：某隨機(jī)變量的平均值，則在附近的偏差為，，均方偏差不等于零，其相對均方根偏差稱為漲落。

一個(gè)由大量子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，其可測的宏觀量是眾多子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)的反映。但系統(tǒng)在每一時(shí)刻的

實(shí)際測度并不都精確地處于這些平均值上，而是或多或少有些偏差，這些偏差就叫漲落，漲落是偶然的、雜

亂無章的、隨機(jī)的。

三、分子之間有相互作用力

1吸引力和排斥力

很多物質(zhì)的分子引力作用半徑約為直徑的兩倍作用，超過這?距離，分子間相互作用力已很少。

排斥力作用半徑就是兩分子剛好“接觸”時(shí)兩質(zhì)心間的距離。

排斥力發(fā)生作用的距離比吸引力發(fā)生作用的距離還要小。

2、分子力與分子熱運(yùn)動

分子力是一種電磁相互作用力，故它是一種保守力，它應(yīng)該有勢能，稱為分子作用力勢能。（分子力是由一

個(gè)分子中所有的電子和核與另一個(gè)分子中所有的電子和核之間復(fù)雜因素所產(chǎn)生的相互作用的總和。）

總結(jié):一切宏觀物體都是由大量分子（或原子）組成的；所有的分子都處在不停的、無規(guī)則熱運(yùn)動中；分子

之間有相互作用力。

分廣力的作用將使分廣聚集在?起，在空間形成某種規(guī)則的分布（有序排列），而分子的無規(guī)則運(yùn)動將破壞

這種有序的排列，使分子分散開。

溫度升高溫度升高

固體狀態(tài)液體狀態(tài)氣體狀態(tài)

§2.理想氣體的壓強(qiáng)

一、理想氣體的微觀模型

理想氣體的微觀模型具有以下特點(diǎn)：

（1）分子木身的線度比起分子之間的平均距離來可以忽略不計(jì)，即對分子可采用質(zhì)點(diǎn)模型。（氣體分子間距

大約是分子本身線度的io倍。）

（2）除碰撞的一瞬間外，分子之間以及分子與容器壁之間相互作用力可忽略不計(jì)。分子所受的重力也可以忽

略。分子在兩次碰撞之間做自由的勻速直線運(yùn)動。

（3）分子與容器壁以及分子之間的碰撞屬于牛頓力學(xué)中的完全彈性碰撞，即氣體分子的動能不因碰撞而損失。

綜上所述，經(jīng)過抽象與簡化，理想氣體可以看成是一群彼此間無相互作用的無規(guī)運(yùn)動的彈性質(zhì)點(diǎn)的集合,

這就是理想氣體的微觀模型。

在常溫下，壓強(qiáng)在數(shù)個(gè)大氣壓以下的氣體，一般都能很好地滿足理想氣體方程。

課本P53思考題1

二、理想氣體的壓強(qiáng)公式

1、關(guān)于氣體分子集體的統(tǒng)計(jì)假設(shè)

對于平衡態(tài)下的理想氣體系統(tǒng)中的大量分子，可作如下統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

1無外場時(shí)，分子在各處出現(xiàn)的概率相同，即容器中單位體積內(nèi)的分子數(shù)處處相等。一分子數(shù)密度

2由于碰撞，分子可以有各種不同的速度，速度取向各方向等概率，分子速度在各個(gè)方向分量的各種

統(tǒng)計(jì)平均值相等。（；）

2、理想氣體壓強(qiáng)公式

（1）定性解釋

壓強(qiáng)：密閉容器（如氣缸）內(nèi)的氣體對容器的器壁有壓力作用，作用在單位面積器壁上的壓力。

從氣體動理論的觀點(diǎn)看來：氣體在宏觀上施于器壁的壓強(qiáng)，是大量分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果。

最早使用力學(xué)規(guī)律來解釋氣體壓強(qiáng)的科學(xué)家是伯努利。他認(rèn)為：氣體壓強(qiáng)是大量氣體分子單位時(shí)間內(nèi)給予器

壁單位面積上的平均沖量。

(2)定量推導(dǎo)

前提：平衡態(tài)、忽略重力、分子看成質(zhì)點(diǎn)(只考慮分子的平動)

設(shè)在任意形狀的容器中貯有?定量的理想氣體，體積為匕共含有八個(gè)分子，單位體積內(nèi)的分子數(shù)為〃力/匕每

個(gè)分子的質(zhì)量為儂分子具有各種可能的速度，把分子分成若干組，每組內(nèi)的分子具有大小相等、方向一致

的速度，并假設(shè)在單位體積內(nèi)各組的分子數(shù)分別為〃“"2,…，貝上

設(shè)某一分子以速度運(yùn)動并與曲面碰撞，碰撞后速度變?yōu)椤?/p>

推導(dǎo)過程：

(1)計(jì)算單個(gè)分子速度為與器壁M面碰撞一次的過程中施于曲面的沖量：

(2)4時(shí)間內(nèi)速度為能與口面發(fā)生碰撞的分子總數(shù)：

(M為底，為高，為軸的斜形柱體的體積內(nèi)，的分子。)

34時(shí)間內(nèi)速度為能與曲面發(fā)生碰撞的分子對必面的沖量：

4八時(shí)間內(nèi)所有分子對力面的總沖量：

5器壁所受的宏觀壓強(qiáng)：

(6)為了使結(jié)果的物理意義更明確，對壓強(qiáng)表示式進(jìn)行化簡。

根據(jù)統(tǒng)計(jì)假設(shè)，所以

應(yīng)用這一關(guān)系，得到理想氣體的壓強(qiáng)公式：

式中是氣體分子平均平動動能。

一一表征三個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量之間相互聯(lián)系的一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是一個(gè)力學(xué)規(guī)律。

氣體壓強(qiáng)是系統(tǒng)中所有分子對器壁碰撞的平均效果，是大量分子熱運(yùn)動的集體表現(xiàn)。壓強(qiáng)是大量分子對時(shí)間、

對面積的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。

壓強(qiáng)的物理意義:

注意的問題:一是容器的各個(gè)器壁上的壓強(qiáng)都是相等的。二是壓強(qiáng)公式與容器大小無關(guān)，還與容器的形狀無

關(guān)。

上述表明:氣體的壓強(qiáng)與分子數(shù)密度和平均平動動能都成正比。這個(gè)結(jié)論與實(shí)驗(yàn)是高度致的，它說明了我

們對壓強(qiáng)的理論解釋以及理想氣體平衡態(tài)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)都是合理的。

壓強(qiáng)的單位:

［例題］某理想氣體的壓強(qiáng)P=l.00X10-%切7,密度,=1.24X107kg/d,求氣體分子的方均根速率（即方均速

率的平方根）。若該氣體為雙原子理想氣體，且溫度為￡=?？趩栐摎怏w是何種氣體？

解：按壓強(qiáng)公式，方均根速率為：

氣體的密度與分子的數(shù)密度和分子的質(zhì)量/施關(guān)系為：

將其代入上式，即得

由理想氣體的物態(tài)方程，可得

故氣體的摩爾質(zhì)量

所以，該氣體是摩爾質(zhì)量的N或4

課本P54思考題6,7,8

§3.溫度的微觀解釋

2溫度的微觀解釋

1、理想氣體的溫度公式

理想氣體的壓強(qiáng)公式：

理想氣體的物態(tài)方程：

由,，一阿伏伽德羅常量（1摩爾氣體所含的分子數(shù)）

得：

令一一玻耳茲曼常量

得平衡態(tài)下理想氣體的溫度公式：或

溫度的微觀解釋：標(biāo)志著物體內(nèi)部分子無規(guī)則運(yùn)動的劇烈程度。溫度越高就表示平均說來物體內(nèi)部分子熱運(yùn)

動越劇烈。溫度是由大量分子熱運(yùn)動的集體表現(xiàn)，也是含有統(tǒng)計(jì)意義，對于少數(shù)或單個(gè)分子談溫度是沒有意

義的。

理想氣體的溫度公式表明:氣體分子的平均平動動能惟一決定于溫度，并與熱力學(xué)溫度成正比。在相同的溫

度下，氣體分子的平均平動動能相同而與氣體的種類無關(guān)。也就是說，如果有一團(tuán)由不同種類的氣體混合而

成的氣體處于熱平衡狀態(tài)，不同的氣體分子的運(yùn)動可能很不相同，但它們的平均平動動能卻是相同的。

課本P45

［例題1］求氣體分子的平均平動動能。

［例題2］在多高溫度下，氣體分子的平均平動動能等于一個(gè)電子伏特？

溫度7=3仇%的氣體分子的平均平動動能為多少個(gè)電子伏特？

解：按照溫度公式

2、方均根速率

由，，

得氣體分子的方均根速率：

［例題3］計(jì)算氫分子的方均根速率。

課本P54思考題11,13,14,15,16

二、對理想氣體定律的推證

由分子動理論的一般規(guī)律出發(fā)一一確定理想氣體的宏觀規(guī)律

（壓強(qiáng)公式，溫度公式）

1阿伏伽德羅定律

將代入壓強(qiáng)公式得：

可見：在相同的溫度和壓強(qiáng)下，各種氣體在相同的體積內(nèi)所含的分子數(shù)相等。

一一阿伏伽德羅定律。

例：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，，時(shí)，任何氣體在1層中含有的分子數(shù)都等于：

2、道爾頓分壓定律

設(shè)有幾種不同的氣體，混合地貯在同一容器中，它們的溫度相同，根據(jù)理想氣體的溫度公式，得:

設(shè)單位體積內(nèi)所含各種氣體的分子數(shù)分別為則單位體積內(nèi)混合氣體的總分子數(shù)為：

代入壓強(qiáng)公式，得到混合氣體的壓強(qiáng)為：

上式說明：混合氣體的壓強(qiáng)等于組成混合氣體的各成份的分壓強(qiáng)（單獨(dú)存在）之和。

―道爾頓分壓定律

［例題4］求每立方米內(nèi)的分子數(shù)。

?課后作業(yè)題：

P553,5,9,12

§4.分子力

分子熱運(yùn)動和分門訶的相互作用是決定物質(zhì)各種熱學(xué)性質(zhì)的基本因素。

3分子之間存在相互作用力一一分子力

：斥力和引力互相抵消，合力為零（平衡位置）

：強(qiáng)大的斥力作用范圍，且r增加，/急劇增加

：強(qiáng)大的引力作用范圍，且工增加時(shí)，碗增加再減少

圖2-7（b）是分子勢能曲線

:,勢能有極小值

：勢能曲線有很陡的負(fù)斜率，很強(qiáng)的斥力

：勢能曲線的斜率是正的，引力

根據(jù)勢能曲線說明兩個(gè)分子的相互“碰撞”過程

二、簡化模型

(1)體積趨向于零的剛球模型

作為兩分子質(zhì)心間距離加函數(shù)的勢能滿足以下關(guān)系：

,當(dāng)

,當(dāng)

其勢能曲線如圖2-8(a)所示，對應(yīng)的物態(tài)方程是理想氣體方程。

(2)剛球模型

,當(dāng)

,當(dāng)

其勢能曲線如圖2-8(6)所示

(3)蘇則朗模型

,當(dāng)

,當(dāng)

即把分子看作相互有吸引力的剛球，其勢能曲線如圖2-8(c)所示

注意

(1)何視為分子力程；數(shù)量級在數(shù)量級，可看為分子直徑(有效直徑)。

(2)分子力是電性力，大于萬有引力

§5.范德瓦耳斯氣體的壓強(qiáng)

理想氣體：7較高，。較小時(shí)，滿足理想氣體的物態(tài)方程；

真實(shí)氣體：7較低，。較大時(shí)，不滿足理想氣體的物態(tài)方程。

找真實(shí)氣體物態(tài)方程的途徑：從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)的或半經(jīng)驗(yàn)的公式；修改理想氣體模型，在理論上導(dǎo)出物

態(tài)方程。1873年，范德瓦爾斯用簡潔的物理模型導(dǎo)出了真實(shí)氣體的物態(tài)方程--范德瓦爾斯方程。

問題：理想氣體模型忽略了分子的體積(分子間的斥力)和分子間的引力。理想氣體狀態(tài)方程在低溫高壓時(shí)

偏差很大，找真實(shí)氣體的狀態(tài)方程成為當(dāng)時(shí)的熱門課題。

研究方法：

1實(shí)驗(yàn)一規(guī)律（經(jīng)驗(yàn)公式）一準(zhǔn)確性高但應(yīng)用范圍狹窄

2建立模型一統(tǒng)計(jì)運(yùn)算一統(tǒng)計(jì)規(guī)律一應(yīng)用范圍廣，但準(zhǔn)確性與模型有關(guān)

3兩者結(jié)合，互相修正、補(bǔ)充

范德瓦耳斯的想法：

1、高壓下，分子線度不可忽略一一體積要修正

2、低溫、高壓下，分子間相互作用力不可忽略一一壓強(qiáng)要修正

范德瓦耳斯氣體的模型：

（1）分子是直徑為"的剛球；

（2）在d上的范圍內(nèi)，分子間有恒定引力。這就是有引力的剛球分子模型。

一、分子體積所引起的修正

加。/理想氣體的壓強(qiáng)為：

一一每個(gè)分子可以自由活動的空間的體積

如果把分子看作有一定體積的剛球，則每個(gè)分子能自由活動的空間不再等于容器的容積。

理想氣體的壓強(qiáng)修正為：

體積修正：

戾考慮到分子本身體積后而對氣體體積的修正量，理論上證明：

為/0。/氣體內(nèi)所有分子體積的總和

為加。/理想氣體內(nèi)所有分子體積的總和

氣體的諾貝爾方程：

vm/氣體的諾貝爾方程：

由于分子有一定的體積，分子與器壁的碰撞將比不計(jì)分子體積時(shí)的碰撞更頻繁，因而使壓強(qiáng)增大。

二、分子間引力所引起的修正

考慮分子間的引力，分子在靠近器壁區(qū)域中受到向內(nèi)的拉力，將使它在垂直于器壁方向上的動量減小，因而

器壁實(shí)際受到的壓強(qiáng)比經(jīng)過體積修正的值還要小一些。氣體施于器壁的壓強(qiáng)實(shí)際為

一一氣體的內(nèi)壓強(qiáng)

內(nèi)壓強(qiáng)：氣體表面層單位面積上所受內(nèi)部分子的引力。

=（單位時(shí)間內(nèi)與單位面積器壁相碰的分子數(shù)）

又

得

比例系數(shù)a：由氣體的性質(zhì)決定，反映氣體分子引力的一個(gè)常量。表示10。/氣體在占有單位體積時(shí)，由于分子

間相互吸引作用而引起的壓強(qiáng)減小量。

適用于10。/氣體的范德瓦耳斯方程：

范德瓦耳斯方程

①10。/氣體的范德瓦耳斯方程：

②V00/氣體的范德瓦耳斯方程：

③質(zhì)量為0的真實(shí)氣體的范德瓦耳斯方程：

課本P54思考題17,18,19

第二章小結(jié)

一、兩個(gè)微觀模型

1、物質(zhì)的微觀模型

2、理想氣體的微觀模型

二、兩個(gè)公式

1、理想氣體的壓強(qiáng)公式

2、理想氣體的溫度公式

三、真實(shí)氣體

1、微觀模型

分子力和分子勢能

2、真實(shí)氣體的物態(tài)方程一一范德瓦耳斯方程

習(xí)題解答

3、■-容積為11.2L的真空系統(tǒng)已被抽到1.0X10%mHg的真空。為了提高其真空度，將它放在300℃的烘

箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出吸附的氣體。若烘烤后壓強(qiáng)增為1.0X10%mHg,問器壁原來吸附了多少個(gè)氣

體分子。

解：設(shè)烘烤前容器內(nèi)分子數(shù)為/%,烘烤后的分子數(shù)為川。根據(jù)上題導(dǎo)出的公式則有：

因?yàn)?與0相比差數(shù)量，而烘烤前后溫度差與壓強(qiáng)差相比可以忽略，因此與相比可以忽略

個(gè)

5、一容器內(nèi)有氧氣，其壓強(qiáng)p=LOatm,溫度為t=27"C,求

(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：

(2)氧氣的密度；

(3)氧分子的質(zhì)量；

(4)分子間的平均距離；

(5)分子的平均平動能。

解：⑴

(2)

(3)

(4)設(shè)分子間的平均距離為

因每個(gè)分子平均分配到自由活動體積為

(5)分子的平均平動能為：

8、質(zhì)量為/四的氮?dú)?，?dāng)壓強(qiáng)為體積為77。比/時(shí)，其分子的平均平動能是多少？

解：；而

9、質(zhì)量為520g,溫度為/&Of的氨氣裝在容積為/。.位的封閉容器內(nèi)，容器以卜=2%小的速率作勻

速直線運(yùn)動。若容器突然靜止，定向運(yùn)動的動能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動的動能，則平衡后氮?dú)獾臏囟?/p>

和壓強(qiáng)將各增大多少？

解：由于容器以速率M乍定向運(yùn)動時(shí)，每一個(gè)分子都具有定向運(yùn)動，其動能等于，當(dāng)容器停止運(yùn)動時(shí),

分子定向運(yùn)動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動的能量，每個(gè)分子的平均熱運(yùn)動能量則為

因?yàn)槿萜鲀?nèi)氮?dú)獾捏w積一定，所以

故，又由

得：

11、試計(jì)算氫氣、氧氣和汞蒸氣分子的方均根速率，設(shè)氣體的溫度為300K,已知?dú)錃?、氧氣和汞蒸?/p>

的分子量分別為2.02、32.0和201。

解

12、氣體的溫度為7=273K,壓強(qiáng)為p=l.00X102atm,密度為P=1.29X10%

(1)求氣體分子的方均根速率。

(2)求氣體的分子量，并確定它是什么氣體。

解：(1)——

該氣體為空氣

第三章氣體分子熱運(yùn)動速率和

能量的統(tǒng)計(jì)分布律

?本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解麥克斯韋速率分布函數(shù)和速率分布曲線的物理意義；

2、掌握氣體分子熱運(yùn)動的平均速率，方均根速率和最概然速率。

3、了解玻耳茲曼能量分布。

4、理解分子運(yùn)動自由度的概念，掌握能量按自由度均分定理，明確氣體內(nèi)能的微觀意義。

掌握理想氣體的內(nèi)能公式。

5、通過理想氣體的定容摩爾熱容的理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較，明確經(jīng)典理論的困難以及對量

子論建立的作用。

?本章教學(xué)內(nèi)容

1、氣體分子的速率分布律

2、用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律

3、玻爾茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布

4、能量按自由度均分定理

?本章重點(diǎn)

麥克斯韋速率分布律和速度分布律

?本章教學(xué)學(xué)時(shí)

計(jì)劃：8學(xué)時(shí)實(shí)際：12學(xué)時(shí)（含1學(xué)時(shí)習(xí)題）

補(bǔ)充數(shù)學(xué)知識

一、概率的基本性質(zhì)

1、概率的定義

隨機(jī)事件：在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這樣的事件

稱為隨機(jī)事件。

若在相同條件下重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)試驗(yàn)，在總次數(shù)促夠多的情況下（N-8）,計(jì)算所出現(xiàn)

某一事件的次數(shù)瓦，則這一事件出現(xiàn)的百分比就是該事件出現(xiàn)的概率：

分布函數(shù)的物理意義通?？梢杂脙煞N完全等價(jià)的方式來闡明。其一是，擲出數(shù)值的次數(shù)占

總投擲次數(shù)A的比率；其二是，任意投擲一次，擲出數(shù)值為的概率（可能性）。

2、等概率性

一一在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些（或更小些）的情況下，每一事件出現(xiàn)的概

率都應(yīng)相等。

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)實(shí)質(zhì)上只包含等概率原理這一個(gè)基本假定：如果對于系統(tǒng)的各種可能的狀態(tài)沒

有更多的知識，就可暫假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。

3、概率的基本法則

（1）概率相加法則

一一〃個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和。

（2）概率相乘法則

一一同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率

之乘積。

二、隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)

一一如果一變量在一定條件下，能以確定的概率取各種不同的數(shù)值，則該變量稱為隨機(jī)變

量。（分為離散型和連續(xù)型）

隨機(jī)變量的概率分布：隨機(jī)變量的取值及其與相應(yīng)的概率之間的關(guān)系。

離散型：

為隨機(jī)變量x的概率分布，滿足條件：

①

②歸一化條件

連續(xù)型：隨機(jī)變量x可取某一區(qū)間內(nèi)的一切數(shù)值。

（）隨機(jī)變量X取值在xi+dx內(nèi)的概率少⑴為：

一一概率密度滿足條件：

①

②歸一化條件

對于取連續(xù)值的隨機(jī)變量，其概率隨隨機(jī)變量值的變化的分布規(guī)律不是由概率分布函數(shù)來

表述，而是由概率密度函數(shù)來表述，概率密度函數(shù)給出了隨機(jī)變量出現(xiàn)的概率分布，也稱

為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

離散量與連續(xù)量的分布函數(shù)

§1.氣體分子的速率分布律

研究平衡態(tài)下氣體分子速率的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，闡明統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一些性質(zhì)和特點(diǎn)。

1速率分布函數(shù)

1、速率分布函數(shù)的定義

在平衡態(tài)下，氣體分子速率的大小各不相同。由于分子的數(shù)目巨大，速率丫可以看作在

0~8之間連續(xù)分布的。此時(shí)分子的速率分布函數(shù)應(yīng)該這樣來定義：

1假設(shè)系統(tǒng)的總分子數(shù)為此

2在速率之間的分子數(shù)為成V；

3來表示在速率「?"ds之間的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率；或者對于任意一個(gè)分子來

說，這是它的速率處于/?"dv之間的概率。

4由于和速率區(qū)間力的大小成正比（即d礴大則越大），通常用來反映氣體分子的速率分

布，它與所取區(qū)間"?。┐笮o關(guān)而僅與速率帝關(guān)。我們把這個(gè)比值定義為平衡態(tài)下的

速率分布函數(shù)：

表示分布在速率-附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。對于處在一定溫度下的

氣體，它只是速率/的函數(shù)。

2、速率分布函數(shù)的物理意義

一一在速率印付近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)八的比率；或者說，對于任意

一個(gè)分子而言，它的速率剛好處于他附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率，故也稱為分子速率分布

的概率密度。

對于任意一個(gè)分子來說，它的速率是多大是偶然的，但卻具有一定的概率分布。只要

給出了速率分布函數(shù)，整個(gè)分子的速率分布就完全確定了。

3、速率分布函數(shù)的應(yīng)用

由速率分布函數(shù)可求出：

y?y+dK區(qū)間的分子數(shù)：

V?"dl/g間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率，即一個(gè)分子的速率在“?K4岳間的概率：

在速率分布函數(shù)的曲線上，它表示曲線下一個(gè)微元矩形的面積。（此意義在速率分布曲線

部分講）

區(qū)間的分子數(shù)可以用積分表示為：

區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比例，即一個(gè)分子的速率在區(qū)間的概率：

在分布曲線上，它表示在間曲線下的面積。（此意義在速率分布曲線部分講）

令，則即為全部分子數(shù)/V；故有

此式稱為速率分布函數(shù)的歸一化條件，表示所有分子與分子總數(shù)的比率為1,即一個(gè)分

子速率在區(qū)間的概率為1。在分布曲線上，它表示在區(qū)間曲線下的面積為1。（此意義在速

率分布曲線部分講）

課本P82思考題2（1）、（2）、（3）、（4）

二、麥克斯韋速率分布律

1、麥克斯韋速率分布律

在平衡狀態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間內(nèi)的分子的比率為:

即速率分布函數(shù)為：

這個(gè)函數(shù)表達(dá)的速率分布規(guī)律叫做麥克斯韋速率分布律。式中，物理想氣體平衡態(tài)的

熱力學(xué)溫度，如為每個(gè)氣體分子的質(zhì)量，A為玻耳茲曼常量。

2、速率分布曲線

從下面的曲線（速率分布曲線）觀察的氣體分子速率分布的特點(diǎn)。

曲線下矩形面積的物理意義：

1圖中任一區(qū)間內(nèi)曲線下的窄條面積表示速率分布在這區(qū)間內(nèi)分子的比率；

②圖中任一有限范圍內(nèi)曲線下的面積則表示在這個(gè)范圍內(nèi)分子的比率；

③由歸一化條件，在區(qū)間曲線下的面積為1。

3、最概然速率

最概然速率一一極大值對應(yīng)的速率

物理意義：在附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率最大；或者說，對

于一個(gè)分子而言，它的速率剛好處于附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率最大。

要確定，令

解出：

即溫度越高，越大；分子的質(zhì)量越大，越小。

上式規(guī)律表明對于給定的氣體（即加一定），分布曲線的形狀隨溫度而變；在同一溫度下,

分布曲線的形狀因氣體的不同（即力不同）而異。如圖3-2（a）,不同溫度下的分布曲線。

同樣實(shí)線對應(yīng)分子質(zhì)量（或相對分子質(zhì)量）較大的氣體，虛線對應(yīng)于分子質(zhì)量（或相對分

子質(zhì)量）較小的氣體，則圖3-2表示，不同種類氣體的分布曲線。

3、漲落現(xiàn)象

假設(shè)分布在某一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值為，則實(shí)際分子數(shù)對于這一統(tǒng)計(jì)平均值

的偏離范圍，即漲落幅度基本上是，而漲落的百分?jǐn)?shù)就是。由此可知，分子數(shù)越大，漲落

的百分?jǐn)?shù)就越小，即相對地說漲落現(xiàn)象越不顯著；反之，漲落的百分?jǐn)?shù)就越大，統(tǒng)計(jì)規(guī)律

的結(jié)論就失去了意義。因此，麥克斯韋速率分布律只對大量分子組成的體系才成立。

麥克斯韋速率分布律只適用于氣體的平衡態(tài)。

課本P82思考題3、4、

補(bǔ)充數(shù)學(xué)知識

三、統(tǒng)計(jì)平均值一一數(shù)學(xué)期望

1、離散型隨機(jī)變量

一般來說，假定某量有心卜測量值，測量結(jié)果為?的有可個(gè)，為對的有也個(gè)，…為治的有

“個(gè)，按照求平均值的方法，該量測量的平均值應(yīng)該是

同理，該量測量的方均值（先平方后再求平均值）應(yīng)該是

實(shí)際上只要把上面的式中的用來代替就達(dá)到上式。

2、連續(xù)型隨機(jī)變量

統(tǒng)計(jì)平均值：

方均值：

四、方差（漲落）

——表示隨機(jī)變量X的取值在平均值附近分散的程度。

（或描述X在其統(tǒng)計(jì)平均值上下漲落的平均幅度。）

三、用麥克斯韋速率分布函數(shù)求平均值

1、分子的平均速率

一一大量分子的速率的算術(shù)平均值。

將速率分布函數(shù)代入上式積分，得：

補(bǔ)充提示：

任意區(qū)間內(nèi)的平均速率：

2、分子的方均根速率

分子速率平方的平均值：

分子的方均根速率：

補(bǔ)充提示：

任意區(qū)間內(nèi)的速率平方的平均值:

從上述三式可以清楚地看出，為了計(jì)算，或，實(shí)際上只要給定速率分布函數(shù)就可以了，

可見速率分布函數(shù)的重要性。

3、最概然速率

最概然速率、平均速率和方均根速率統(tǒng)稱為速率分布的特征速率。都與成正比，與或

成反比。三種速率中，最大，次之，最小。當(dāng)氣體的溫度環(huán)口摩爾質(zhì)量廨目同時(shí)，：：=1.41:

1.60:1.73

課本P82思考題2(5)、(6),6,7,8

?課后作業(yè)題：

課本P831,2,5,6課本P8412,13(做課堂例題處理)

作業(yè)為例1和例2

［例1］對于給定的理想氣體，試分別求，和的速率附近與最概然速率的附近相比，在相同的

速率小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比。

解：由，可得任意速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

當(dāng)很小時(shí)，在該速率區(qū)間內(nèi)近似不變，可將上式簡化為

因而，當(dāng)速率分別為r和%時(shí)，由相同，有

理想氣體的分子速率，遵守麥克斯韋速率分布。由可得

以最概然速率代入上式，又有

分別以，和代入上式，可以算出：

時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

顯然，速率越是偏離最概然速率，區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少。

［例2］一由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，平衡態(tài)下粒子的速率分布曲線如下圖所示。試求:

(1)速率分布函數(shù)；

(2)速率在0?%/范圍內(nèi)的粒子數(shù)；

(3)粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。

解：(1)按上圖所示的速率分布曲線形狀，應(yīng)有

0

0

A為0?%之間直線段的斜率。由速率分布函數(shù)的歸一化條件，可得

故速率分布函數(shù)為()

0

(2)速率在范圍內(nèi)的分子數(shù)為：

(3)由和，可得粒子的平均速率

方均速率：

故方均根速率:

最概然速率是具有最大值，即速率分布曲線峰值所對應(yīng)的速率。由圖中的速率分布曲

線，可得

四、麥克斯韋速度分布律

以上討論的是氣體分子按速率分布的規(guī)律，對分子的速度的方向未作任何確定。下面進(jìn)一

步介紹氣體分子按速度分布的規(guī)律。

1、速度空間

一一以為軸的直角坐標(biāo)（或以為坐標(biāo)的球坐標(biāo)系）所確定的空間。

速度空間中一個(gè)點(diǎn)代表什么：從原點(diǎn)向某一點(diǎn)畫出一矢量，該矢量的大小和方向就是所對

應(yīng)的速度矢量。

速度空間中的一個(gè)微分體積元表示：速度矢量的取值范圍在，，范圍內(nèi)的所有那些速度矢

量的整體，而是該立方體微分元中最靠近原點(diǎn)的那一點(diǎn)的坐標(biāo)。

2、麥克斯韋速度分布律

①麥克斯韋速度分布函數(shù)

分子速度在區(qū)間內(nèi)的概率：

分子速度在附近單位區(qū)間內(nèi)的概率：

在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時(shí),速度分量在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間內(nèi)，在

區(qū)間內(nèi)的分子的比率為：

一一麥克斯韋速度分布律

則速度分量，，在附近單位區(qū)間內(nèi)的分子的比率為：（概率分布密度）

一一麥克斯韋速度分布函數(shù)

②速度分量的分布函數(shù)

由概率相乘法則：，同時(shí)相互獨(dú)立

則

即

速度分量的分布函數(shù):

速度分量的分布函數(shù)

同理有的分布函數(shù)

的分布函數(shù)

由速度分量的分布函數(shù)描繪出的速度分量的分布曲線如左圖，圖中曲線下的矩形陰影部分

面積為：

也可通過積分求解：

由積分表求出：

得到各速度分量的分布函數(shù)。

③注意點(diǎn)

適用范圍：麥克斯韋在導(dǎo)出速度分布律過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用，故這一

速度分布律只適用于處于平衡態(tài)的理想氣體。

歸一化條件：

最概然速度的概念：速度分布中概率取極大時(shí)的速度就是最概然速度。由麥克斯韋速度分

布律可得出，時(shí)，概率取極大。則最概然速度就是速率為零處的速度，或者說是速度矢量

等于零處的速度。與最概然速率是兩個(gè)完全不同的概念。

［思考題］分析以下各式的物理意義

①表示：速度空間中任何位置處的概率密度

②表示:速度空間中的分子數(shù)密度

③表示：三個(gè)速度分量在，，范圍內(nèi)的概率或速度矢量端點(diǎn)落在速度空間中體積元內(nèi)的

分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。

④表示：意義與相同。

⑤表示：三個(gè)速度分量在，，而范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點(diǎn)落在速度空間中截

面積為，其棱平行于軸的無窮長柱體中分子數(shù)與總分子數(shù)之比。

⑥表示：三個(gè)速度分量在，而，范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點(diǎn)落在速度空間中垂直

于軸厚度為的無窮薄平板中的分子數(shù)與總分子數(shù)之比。

3、從麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出速率分布

速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律導(dǎo)出的。

在平衡狀態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間內(nèi)的速度矢量端點(diǎn)都落在半徑為％厚度為"淵球殼層

內(nèi)。

球殼層的體積：，同時(shí)

代入麥克斯韋速度分布律：中

得到麥克斯韋速率分布律：

4、由麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強(qiáng)公式

①用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)（瀉流問題）

見課本P63的例題得出每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)：

瀉流：從小孔跑出的氣體分子數(shù)對容器內(nèi)的氣體平衡狀態(tài)的影響可以忽略，則容器壁小孔

的漏氣現(xiàn)象稱為瀉流。通常小孔截面的線度不大于氣體分子的平均自由程，小孔的

漏氣就滿足瀉流條件。

2推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式

在九時(shí)間內(nèi)速度在，，范圍內(nèi)，碰撞在M面元上的分子數(shù)：

速度分量為的氣體分子對面元必的沖量：

考慮的分子才能碰上曲面，，則氣體分子對M面的總沖量為：

壓強(qiáng)為：

證明結(jié)果與第二章結(jié)果相同。

以上證明中并未使用麥克斯韋速度分布函數(shù)，說明壓強(qiáng)公式具有普適性。只要是非相對論

的()無相互作用的系統(tǒng)，上式總能適用。

如果從分子速率防離散量出發(fā)：

每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)：

壓強(qiáng)：()

?課后作業(yè)題：

課本P847,10

五、誤差函數(shù)(自我閱讀)

速度分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)：

速度分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)：

令

則，即分子的最概然速率

定義誤差函數(shù)，則

由課本P81附錄3-2誤差函數(shù)簡表可查不同Mf對應(yīng)的近似值。

例題：計(jì)算速度x分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。

六、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性和漲落現(xiàn)象

1、統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

（1）什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性？

統(tǒng)計(jì)規(guī)律性是對大量偶然事件整體起作用的規(guī)律，它表現(xiàn)了這些事物整體的本質(zhì)和必然的

聯(lián)系。對于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時(shí)，必須用統(tǒng)計(jì)的方法。

（2）統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特點(diǎn)：

①只對大量偶然的事件才有意義。

②它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律（量變到質(zhì)變）。

③大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。

④統(tǒng)計(jì)規(guī)律是以動力學(xué)規(guī)律為基礎(chǔ)的，統(tǒng)計(jì)規(guī)律不可能脫離由動力學(xué)規(guī)律所決定的個(gè)別事

件而單獨(dú)存在。

⑤統(tǒng)計(jì)規(guī)律永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象。

2、漲落現(xiàn)象

測量值與統(tǒng)計(jì)值之間總有偏差。處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強(qiáng),,不隨時(shí)間改變,

但不能保證任何時(shí)刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣，分子數(shù)越多，漲落就越小。布朗

運(yùn)動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。

課本P83思考題14,15

§2.用分子射線實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律

一、分子射線

實(shí)驗(yàn)中氣體?般用金屬（如銀、被、針等）蒸氣。蒸氣壓由金屬材料的性質(zhì)和加熱溫度決

定。

二、葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)

此實(shí)驗(yàn)的主要困難是：鈕蒸氣中同時(shí)含有單原子分子由、雙原子分子及和少量三原子分子

Bh,而這三種組分的含量卻是未知的。若加上這三種組分的含量（指每種組分的物質(zhì)的量

和總物質(zhì)的量的百分比）分別為44樂54%和2隊(duì)則實(shí)驗(yàn)結(jié)果與麥克斯韋速率分布律很好地

符合。

三、密勒和庫士實(shí)驗(yàn)

比較精確地驗(yàn)證麥克斯韋速率分布定律的實(shí)驗(yàn)是1955年進(jìn)行的密勒一庫什實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)

裝置如圖。

密勒一庫什實(shí)驗(yàn)裝置

整個(gè)裝置都放在抽成高真空的容器內(nèi)。實(shí)驗(yàn)時(shí)，圓柱體以一定的角速度3旋轉(zhuǎn)，從加熱

的蒸氣源逸出后進(jìn)入溝槽的分子中，只有那些沿軸向通過距離/所用時(shí)間恰好等于圓柱體轉(zhuǎn)

動角度9所需時(shí)間的分子，即速率滿足如下關(guān)系的分子才能沿著溝槽進(jìn)入探測器：

或

而其它速率的分子都會先后沉積在溝槽的側(cè)壁上。事實(shí)上，由于溝槽有一定的寬度，相當(dāng)

于張角S有一定的偏差范圍。實(shí)際進(jìn)入探測器的分子的速率，將包含在的范圍內(nèi)。改變3的

大小，就能測出不同速率范圍的鉆分子射線強(qiáng)度，從而得到不同速率范圍的分子數(shù)比率。

實(shí)驗(yàn)表明，如果根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的擬合，那么實(shí)驗(yàn)結(jié)果與麥克斯韋速率

分布是符合得相當(dāng)好的。

（此部分由學(xué)生課后自我閱讀，查找相關(guān)資料，練習(xí)寫小論文，論述用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證麥克斯韋

速度分布律的實(shí)驗(yàn)原理。）

§3.玻耳茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布

授課思路：

麥克斯韋速度分布律一考慮分子按速度的分布（按動能分布）

在保守場中一考慮分子按空間分布（按勢能分布）

特殊化特殊化

-＞玻耳茲曼分布律f分子按勢能的分布律f重力場中氣體分子按高度

各種速度重力場

分布的規(guī)律一等溫氣壓公式一近似估算不同高度處的大氣壓強(qiáng)或判斷上升高度

一、玻耳茲曼分布律

以下討論玻耳茲曼把麥克斯韋分布律推廣到分子在保守場（如重力場）中運(yùn)動的情形。

由麥克斯韋速度分布律得：

將式中，用分子的動能表示，則上式變?yōu)?

如果把氣體放在保守力場中，那么氣體分子不僅有動能，而且還有勢能。一般說來，

動能是速率的函數(shù)，即，而勢能則是分子在空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，即。

因此，在有力場的情況下，如果我們既要考慮分子按速率的分布（即按動能分布），

也要考慮分子按空間的分布（即按勢能分布），那么一個(gè)合理的考慮是，上式因子中的應(yīng)

當(dāng)用粒子的總的能量來代替。玻耳茲曼從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，進(jìn)一步運(yùn)用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)基本原理

得至I」，分子速度處于，，區(qū)間內(nèi)，坐標(biāo)處于*?的空間體積元〃

內(nèi)的分子數(shù)為

一一玻耳茲曼能量分布律

式中，〃成示在勢能處單位體積內(nèi)所含各種速度的分子數(shù)。

從上式很容易地看出，當(dāng)氣體的溫度給定時(shí)，在確定的速度區(qū)間和坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)，分子

數(shù)只取決于因子，稱為概率因子。分子的能量越大，概率因子越小，分子數(shù)就越少。從統(tǒng)

計(jì)意義上看，這說明氣體分子占據(jù)能量較低狀態(tài)的概率，比占據(jù)能量較高狀態(tài)的概率為大。

一般來說，氣體分子占據(jù)基態(tài)（最低能量狀態(tài)）的概率要比占據(jù)激發(fā)態(tài)（較高能量狀態(tài)）

的概率大得多。

考慮歸一化條件：

上式可寫作：

表示分布在坐標(biāo)區(qū)間*?辦，y—y+dy,z~z+dz內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。

分布在坐標(biāo)區(qū)間x?x+Moy?y+dy,z?內(nèi)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：

——分子按勢能的分布律（玻爾茲曼分布律的常用形式）

玻爾茲曼分布律對任何物質(zhì)的微粒（氣體、液體、固體的原子核分子、布朗粒子等）在任

何保守力場（重力場、電場）中運(yùn)動的情形都成立。

二、重力場中微粒按高度的分布

氣體分子受到無規(guī)則熱運(yùn)動和重力兩種互相對立的作用，兩種作用達(dá)到平衡時(shí)，氣體

分子在空間作非均勻分布，分子數(shù)隨高度減小。典型的例子就是地球周圍的大氣因受地球

重力場的作用，其分子數(shù)密度隨高度升高而減小。由于壓強(qiáng)，故壓強(qiáng)也隨高度減小。

根據(jù)玻耳茲曼能量分布律，可以推出氣體分子在重力場中按高度分布的規(guī)律。取坐標(biāo)軸Z

鉛直向上，設(shè)z=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為％,則分布在高度為Z處體積元辦:力力內(nèi)的分子

數(shù)為：

而分布在高度/處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為：

把氣體看作理想氣體，則在一定溫度下，其壓強(qiáng)與分子數(shù)密度〃成正比：

得出等溫過程中，壓強(qiáng)隨高度的變化關(guān)系：

一一等溫氣壓公式

上式可用于近似地估算不同高度處的大氣壓強(qiáng),因?yàn)樵诘孛娓浇髿獾臏囟仁请S高度變

化，只有在高差不大的范圍內(nèi)計(jì)算結(jié)果才與實(shí)際符合。

由上式可根據(jù)地面和高空處的壓強(qiáng)與溫度，來估算所在高空離地面的高度。

［課堂例題］P85課后作業(yè)

22、上升到什么高度處大氣壓強(qiáng)減為地面的75%?設(shè)空氣的溫度為0℃。

解：由題意知：，

23、設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為￡=￡?！鉉,海平面上的氣壓為0產(chǎn)75如加能，令測得某山

頂?shù)臍鈮?=59施泌fe,求山高。已知空氣的平均分子量為28.97。

解：

?課后作業(yè)題：

課本P8521

§4.能量按自由度均