答案-如何證明圓的切線

圓的切線證明一、連徑證直要證明某直線是圓的切線已知直線過(guò)圓上的某一個(gè)點(diǎn)作出過(guò)這一點(diǎn)的半徑直垂直于半徑．、圖，已知為⊙O的徑，點(diǎn)D在的長(zhǎng)線上＝，圓上，CAB．求證：DC是O的線．思路：要想證明DC是O的線，只要我們連接，證明＝90o即可．證明：連接，．∵AB為O的徑，∴ACB＝90o．∵∠CAB，∴＝＝．∵＝OB，∴＝

12

OD．∴∠OCD＝．∴O的線．【評(píng)析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注“經(jīng)半徑的外端和垂直于這條半”兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線．本題在證明＝90o時(shí)運(yùn)用“在一個(gè)三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半么這個(gè)三角形是直角三角然也可以從角度計(jì)算的角度來(lái)求．、圖，已知⊙Ｏ是△ABC的接圓AB是Ｏ的直徑，是AB的長(zhǎng)線上的一點(diǎn)⊥DC交DC的長(zhǎng)線于點(diǎn)E，平∠EAB求證是⊙的切線．證明：連接，=，所以∠=∠ACO，因AC平∠EAB所以∠==AC，所以∥CO又⊥DE，所CO⊥，所以DEO的線．、知⊙O是直徑過(guò)B作O的線結(jié)CO∥交⊙O于D求CD是⊙O的線。點(diǎn)：證是的線，須證CD垂于切點(diǎn)的徑，由此想到連結(jié)OD證：結(jié)OD∵AD∥，∴∠COB＝A及COD＝ODA∵＝OD∴＝∠OAD∴∠COB＝∠COD∵CO公用邊OD＝OB∴△COB≌△，即∠B∠ODC∵BC是切線是徑，∴∠B90°，∠＝，∴CD是的線。二、作直證徑如果直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有確定，則應(yīng)過(guò)圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于徑．、圖所示，ABC為腰三角形O是邊BC的中點(diǎn)，O與AB相切于點(diǎn)D。求證：與O切。證明:連接OD，作OE，垂足為E∵AB=AC,=OC．∴AO為∠BAC角分線，∠∵⊙O與AB相于點(diǎn)D，∴∠=．AO=AO∴ADO≌AEO所以O(shè)E=．∵是⊙O的徑，OE是的徑．∴⊙O與AC邊切．

0000⌒⌒00、知：如圖AC，與切A、且ACBD若COD=90.0000⌒⌒00求證：⊙O的線證：結(jié)OAOB，作⊥E，長(zhǎng)DO交長(zhǎng)線于F.∵，⊙O相，∴⊥，BDOB.∵∥，∴∠F=∠又∵OA=OB，∴△AOF△BODAAS）∴OF=OD.∵∠COD=90，∴CF=CD∠∠2.又∵OAAC，⊥CD，∴OE=OA.∴點(diǎn)⊙O上.∴O的三角分證切作心，用股理）、如圖，AD是BAC的平分線，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求證：與⊙O相證一作直徑AE，連結(jié)∵ADBAC的分線，∴DAC.∵，∴2=1+DAC.∵∠2=∠DAB，∴1=又∵∠∠，∴1=E∵是⊙O直徑，∴⊥EC∠∠EAC=90.∴∠∠EAC=90即OA⊥PA.∴PA與O切證二延長(zhǎng)AD交于，連結(jié)OA，OE.∵AD是BAC的分線，∴BE=CE，∴OE⊥∴∠∠BDE=90.∵OA=OE，∴∠∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠又∵∠PDA=∠∴∠∠即OA⊥∴PA與O、圖，是⊙O的徑，AC是，BAC的平分線AD交于D⊥AC交AC的長(zhǎng)線于點(diǎn)，OE交于F.（1）求證DE⊙O的線；（2）若

AF=求的。5DF

、圖，為⊙O的徑C為⊙O上點(diǎn)∠BAC的平分線交O于D，過(guò)D點(diǎn)作∥BC交AB的長(zhǎng)線于點(diǎn)，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。（1）求證：為⊙的線；（2）若sin∠ABC=

求O的徑及的。、圖為⊙O的徑AD分BAC交于點(diǎn)DDE⊥交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E是的切線交AD的長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證DE是的線；

E(2)若DE=3O的徑為5，求BF的長(zhǎng).

D

F2

1

O

、ABC中，，AE是平線BM平分∠交AE于經(jīng)過(guò)、M兩的O交BC于，交AB于點(diǎn)恰⊙O的直徑（1）求證AE與相；1（2）當(dāng)BC=4時(shí)求⊙O半徑。3（1）連接OM,則∠OMB=∠OBM=∠MBE又∵AE⊥BC∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°∴AE與⊙O相切（2）由AE與⊙O相切,AE⊥BC∴OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∵BC=4,cosC=

，∴BE=2，AB=6，即

，

四平證切已知行角等行3.中位平）、知⊙Ｏ是△外接圓是Ｏ的直徑D是的長(zhǎng)線上的一點(diǎn)⊥交DC的長(zhǎng)線于點(diǎn)，且AC平∠．求證：DE是O的線．證明：連接，=，∴CAO=∠，∵AC平，∴∠∠ACＯ，∴AECO，又⊥DE，∴CO⊥DE，∴O的線．、知：如圖，

中，，

為直徑的

交

于點(diǎn)，

于點(diǎn)．（1）求證：

是

的切線；（2）若

，求

的值．（1證明：

，又

，又

于，，是

的切線、圖，O是eq\o\ac(△,Rt)的接圓，，弦BD=BA，AB=12，，BE⊥DCDC的長(zhǎng)線于點(diǎn)（1）求證：BCA=∠BAD；（2）求DE長(zhǎng)；（3）求證是⊙O的線。解）明BD=BA，∠∠BAD∵∠BCA=∠BDA圓周角定理∴∠BCA=∠BAD（2∵BDE=∠（圓周角定理BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA∴

BD。AC∵=12，，根據(jù)勾股定理得AC=13∴

，得：。（3證明：連接OB，OD在ABO和△DBO中∵

ABBOBO，OAOD∴△≌△DBO∴∠DBO=ABO∵∠ABO=OAB=∠BDC∠DBO=BDC∥ED∵⊥ED，EB⊥。∴OBBE∵O的徑，∴是O的線。

、圖，⊙O的徑，C為O上點(diǎn)AD和C點(diǎn)直線互相垂直，垂足為D，AC分∠DAB（1）求證為O的線；（2）若⊙O的徑為，AD=，求AC的．試題分析OC可以得到∠OCA利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠OCA接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到⊥，由此即可證明直線與O相于C點(diǎn)；（2）連接BC根據(jù)圓周角定理的推理得到ACB=90°，又∠DAC=OAC由此可以得ADCACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（1）證明：連接∵OA=OC∴∠∵AC平∠DAB∴∠DAC=OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥∵ADCD∴OC⊥∴線與O相于點(diǎn)C（2）連接BC則ACB=90°．∵∠DAC=OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△∽，∴，∴

=ADAB

，∵⊙O半徑為3，AD=4，∴，∴AC=2、圖，⊙O的徑，

于點(diǎn)，接OC交⊙O于E弦AD//OC,DF

于。（1）求證：點(diǎn)E是BD的點(diǎn)；（2）求證CD⊙O的線；（3）若sin∠BAD=

⊙的徑為，求的。、等腰⊿ABC中，為AB上點(diǎn)，以為心OB長(zhǎng)為半徑的圓交BC于⊥交AC于（1）求證DE是O的線；（2）若⊙O與AC相切于F，sinA=

求⊙O半徑長(zhǎng)。

00、圖，⊙O的徑，BD是的，長(zhǎng)BD到，DC=BD,連結(jié)AC,點(diǎn)D作DE⊥垂足為E.(1).求證：AB=AC00(2).求證DE為O的(3).若⊙O的徑為，∠BAC=60°，求DE的五角轉(zhuǎn)證線中線證直角、角度轉(zhuǎn)化證直角、一條邊上的中線等于這條邊的一半）已⊙OAB是徑過(guò)點(diǎn)⊙O切線連CO若AD∥OC交⊙O于求CD是⊙O的線。點(diǎn)：證CD是⊙O的線，須證CD垂于過(guò)切點(diǎn)D的半徑，由此想到連結(jié)OD證：結(jié)OD∵AD∥OC∴∠COB＝A及COD＝ODA∵＝OD∴＝∠OAD∴∠COB＝∠COD∵CO公用邊OD＝OB∴△COB≌△，即∠B∠ODC∵BC是切線是徑，∴∠B90°，∠＝，∴CD是的線。點(diǎn)輔助線OD構(gòu)“切的判定定與“等三角形兩基本圖形用切線的性質(zhì)定理用判定定理。、圖，AB=AC，AB是O的徑，O交BC于D，⊥于M求：DM與相.證一連結(jié)∵AB=AC，∴∠∵OB=OD，∴∠∠∴∠∠C.∴∥AC.∵⊥，∴⊥∴與相證二連結(jié)OD，AD.∵AB是O直徑，∴ADBC.又∵AB=AC,∴∠∠∵⊥，∴∠∠

D∵，∴∠∠∴∠∠.即⊥DM.∴是的線

C說(shuō)：明一是通過(guò)證平行來(lái)證明垂直的證明二是通過(guò)證角互余證明垂直的，

0002220、圖，已知是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠CAB=30求證：PC是的線0002220證：結(jié)OC∵，

，BP=OBP在AB的延長(zhǎng)線.∴∠1=∠30∠A+∠1=60又OC=OB∴△是等邊三角形∴OB=BC.D∵OB=BP，∴OB=BC=BP.∴OCCP.∴是的線說(shuō)：題解法頗多，但這種方法較.、圖，⊙O的徑，CD⊥AB且OA=OD·OP.求證：是O切線證：結(jié)OC∵OA，OA=OC∴OC=OD·OP，OCOPOD又∵∠1=∠1∴△∽△ODC.∴∠∠ODC.∵⊥AB∴∠.∴是的線說(shuō)：題是通過(guò)證三角形相似證明垂直的、知：如圖A是⊙O上點(diǎn)，半徑OC延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的線交于B點(diǎn)OC=BC，AC=（1求證⊙O的線；（2若ACD=45°，OC=2求弦AD、的．

．

000、圖，點(diǎn)D是O的徑CA延線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在O上且AB=AD=AO.000(1).求證BD是O切線。(2).若點(diǎn)是劣弧BC上點(diǎn)AE與相于點(diǎn)F，且⊿BEF的積為，cosBFA=

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，求⊿的積。六角相（明徑直的角和90°，明徑直線，、圖1，、是⊙O上點(diǎn)，線段AB經(jīng)圓心O連接AC、，點(diǎn)C作CD⊥ABD，∠AC⊙O的線嗎？為什么？解AC是O的線．理由：連接，∵OC=OB，∴OCB=∠．∵是的外角，∴=+=2∠B．∵ACD=2∠B，∴ACD∠．∵CD⊥于D∴+．∴+=90°．即OC⊥．∵為⊙O上的點(diǎn)，∴AC是O切線．、是方形，G是BC延線上一點(diǎn)，AG交于，交CD于F求證：CE與△的接圓相.分：題圖上沒(méi)有畫CFG的接圓，但