高三教案-數(shù)學(xué)-3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

abab第節(jié)

等數(shù)及前n項(xiàng)和一知清．等數(shù)的義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)每一與它的前一項(xiàng)的比等于同一常(不為零那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列________通常用字母________表(．．等數(shù)的項(xiàng)式設(shè)等比數(shù)列a}的首項(xiàng)為a，比為，則它的通項(xiàng)＝______________.n．等中：如果在a與中插入一個(gè)數(shù)G，使a，，成比數(shù)列，那么G叫做a與b的比中項(xiàng)．．等數(shù)的用質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：a＝·________n，∈*)．m(2)若a}等比數(shù)列＋l＝＋()_________________________．(3)若a}{b項(xiàng)數(shù)相)是等比數(shù)列，{aλ≠0)}·}nnn仍是等比數(shù)列．(4)單調(diào)性

或

a<00<q<1

?}是_______數(shù)列

或

aq>1

?}是_______數(shù)；＝?a是___列；q<0?{a}是________數(shù)列．n．等數(shù)的n項(xiàng)和式等比數(shù)列{a的公比為q≠0)其前n項(xiàng)為S，q＝時(shí)，S＝na；nna－q－qa當(dāng)≠1時(shí)＝＝＝－.1－－1－q－1．等數(shù)前n項(xiàng)和的質(zhì)公比不為－的比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，，－，－仍成等比數(shù)列，nnnn其公比為_____．

*2nnnnn5242*2nnnnn5242自檢1．判斷正(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”

精彩示滿足a＝qa(∈N，q常數(shù))的數(shù)列{}等比數(shù)列．()nnn三個(gè)數(shù)ab，成等比數(shù)列的充要條件是＝ac.()a（1－a）數(shù)列{}通項(xiàng)公式是a＝a，則其前n項(xiàng)和＝.()1－a數(shù)列{}等比數(shù)列，則，－，S－成等比數(shù)列．()n122．已知{}等比數(shù)列，a＋a＝，a＝－8，則a＋等于()nA．7B．5C－5D．－73．(2014·大綱全國卷等比數(shù)列{}前項(xiàng)和為S若S＝，＝15則nn4S＝()6A．B．C．63D．644．(2014·廣東卷若等比數(shù)列{}各項(xiàng)均為正數(shù)，且＋aa＝2e，則n109lna＋ln＋?＝________12205．人教A必修5P54A8編)在中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為_二、典精講知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列中基本量的求解【例1】設(shè){}由正數(shù)組成的等比數(shù)列為其前項(xiàng)和知a＝，n4S＝，則等于()3515

B.

314

C.

3317D.在等比數(shù)列{}，a＝，＝，則a＝n47n在等比數(shù)列{}，a＋＝，＋＝，＝，則＝________．n253規(guī)律方法

等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有

10S3210S32五個(gè)量a，nq，a，，一般可以知三求二”，通過列方(組)可迎刃1n而解．【變式訓(xùn)練】在等比數(shù)列{}a－a＝且2a為和a的等差中項(xiàng)，n12求數(shù)列{}首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和．n知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【例2(1)公比為2等比數(shù)列{}各項(xiàng)都是正數(shù)aa＝16n32＝()A．4B．5C6D．7S31(2)等比數(shù){}首項(xiàng)a＝－1，前項(xiàng)和為S，若＝，則公比＝n1n5________．規(guī)律方法

(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mn＝p＋q，a·a＝·a以減少運(yùn)算量，提mnp高解題速度．(2)應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．【變式訓(xùn)練】(1)知，y，z∈，若1x，3等比數(shù)列，則的值為()A．－3B．±C．－3D．±33已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，aa＝5，aa＝10則aa等n2378于()A．52B．7C．6D．2知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的判定與證明【例3已知數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，數(shù)列，b＝，b＝a－ann1nnn

－1

n≥，且＋＝nn

nn24nnnnn24nnn設(shè)＝a－1，求證：{}等比數(shù)列；nn求數(shù)列{}通項(xiàng)公式．n深度思考若本題除去第(問后如何求？在這里給大家介紹一種方法：構(gòu)n造法，如本例中構(gòu)造等比數(shù)列{－1}．n規(guī)律方法

a證明數(shù){}等比數(shù)列常用的方法：一是定義法，證明＝anqn≥2q常數(shù))；二是等比中項(xiàng)法，證a＝·a.若判斷一個(gè)數(shù)列不nn1是等比數(shù)列，則只需舉出反例即可，也可以用反證法．【訓(xùn)練3】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15且這三個(gè)數(shù)分別加上2，13成為等比數(shù)列{}的b，b，.n3求數(shù)列{}通項(xiàng)公式；n數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，求證：數(shù)列＋比數(shù)列．三、課訓(xùn)練(議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．在等比列{}，a＞0，且·＝，＋log＝nn129A．9B．6C．3D．

()

5a62*35n5a62*35n2．記等比列{}前n積為Ⅱ，若a·＝，則Ⅱ＝n458()A．C．16

B．81D．13．在正項(xiàng)比數(shù)列{}，n

n

＋

1

a＜a，a·＝，＋a＝5則＝n267

()5

B.

65

C.

23

3D.4．已知等數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，－a＝78，＝，設(shè)b＝log，那n413n么數(shù)列{}前項(xiàng)和為n

()A．713

B.

692

C．50

D．555．已知數(shù){}足loga＋1＝log(nN)，且a＋a＋＝9n3n3n1241則(a＋＋)的值是59

()A．－

15

B．5

C．5

1D.二、填空題6安徽卷)數(shù)列{a}等差數(shù)列，若a＋，a＋3，a＋構(gòu)成公比為q的n13等比數(shù)列，則q＝________．7．設(shè)數(shù){}各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，aan2公式是_

＝4，則數(shù){}通項(xiàng)n8．已知各均為正數(shù)的等比數(shù)列{}前項(xiàng)和為，若S＝3，a＝，則nn42a＝________．7三、解答題9．已{}等差數(shù)列，滿足a＝，a＝，數(shù){}足＝4b＝20，且n14n1{－}等比數(shù)列．n求數(shù)列{}{}通項(xiàng)公式；n

(2)求列{}前n和．n

2222an*＋a2222an*＋a10已知在正項(xiàng)數(shù)列{}，＝，點(diǎn)(a，a)在雙曲線y－x＝1上，nnnn11數(shù)列{}，點(diǎn)(b，T在直線y＝－x＋1上，其中T是數(shù)列{}前n項(xiàng)nnn和．求數(shù)列{}通項(xiàng)公式；n求證：數(shù)列{}等比數(shù)列．n四、課總結(jié)[想方法]1．已知等數(shù)列{}n數(shù)列{}(≠0)，{|an

n

|}，{}{n

1}是等比數(shù)列．naa＝＝?a1

－＋1

.2．判斷數(shù)為等比數(shù)列的方法a定義法：＝(是不等于的常數(shù)，n∈N)n

數(shù)列{}等比數(shù)列；也n

n*n2*n2n2*n*n2*n2n2*n2222n2n2nn4*2ma可用＝(q是不等于0的常數(shù)，∈N，n≥列{}等比數(shù)列．二an者的本質(zhì)是相同的，其區(qū)別只是n的初始值不同．等比中項(xiàng)法：a

＝a(aaa≠，∈N)?列{}等比數(shù)列．＋＋＋＋[錯(cuò)防范]1．特別注q1時(shí)，S＝na這一特殊情況．n12．由a＝qa，q≠，并不能立即斷言{}等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a≠nn13．在運(yùn)用比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q1q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．4．，－，S－S未必成等比數(shù)列(例如：當(dāng)公比＝－且n為偶數(shù)時(shí)，n2nn3nnS，S－，－不成等比數(shù)列；當(dāng)q－或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，，nnnnnS－S，－成等比數(shù)列，但等式(S－)＝S·(－S總成2nn3nnnnn五、課練習(xí)(議用時(shí)：分鐘11．?dāng)?shù)列{a}，已知對(duì)任意∈N，＋a＋a＋?3－，則＋＋n13na＋?等于3n

()A．－1)C．9－

1B.(9－1)1D.－1)12福建卷已知等比數(shù)列{}公比為，記＝an(

1)

＋

1

＋a

m

－

2

＋?＋

(n

－

＋

m

，c＝an(n

－

＋

1

·

m

－

＋

2

·?·

(n

－

＋

(m，∈N)則以下結(jié)論m一定正確的是

()A．?dāng)?shù)列等差數(shù)列，公差為qn

mB．?dāng)?shù)列{}等比數(shù)列，公比為qn

2C．?dāng)?shù)列{}等比數(shù)列，公比為qmnD．?dāng)?shù)列{}等比數(shù)列，公比為qmn13已知數(shù)列－1a，a，4等差數(shù)列，1，b，b，－4成等比數(shù)列，1212