高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換第二節(jié)簡單的三角恒等變換第二課時(shí)示范教案

第章二簡的角等換二時(shí)導(dǎo)入新課思路1.(題導(dǎo)三角化簡、值與證明中，往往會(huì)出現(xiàn)較多相異的角，我們可根據(jù)角與角之間的和差半余關(guān)用變換通與結(jié)論中角的差異，ππ使問題獲得解決β)－β＋＋(－＝(＋α)－(－α)44πππ＋α＝－(－α)，你能總出三角變換的哪些策略？由此探討展開．424思路復(fù)習(xí)導(dǎo)入)面已經(jīng)學(xué)如何把形如＝sin＋cosx的函轉(zhuǎn)化為形如＝Ax＋φ)的函數(shù)，本節(jié)主研究函數(shù)＝sin＋cosx的周、值性三角函數(shù)和代數(shù)知識(shí)聯(lián)系密切是其他各類知識(shí)的重要工具考題中與三角函數(shù)有關(guān)的問題，大都以恒等變形為研手段．三角變換是運(yùn)算、化簡、求值、證明過程中不可缺少的解題技巧，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能．推進(jìn)新課新知探究提出問題①三角函數(shù)y＝sin，＝cos的期，最大值和最小值是多少？②函數(shù)y＝sin＋cos的形與應(yīng)用是怎樣的？③三角變換在幾何問題中有什么用？活動(dòng)師學(xué)生對(duì)前面已學(xué)過的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)與回顧道正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象都有周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)．而且正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期都是2π(且≠0)期都是π.角函數(shù)的自變量的系數(shù)變化時(shí)，會(huì)對(duì)其周期性產(chǎn)生一定的影響，如，函數(shù)＝sinx的是2kπ(∈Z且，且最小正周期是2，函數(shù)x周期是π(且k，小正周期是.弦函數(shù)，余弦函數(shù)的最大值是1，最小值，所以這兩個(gè)函數(shù)的值域都[－1,1]．函數(shù)＝sin＋cos＝＋(

asin＋

bcos)a＋∵(

a)＋(＝1，從而可令＝cos，a＋a＋a＋

ba＋

＝sinφ則有sin＋cos＝＋(sincosφ＋cosφ)＝＋x＋．b因此，我們有如下結(jié)論：asinxcos＝＋sin(＋φ)中tan＝.在以a的學(xué)習(xí)中可以用此結(jié)論進(jìn)行求幾中的最值問題或者角度問題．我們知道角的概念起源于幾何圖，從而使得三角函數(shù)與平面幾何有著密切的內(nèi)在聯(lián)系．幾何中的角度、長度、面積幾何問題，常需借助三角函數(shù)的變換來解決，通過三角變換來解決幾何中的有關(guān)問題，是種重要的數(shù)學(xué)方法．討論結(jié)果：①y＝sin＝cosx周期是2π(且≠0)最小正周期都是2π大值都是1，最小值都是1.②～③(略活動(dòng)．應(yīng)用示例思路1π例1如圖1知徑為1，圓心角為的，C是扇上的動(dòng)點(diǎn)是3扇形的內(nèi)接矩形．記＝，當(dāng)值時(shí)，矩形的積？并求出這個(gè)最大面積．活動(dòng)：要求當(dāng)角α取時(shí)，形的積S大，先找出與α之的關(guān)

333333系，再求函數(shù)的最值．找與之間數(shù)關(guān)系可以讓學(xué)生自己解決得到：3S＝·＝(cossinα)sinαsinα.33求這種＝asin＋xcosx＋c函值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Ax＋φ)型的三角函數(shù)求值．教師引導(dǎo)學(xué)生思考：要求當(dāng)角α取時(shí)，矩形的，可分兩步進(jìn)行：(1)找出S之間數(shù)關(guān)系；(2)由得出的函數(shù)關(guān)系，求S的值．解：在Rt△，＝cosαBC＝sin，圖1DA在△＝tan60°＝3，OA所以＝

333DA＝＝sinα.333所以＝－＝cosα.3設(shè)矩形的為則S＝·＝(cos

33

sinα)sin＝sinαcos－

3sin3133＝sin2αcos2α266＝

13(sin2＋cos2α)－21π＝sin(2＋)－6πππ由于0<α<，所以當(dāng)2α＝，362π133即α，S－＝.66π3因此，當(dāng)α＝，矩形面積最大，最大面積為.66點(diǎn)評(píng)：可以看到，通過三角變換我們把形＝＋的轉(zhuǎn)化為形如Ax＋的函數(shù)，從而使題得到簡化．這個(gè)過程中蘊(yùn)涵了化歸思想．此題可引申即可以去掉“記”改成“求矩形的大面積時(shí)自量多3種選擇，如設(shè)＝(1xx)盡管對(duì)所得函數(shù)還時(shí)無法求其最大值，但能3促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)模型多樣性的理，并能使學(xué)生感受到以角為自變量的優(yōu)

變式訓(xùn)練ππωx已知函數(shù)f(x＝sin(＋)ωx－2cos，x∈R(其ω>0)662(1)求函數(shù)f(x的值域；π(2)若函數(shù)y＝(的圖象與直線＝－1兩個(gè)鄰交點(diǎn)間的距離為，數(shù)y2＝f(x的單調(diào)增區(qū)間．解：(1)()

3131sinω＋cosω＋sinω－cosω＋1)222＝2(

3sinωcosω)2π＝2sin(－)－1.6ππ由－1≤sin(ω－)≤1，－3≤2sin(－)≤166可知函數(shù)f(x的值域－3,1]．(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象性質(zhì)，可知＝(的周期為π又由ω>0，2π得＝π，即得ωωπππ于是有x)＝2sin(2－－1再由π≤2－≤2＋(∈Z)626ππ解得π≤≤＋(∈Z)．6π所以＝x)的單調(diào)增區(qū)間[π，π＋](∈Z)63點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)公，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能例2函數(shù)＝sin

＋23sincos－cosx的最周期和最小值；并寫出該函數(shù)在[0，π]的單調(diào)遞增區(qū)間．活動(dòng)師學(xué)生利用公式解要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知識(shí)．先用二倍角式把函數(shù)化成最簡形式，然后再解決與此相關(guān)的問題．解：＝sin＋23sinxcos－cos＝(sinx＋cos)(sin－cos3sin2＝3sin2－cos2xπ＝2sin(2)6π5故該函數(shù)的最小正周期是π小是在單調(diào)增區(qū)間，36π]．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等基礎(chǔ)知變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x＝cosx－sin，(1)求(x的最小正周期；π(2)若∈[0，，求(的最、最小值．2解：()＝cosx－2sincos－sinxx＋sin)(cosx－sin)－sin2xπ－sin22cos(2＋)4

2所以，(x的最小正周期＝＝2ππππ(2)因?yàn)閤∈[0，]所以2＋∈[，244πππ2當(dāng)2＋時(shí)cos(2＋)得最大值，444π當(dāng)2＋π，＋)得最小值－1.4π所以，在0]的最大值為，最小值為－2.2思路2例1已數(shù)f)x＋ω>0,0≤≤是R上函，其圖象關(guān)于點(diǎn)3ππM(對(duì)，且在區(qū)[]上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的42活動(dòng)：學(xué)生在解此題時(shí)，對(duì)(是偶函數(shù)這一條件的運(yùn)用不存在題，而在對(duì)x)3π的圖象關(guān)于(對(duì)”一件使上數(shù)考生都存在一定問題．一地，定義4在R上函f(x)定域內(nèi)任意x滿件：(＋＝2－(－，則＝(的圖象關(guān)于(a)對(duì)稱反教這類問題的教學(xué)時(shí)要給予充分的提示與總結(jié)，多做些這種類型的變式訓(xùn)練．解：由f)偶函數(shù)，得－)()，即sin(ω＋＝sin(ω＋所以φsin＝cosφsinx對(duì)任都立．又ω>0所以，得cosπ依題設(shè)0≤≤，以，解得＝.233π由()圖象關(guān)于點(diǎn)M稱，f(－＝－(＋)443π33取，f)－()，所以()443π3ωπ33π∵f()＝sin(＋)＝cos，∴cos＝0.44243ωππ又ω>0得＝＋π，42∴ω＝(2＋1)，＝0,1,2，322ππ當(dāng)時(shí)，ω，(＝sin()在[0，]減函數(shù)；332ππ當(dāng)時(shí)，ωf(x＝sin(2)[，]減函數(shù)；2210π當(dāng)時(shí)，ω，(＝sin(＋)在，]是單調(diào)函數(shù)．3222所以，綜合得ω或＝2.3點(diǎn)評(píng)題是利用函數(shù)思想進(jìn)行題合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函進(jìn)行變換然后進(jìn)而解決此

變式訓(xùn)練已知如圖的Rt△，＝90°為，、的角分長分別為m，＝2問：否能在區(qū)π找到角θ使等式θ－B＋C－sin＝4(cos－cos)？若能，找出這樣的角θ若，請(qǐng)說明理由．22圖2ABAB解：在Rt△＝cos，eq\o\ac(△,Rt)中，m2aB∴mcos＝sin.2C同理，cos＝sin.2B∴mncoscos＝sinsin.22而＝2，BCBC1∴cos＝2sinsin＝8sin∴sinsin.22222228＋－C積化和差，得4(cos＝－122＋－Cπ若存在使cosθ－sinθ－cos)立，則2cos(θ)224＝－1，π2∴cos(＋).而π<π，425ππ∴θ≤.這樣的不存．444點(diǎn)評(píng)于不確定的開放式問題稱之為存在性問題理問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論是肯定的，再進(jìn)演繹推理出現(xiàn)矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)果，即假設(shè)成立．這個(gè)探結(jié)論的過程可概括為假設(shè)——推證——定1例2已知tan(αβ)β－β，π)求2－β的值21解：∵2αβαβ)β＝，2α－4∴tan2(αβ)1－tanαβ3從而α－β)＝tan[2(α－β)β]＝＝1.

4125－α－β＋tanβ3721＝＝1α－β41251＋×3721αβ＋tan1又∵tanαα＋＝<1.1－αββ3π且0<α<∴0<α<.∴0<2α<.42

1ππ又β－，且β∴<－β<.7223∴－π<2－β<0.－β＝.4點(diǎn)評(píng)：本題通過變形轉(zhuǎn)化為已知角函數(shù)值求角的問題，關(guān)鍵在于對(duì)角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)時(shí)三函數(shù)值角圍求準(zhǔn)確角外，求角一般都通過三角函數(shù)值實(shí)現(xiàn)該哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，若ππα，π)，則求cosα；α∈(，，則求α．22知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)4.1ππππ解答：4.(1)＝sin4.小正期為，遞增區(qū)間－＋，＋](∈Z)228221最大值為2(2)y＝cos最正周期為，遞增區(qū)間為πππ＋2π](∈Z)大值為；ππ5ππππ(3)y＋)．最小正周期為，區(qū)間為＋，](∈Z)32242242最大值為2.課堂小結(jié)本節(jié)課主要研究了通過三角恒等形如＝sin＋x的函化為形如Ax＋的函數(shù)，從而能利考查函數(shù)的若干性質(zhì)，達(dá)到解決問題的目的，充分體現(xiàn)出“活”的數(shù)學(xué)．作業(yè)課本復(fù)習(xí)參考題組11、12.設(shè)計(jì)感想1．本節(jié)課主要是三角恒等變換應(yīng)用，通過三角恒等變形，把形如＝sinbcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如＝sin(ω＋的函數(shù)，從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì)，達(dá)到解決問題的目的中教師要強(qiáng)三函的質(zhì)角數(shù)的重要內(nèi)容果給出的三角函數(shù)的表達(dá)式較為雜必先過角等函數(shù)的解析式變形化簡然根據(jù)化簡后的角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)．因此變換是求解三角函數(shù)問題的一個(gè)基本步驟．需注意的是，在三角恒等變換過程中，由于消項(xiàng)、約分、合并等原因的定義域往往發(fā)生一些變化導(dǎo)變形化簡后的三角函數(shù)與原三角函數(shù)不等價(jià)．因此，在對(duì)三角函式進(jìn)行三角恒等變換后，還要確定原三角函數(shù)的定義域，并在這個(gè)定義域內(nèi)分析其性質(zhì)．2．在三角恒等變化中，首先是握利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，并由此導(dǎo)出角和與差的正弦、余弦、切公式，二倍角公式和積化差、和差化積及半角公式，以此作為基本訓(xùn)練次搞清楚公式之間的內(nèi)在聯(lián)系己出結(jié)構(gòu)圖三是在三角恒等變換中結(jié)第一章三角函數(shù)關(guān)系導(dǎo)式等基礎(chǔ)知識(shí)三識(shí)有整體的把握．3．今后高考對(duì)三角變換的考查計(jì)仍以考查求值為主．和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式角關(guān)系的運(yùn)用仍然是重考查的地方該起夠視別角的范圍的討論，從而確定符號(hào)在三形中的三角變換問題，以及平面向量為模型的三角變換問題將是高考的熱點(diǎn)對(duì)角函數(shù)合應(yīng)用的考查仍然以三角與數(shù)列等平面向量、解析幾何、三角與解三角形實(shí)際應(yīng)用為主，題型主要是選擇題、填空題，也可能以解答題形式出現(xiàn)，難度不會(huì)太大．注意新情景立意下的三角綜合應(yīng)用也是考試的熱點(diǎn)．備課資料一、三角函數(shù)的綜合問題三角函數(shù)是中學(xué)學(xué)習(xí)的重要的基初等函數(shù)之一來考年都要考查三角函數(shù)

22的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)．在綜題中，也常常會(huì)涉及三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用．因此，對(duì)本單元的學(xué)習(xí)要落實(shí)在基礎(chǔ)知技能和基本方法的前提下應(yīng)注意與其他部分知識(shí)的綜合運(yùn)用．三角函數(shù)同其他函數(shù)一樣，具有偶性性值等問題還要研究三角函數(shù)的周期性、圖象及圖象的變化，關(guān)三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題．應(yīng)熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)能此依究析式為三角式的函數(shù)的性質(zhì)握判斷周期性單調(diào)區(qū)間的法，能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的圖象，會(huì)做簡圖、對(duì)圖象進(jìn)行變化．二、備用習(xí)題1.

sin10°＋sin20°的值是cos10°＋cos20°A．tan10°＋tan20°B.

33C．tan5°3答案：π2．若α－β＝則sinαsinβ的大是(4A.

2－22B.44C.

34

．1答案：13．若cosαsin＝，數(shù)y＝sinαcos的域(2311A．[－，]－，]2